مغالطة رياضية 2 من يحلها؟

[mysterious_man]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مجموع الأرقام الطبيعية
S1=1+2+3+4+5+6+7+ ............to infinity eq1
نضرب المعادلة eq1 × 2
s2=2+4+6+8+10+ ...... to infinity ... eq2

S1 هي مجموع كل الأعداد الطبيعية بينما S2 هي مجموع فقط مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية وهي الأعداد الطبيعية الزوجية دون الفردية إن من الواضح أن S1>S2 ولكن S2=2×S1 إذن يجب أن يكون S2>S1 ..... يبدو أن هناك تناقضاً فيمن أيهما أكبر S1 أم S2 ............. ما رأيكم؟

[البيلسان2010]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

برأي بما أن S2 هي جزء من S1 إذن S1 أكبر من S2

والله أعلم

وبارك الله فيك

[تغريـد]

لا أدري هل يسمح لي بالمشاركة
و لكني سأدور حول الجواب
و لكني أريد أن أنوه إلى أن القواعد التي تحكم الأعداد لا تنطبق على المالانهاية لأنها ليست عدد
فنحن كما نعلم مثلا أن ضعف أي عدد موجب أكبر منه و لكن مضاعفة عدد يؤول للمالانهاية يؤول للمالانهاية

و لو كانت قوانين الأعداد تنطبق على المالانهاية لأمكن إثبات

عند أخذ أي عدد و ليكن 5 أضف إليه مالانهاية ينتج مالانهاية
فلو كانت المالانهاية عدد لأمكن
تطبيق قانون الحذف احذف المالانهاية من الطرفين يتبقى 5 تساوي صفر
و هذا بالطبع غير صحيح

5+مالانهاية=مالانهاية
هذا يعني أنه لو كانت المالانهاية عدد فإن
5=0
و لكن هذا غير صحيح طبعا
لذا ما لا نهاية ليست عدد

و بالمناسبة هذا مثال جميل على متتابعة من العناصر (الأعداد الطبيعية مرتبة ) تؤول إلى عنصر ليس منها و لا من مجموعات الأعداد الأخرى

[mysterious_man]

لا أدري هل يسمح لي بالمشاركة
و لكني سأدور حول الجواب
و لكني أريد أن أنوه إلى أن القواعد التي تحكم الأعداد لا تنطبق على المالانهاية لأنها ليست عدد
فنحن كما نعلم مثلا أن ضعف أي عدد موجب أكبر منه و لكن مضاعفة عدد يؤول للمالانهاية يؤول للمالانهاية

و لو كانت قوانين الأعداد تنطبق على المالانهاية لأمكن إثبات

عند أخذ أي عدد و ليكن 5 أضف إليه مالانهاية ينتج مالانهاية
فلو كانت المالانهاية عدد لأمكن
تطبيق قانون الحذف احذف المالانهاية من الطرفين يتبقى 5 تساوي صفر
و هذا بالطبع غير صحيح

5+مالانهاية=مالانهاية
هذا يعني أنه لو كانت المالانهاية عدد فإن
5=0
و لكن هذا غير صحيح طبعا
لذا ما لا نهاية ليست عدد

و بالمناسبة هذا مثال جميل على متتابعة من العناصر (الأعداد الطبيعية مرتبة ) تؤول إلى عنصر ليس منها و لا من مجموعات الأعداد الأخرى

جزاكي الله خيراً أستاذة تغريد على هذا التحليل العلمي الدقيق

[mysterious_man]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

برأي بما أن S2 هي جزء من S1 إذن S1 أكبر من S2

والله أعلم

وبارك الله فيك

جزاك الله خيراً حول هذا الاستنتاج استاذنا و لكن أظن أنه ينبغي أن تكون عدد عناصر S2 نصف عدد عناصر S1 (على الرغم أن عدد الحدود في الحالتين لا نهائي) حتى يصح حلك

[M. Amin]

أولا جزاك الله خيرًا أن جعلت عنوان الموضوع "مغالطة" رياضية
فهذا يعني أنك تعرف ما تقوله عكس الكثيرين!

ما سأقوله معتمد على ما هو مذكور في الكثير من كتب الحسبان Calculus (الكتب الكبيرة بالطبع)، وهو اللا نهائي، واللا متناهي الصغر Infinite and Infinitesimal والمقارنة بين كميتين لا نهائيتين، أو كميتين لا متناهيتي الصغر.
ولم أحاول البحث في المتتابعات والمتسلسلات.

وشكرًا لأنك جعلت السؤال في مقارنة بين مجموعين وليس بين فئتين، فأنا لم أدرس الفئات بشكل جيد بعد. فلو قلت أن فئة الأعداد الزوجية هي فئة جزئية من فئة الأعداد الطبيعية، ثم طلبت حل التناقض لصرت في مأزق!.. لم أدخل في دراسة الفئات اللا نهائية بعد.

بسم الله
أولا يجب أن نعرف ما هي اللا نهاية حتى لا يلتبس الأمر. اللا نهاية ليست "عدد" بأي حال من الأحوال كما تفضلت أختنا تغريد.
اللا نهاية هي "اتجاه" وليس "مكان" كما يقولون عن السعادة.. يمكننا أن نتحدث المعنى الفلسفي لهذا، ولكنني متأكد أن الإخوة الأفاضل هنا لا يحتاجون إلى ذلك.
ويمكننا كذلك أن نضرب أمثلة على ذلك. لكنني أكره الأمثلة في الواقع!

فأما التعبير الرياضي عن الما لا نهاية بقدر علمي، فهي "متغير" يزيد بلا حدود. كذلك اللا متناهي الصغر، هو "متغير" ينقص بلا حدود.
من الآن فصاعدًا سأعتبر أي كمية (متغير) لا نهائية هي مقلوب لكمية لا متناهية الصغر، فقط لأنني اعتدت ذلك لا أكثر.

1- للتعامل مع كميات لا متناهية الصغر Infinitesimal، فإننا نضعها أولا في صورة دالة ما، وندرسها "قبل" أن نجعل المتغير فيها يؤول للما لا نهاية

فلنعتبر أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;S_1(n)=1+2+...+n
وأن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;S_2(n)=2+4+...+2n
إذًا http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;S_2=2S_1

ولنكتب http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;x_1(n)=\frac{1}{S_1(n)}=\frac{1} {1+2+...+n}
وكذلك http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;x_2(n)=\frac{1}{S_2(n)}=\frac{1} {2+4+...+2n}
إذًا http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;x_2=\frac{1}{2}x_1
إذًاhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\frac{x_1(n)}{x_2(n)}=2

2- لمقارنة كميتين لا متناهيتي الصغر، فإننا ندرس النسبة بينهما. فإذا آل الكسر إلى الصفر، فإننا نقول أن الـ infinitesimal الذي في البسط هو من رتبة أعلى من ذلك الذي في المقام (أي أنه يؤول للصفر "أسرع" من ذلك الذي في المقام، وبالتالي فإن مقلوبه يؤول لما لا نهاية أسرع من مقلوب ذلك الذي في المقام)
أما لو آل الكسر إلى عدد غير الصفر، فإننا نقول أن المتغيرين لهما نفس الرتبة، ولا يمكننا الجزم بأن أحدهم أصغر أو أكبر من الآخر. وفي الحالة التي يؤول فيها الكسر إلى الواحد الصحيح، فإننا نقول أن المتغيرين متكافئين.

والآن، فلنجعل n تؤول لما لا نهاية، ولنرى إلى ماذا سيؤول الكسر السابق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\frac {x_1(n)}{x_2(n)}=\lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\frac{ \frac{1}{S_1(n)}}{\frac{1}{S_2(n)}}=\lim_{n\righta rrow&space;\infty&space;}\frac{\frac{1}{S_1(n)}}{\frac{1}{2S_1 (n)}}=2\lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\frac{S_1(n)}{S_ 1(n)}=2
وهكذا أستطيع أن أقول:
في حالة أخذنا لأي عدد "نهائي" من الحدود في المتسلسلتين السابقتين، فإن S2 دائمًا أكبر من S1
أما في حال أخذنا عدد لا نهائي من الحدود، فإننا لا نجزم بأن أحدهما أكبر من الآخر...

هذا ما عندي والله أعلم.

[asem007]

شكر لك استاذ M. Amin اسلوب رائع

[M. Amin]

بل شكرًا لك سيد عاصم..
أنا لست أستاذًا :)

[nr-omar]

عندي حل بسيط و سهل جـــدا
الخـــــطأ هو في S1>S2 ؟؟؟ هذه ليست صحيحة
العكس S2 > S1 ، لمـــاذا ؟
S1=1+2+3+4+5+6+7+ ............n
s2=2+4+6+8+10+12+14.......2n
n عدد طبيعي
نلاحظ أن عدد العناصر في المجموعة S1 هو n عنصر
و أيضا في المجموعة S2 هو n عنصر
أكبر عنصر في المجموعة S1 هو n
إذا توجد عناصر غير موجود في المجموعة S1 و موجودة في المجموعة S2 و هي n+2 ; n+4 ; .....2n

أردت أن تغلطنا في كلمة المحتواة الخاطئة و أيضا عند كتابتك للمجموعتين و ادخالك للمالنهاية
لأنو المجموعتين مرتبطتين فيجب أن يكون عدد عناصرهما متساويين
الكتابة الصحيحة للمجموعتين
S1=1+2+3+4+5+6+7+ ............n
s2=2+4+6+8+10+12+14.......2n
كان يجب أن تحدد النهاية بلدلة عدد n حتى تكون المعطيات متطابقة معها

[nr-omar]

http://www.iraqup.com/uploads/20090802/D30c2-uBgX_423093631.JPG

بالنوفيق لك أخي

[The Physics]

سؤال جميل أود أن أبدي رأيي به
أعتقد أنه لا يمكننا أن نحدد من هو أكبر من الثاني
فلا يمكن و ضع إشارة أكبر أو أصغر
لأن s1 تؤول إلى اللانهاية
و s2 كذلك
و بالتالي لا يمكن أن نقول أن اللانهاية أكبر من اللانهاية
اللانهاية شيء غير محدد لا يمكن مقارنته

[متفيزقة مبدعة]

الاساتذة امين وعمر شكرا لكم كلام غاية الدقة وبصراحة حركات

وكلام اخ عمر منطقي


وشكرا لك سيد احمد على الطرح مثل هذا


لكن عندي سؤال
مالانهاية لايمكن اصلا التحديد اذا كان له تهاية اولا هذا مااريد قوله لكن اؤييد وجهات النظر لأن ليس لي علم كثير فيه


شكرا لك

[nr-omar]

المجموعتين مترابطتين بالعلاقة S2 = 2 S1

إذا : S2 / S1 = 2
لما تؤول n إلى مالنهاية إذا تؤول S1 و S2 إلى مالنهاية
نعوض ب X ( كدالة مثلا )
أي X2 / X1 = 2
لما X1 يؤول إلى مالنهاية و X2 يؤول إلى مالنهاية

أي X1=X2=X
S2/S1=X2/X1=X/X = 2

قسمة عديدين أكبر من واحد أي المقسوم أكبر من القاسم ( البسط أكبر من المقام)
أي لما تؤول n إلى مالنهاية دائما S2 أكبر من S1

[nr-omar]

........

[متفيزقة مبدعة]

اها صح كلامك اخ عمر هو اذا مالانهاية يكون اكبر صح

شكرا لك

[nr-omar]

لا لا لا كلامي خاطئ ... أنا أخطأت أختي المتفيزقة و هذا التصحيح

المجموعتين مترابطتين بالعلاقة S2 = 2 S1

إذا : S2 / S1 = 2
لما تؤول n إلى مالنهاية إذا تؤول S1 و S2 إلى مالنهاية
نعوض ب X ( كدالة مثلا )
حيث : X1 = n
X2 = 2n
أي X2 / X1 لما X1 و X2 يؤولان إلى مالنهاية
أي 2n/n لما n تؤول إلى مالانهية
بإختزال n نجد S2/S1 = 2 عند الملانهاية

قسمة عديدين أكبر من واحد أي المقسوم أكبر من القاسم ( البسط أكبر من المقام)
أي لما تؤول n إلى مالنهاية دائما S2 أكبر من S1

[nr-omar]

طرقتي هي حساب النسبة S1/S2 عند المالانهاية
إذا كانت أكبر من 1 فالبسط أطبر من المقام
و إذا كانت أصغر من 1 بالمقام أكبر من البسط
و إذا كانت تساوي 1 فهم متساويين

[M. Amin]

طرقتي هي حساب النسبة S1/S2 عند المالانهاية
إذا كانت أكبر من 1 فالبسط أطبر من المقام
و إذا كانت أصغر من 1 بالمقام أكبر من البسط
و إذا كانت تساوي 1 فهم متساويين

أخي الكريم
هذا صحيح فقط إذا كانت المقارنة بين عددين
أما بين متغيرين لا نهائيين فقد أوردت شرح ذلك في ردي. لا نقول أن "اللا نهائي a " أكبر من "اللا نهائي b"، ولكن نقول أنهما لا نهائيان من نفس الرتبة.

S2 دائمًا أكبر من S1 بشرط أخذ عدد "نهائي" من الحدود مهما كان كبيرًا.
أما عند الما لا نهاية، فإنه ما سبق شرحه. والله أعلم.

[nr-omar]

أخي الكريم
هذا صحيح فقط إذا كانت المقارنة بين عددين
أما بين متغيرين لا نهائيين فقد أوردت شرح ذلك في ردي. لا نقول أن "اللا نهائي a " أكبر من "اللا نهائي b"، ولكن نقول أنهما لا نهائيان من نفس الرتبة.

S2 دائمًا أكبر من S1 بشرط أخذ عدد "نهائي" من الحدود مهما كان كبيرًا.
أما عند الما لا نهاية، فإنه ما سبق شرحه. والله أعلم.

أخي الكريم ألا نستطيع المقارنة بين دالتين متغيرتين ؟؟؟
أكيد نستطيع

[M. Amin]

أخي الكريم ألا نستطيع المقارنة بين دالتين متغيرتين ؟؟؟
أكيد نستطيع

أكيد نستطيع، فقط في مجال تعريف كل منهما، أما خارج مجال التعريف فلا. الدالتان السابقتان غير معرفتان عن الما لا نهاية.

أخي الكريم، لو عدت إلى كتب الحسبان لوجدت ما أتحدث عنه، بالتفصيل والشرح الوافي والأمثلة.
نحن لا نقارن بين دوال عادية، بل لا متناهية الصغر infinitesimal (كمقلوب اللا نهائية كما شرح من قبل).

[nr-omar]

..........

[nr-omar]

لماذا أخي الكريم ليس معرفتان عند المالانهاية ؟

[M. Amin]

لأن كلاهما لا يساوي كمية نهائية عندما تؤول n إلى ما لا نهاية.
لهذا يقال عنها غير معرفة عند الما لا نهاية
Undefined at infinity

[nr-omar]

لأن كلاهما لا يساوي كمية نهائية عندما تؤول n إلى ما لا نهاية.

نعم فهمتك قصدك ... هل هذا يعني في رئيك أنه يجب أن يكون مجموعهم يساوي قيمة نهائية ؟

إذا كان هذا شرط التمرين فمعك حق

[M. Amin]

أي نعم..
عمومًا يجب أن تؤول الدالة إلى نهاية (أحب أن أسميها مآل) limit نهائي finite ووحيد unique عندما يؤول الـ argument (ومعرفش اسمه ايه بالعربي!) إلى كمية ما. حينها نقول أن الدالة معرفة عند تلك نقطة.

قد يبدو كلامي غير واضح، لهذا أنصح بشدة بقراءة كتب الحسبان المتخصصة.

[nr-omar]

شكـــرا لك أخي و بالأخير أقنعتني

و كلامك واضح أخي و لا داعي لأي كتب

بالتوفيق

[متفيزقة مبدعة]

انا مانتبهت للكلام لكن شفته صحيح لن كذا كنا نداول الكلام بالفصل لكن

انا استغربت شعلتوا النار انت وأمين

لكن صحيح ايضا كلام أمين وانت لأني انا من نفسي مستغربة من هالشئ

شكرا لك أمين ولك عمر ولواضع السؤال احمد كامل

والله قريت اللي كتبتوه لي عودة عليه لأنه يبغاله تركيز كله رموز ×رموز
لكم كل الشكر والتحية

[قمر موسى]

s1 اكبر صحيح يا صاحبة الواجب شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .

[The Arabic Physicist]

على ما اظن ( والغالب انه خطا ) انا لم استخدم ولا حتى ورقة وقلم واخذت المسالة من جانب فلسفي ( اكرر قد يكون خطا )
جوابي s1=s2
s1<s2
s1>s2
بناء على