عـــــذاري
10-03-2009, 17:53
المحاضره الثالثه
المتجهات
بسم الله الرحمن الرحيم
هذا رابط المحاضرة
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-01Physics-IFall1999/VideoLectures/detail/embed03.htm
بدا الدكتورة المحاضرة بقوله للطلاب 00لدي خبر سي اليوم انه سيكون هناك جزء من الرياضيات لدينا (هههههههههههه)
انبه بالبداية ان المتجهات لابد يوجد سهم فوق المتجه دائما
انا تجاهلت الشي هذا لاني ماعندي برنامج يساعدني بكتابتها
ومرار وتكرار نبهم ان هذي مجرد مقدمة للمتجهات وانه بيكون فيه محاضرات قادمه
عنها بالتفصيل
بدا الحديث عن الكميات الفيزيائية انها تنقسم لقسمين
بعضها تحدد بعدد
مثل الكتله والحراره والسرعه speed وتسمى الكميات القياسيه
لكن احيانا نحتاج مع القيمة العدديه تحديد الاتجاه
مثل السرعه velocity والتسارع
وتسمى الكميات المتجهه
والمتجه لديه طوال واتجاه ويعبر عنه (بالسهم )
ورفع الدكتور (سهم )وقال لهم ان راس السهم هو نقطه ( dot)
وذيل السهم يعبر عنه ب(cross)
الي (هي علامة ضرب صغيره )
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/20/797172523.jpg
__________________________________________________ __________________________
وقال لهم(ومثل ذلك بالرسم )
تخيلوا لو كنت اقف على الطاوله عند نقطه تسمى O وتحركت بخط مستقيم لنقطه P وشخص اخر تحرك من نقطه لاخرى (مثلها بالرسم ) في نفس الوقت
بالتالي تغيرت المنطقة اللي نعمل فيها
فتتحرك النقطه P الى النقطة S
بالتالي تغيرت المنطقه اللي احنا كنا فيها من (كل الطاوله ) الى جزء محدد من الطاوله اللي تحركنا فيه
فاصبح عندنا شكل الرسم كالتالي
فاصبح لدينا المتجه OS الي هو عباره عن الجمع بين المتجهين
OS=OP+PS
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/20/483919691.jpg
_____________________________________________
وفرض على السبورة لو كان عندي متجه A ومتجه B ووضعتهم بهاذ الشكل
فسينتج عندي متجه C اللي هو المحصله عباره عن A+B (انظر الرسم )
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/20/207876740.jpg
وبنفس الطريقه استطيع اكون متوازي اضلاع واحصل على نفس النتيجه (انظر)
اذن A+B =B+A لايوجد فرق
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/21/417230338.jpg
بعد ذلك A –A =0
وتمثل بالرسم
وانبه انه لم يقل A طرح A لكن قال A +(-A) =0 لان باالمتجهات نعبر على الرسم بالاتجاه الموجب او السالب
لكن بالعملية الرياضية نستعمل الجمع دائما
ويكون بالحاله هذي لما المتجه انقلب بزاوية 180 درجة
ونلاحظ ان السالب تعني (عكس الاتجاه) للمتجه
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/21/367002373.jpg
__________________________________________________ ________________________
الان كيف نطرح المتجهات---؟؟
نفرض A-B=C بالرسم
وتمثل A+(-B)
ولاحظوا كيف اضافه على الرسمه
واشار انه بامكانا نغير شكل المعادله وتصير A=C+B
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/21/693552298.jpg
__________________________________________________ _____________
بعدها بدا يتكلم عن( تحليل المتجهات ) decomposition))
نفرض لدينا متجه له ثلاثة ابعاد بالفراغ
X,Y,Z
لاحظ الرسم ولدينا نقطه O المركز (ليت احد يوضح ليه المحاور ترسم بهذه الطريقة )
ولدينا نقطه P والمتجه اسمه OP
وراح ندرس هذا المتجه على ثلاث محاور فنسقطه عليها بالرسم
وسمى المتجه بالرسم A والزاوية ثيتا(θ)
وزاوية ثانية تحت (فاي )
(شاهد الرسمه بالشكل النهائي )
بالتالي سندرس المتجه A ( بالنسبة) لثلاث محاور فسيكون عند ي Ayو Ax, و.Az
http://www2.0zz0.com/2009/03/05/18/867343907.jpg
__________________________________________________ ______________________
نتكلم الان عن (وحده المتجه ) ( unit vactors )
ومثلها بالرسم
http://www8.0zz0.com/2009/03/05/19/365219579.jpg
وتمثل X وعليها علامة صغيره ) ^( ومثلها y و و Z
وتنطق للمتجه X مثلا
X( roof) وكذلك باقي المحاور
بالتالي القيمة للمتجه A
ِ ^A =Ax X^+ Ay Y+AzZ
فالان هذه المعادله تعبر عن المتجه OP
الان طول المتجه نعبر عنه بالمعادله المعروفه ان A=
جذر تربيع لكلا من (Ax +Ay+Az )
_-__________________________________________________ _____________________
واعطاهم مثال
اذا كان لدينا معادله للمتجه هي
A= 3X^-5Y^+6Z^
ولاحظ ان احنا هنا شلنا قيمة كل من وِِAy ,Az Ax وعبرنا عنه بالاعداد (مهمه الاشارات)
الان مطلوب ايجاد طول المتجه │ A │ magnitude))
النتيجة بتكون 9+25+36 طبعا ربعنا الاعداد وناخذ الجذر =جذر 70
وهذي كمية قياسية
وعشان نوجد الزاوية θ( الاتجاه)
قال لهم لما نتعامل مع متجه على ثلاث محاور نوجد له ثيتا والفاي
وللمتجه A نوجد cosθ
│cosθ= Az/│ A
اللي هو المجاور على الوتر (لاحظ الرسم )
ومن معطيات المثال راح تساوي 70 جذر÷ 6
ونوجد فاي بنفس الطريقه
__________________________________________________ ____________________________
الجزء الثالث عن ضرب المتجهات (multiplication)
له طريقتين
قانون 000000
A . B= Ax Bx+AyBy+AzBz
يعبر عنها ب A(dot)B
1-وهو(ضرب قياسي )
هذي كمية قياسية لمتجه يعني بدون معرفة اتجاه المتجه
ولنفرض ان لدينا متجهين ونعرف الزاوية لهم θ
بالتالي A . B
=
ِA││B│ cos θ│
طيب هناك سؤال لما اخذنا cos الزاوية هل اخذناها للمتجه A او B
الجواب نفسها
لان cos 360 = cos -360
ووضح ان القيم للمتجه A B راح تكون موجبه لانها قيم مطلقة
لكن الزاوية θ مثل مانعرف ممكن تكون سالبه او موجبه او حتى صفر
http://www8.0zz0.com/2009/03/05/19/250137545.jpg
__________________________________________________ ______
واعطاهم مثال اوجد ? A . B
نفس المثال السابق
A= 3X^-5Y^+6Z^
B=2Y^
ولانه لايوجد قيمة ل x و Z فتصبح = صفر
فنعوض
بما ان A=-5 Y^
B=2Y^
2× -5
اذن الناتج =-10
__________________________________________________ ________________
مثال 2 اذا كان
A=Y^
و
B=Z^
اوجد A . B
= صفر
عوض هنا
A . B= Ax Bx+AyBy+AzBz
__________________________________________________ _________________
النوع الثاني لضرب المتجهات
الضرب الاتجاهي cross product))
ويرمز له
X))
A X B =C
تحل بطريقة المصفوفات
والفيديو الدقيقة (21)
االهدف نريد ايجاد المحصلة C
راح يطلع الناتج
+^C=(AyBz)-AzBy)X
+ ^AzBx-AxBz)Y )
^AxBy-AyBx)Z )
فالمحصلة هي Cx,Cy,Cz
اذن الناتج النهائي ^ C=CxX^+CyY^+CzZ
الان نريد التعامل معها بالطريقة الهندسية
قال لهم اذا كنت تعرف قيمة المتجه A و B ولديك زاوية ثيتا
وبالضرب الاتجاهي مطلوب ايجاد المحصلة فإن
C=AXB
A ││B│Sin θ │
ونفس الكلام اللي قلناه من قبل ان قيمة الزاوية ممكن تكون اكبر او اقل او يساوي الصفر
وبالحاله هذي قال لهم ان ايجاد الاتجاه يعتمد على الفهم ولازم تضعوا هذا الشي بذهنكم وما تنسونه
بالرسمة الي امامنا المتجه A يدور حتى يصل للمتجه B
وقا ل لهم تخيل معك (برغي ) وحركته تجاه عقارب الساعه من المتجه A للمتجه B فسيتجه لداخل السبورة بالتالي سوف ترى (ذيل )البرغي الي تمثل بالعلامة cross
ورسم لهم هذه العلامه على السبورة
وشاهد التجربة الدقيقة 25
وعبر عن ادخال البرغي داخل الطماطم(اتجاه عقارب الساعه) عبر عنها ب A X B
ولما نطلعه من الطماطم يصير (عكس عقار ب ا لساعه) يعني العكس B X A
نتذكر ان
AXB=
A ││B│Sin θ │
طيب ماذا عن العكس
A X B= - B X A
يعني نفس القيمة لكن بالسالب
__________________________________________________ __________________________________________________
مثال 1
المعطيات
^A =X
ومنها نستنتج
Ax=1
و
^B=Y
ومنها نستنتج
By=1
المطلوب
A X B?
الجواب
بماان Ax=1
فاكيد ان Az=0 ,Ay=0
ونفسها B
هذا نفهمه من هذا القانون
^A =Ax X^+ Ay Y+AzZ
اذن الجواب بالمعادلات بيكون = ^ Z
(وبصراحه مافهمته!!؟)
لانه علق بعدها على ان X (cross) y=Z
ومستحيل يساوي Z-
هذي الجزئية
Suppose I gave to vector A this x roof.
It's a unit vector in the x direction.
That means A of x is one and A of y is zero and A of z is zero.
And suppose B is y roof.
That means B of y is one and B of x is zero and B of z is zero.
What, now, is the dot product, the cross product, A cross B?
Well, you can apply that recipe but it's much easier to go to the x, y, z axes that we have here.
A was in the x direction, the unit vector and B in the y direction.
I take A in my hand, I rotate over the smallest angle which is 90 degrees to y, and my corkscrew will go up. So I know the whole thing already.
I know that this cross product must be z roof.
The magnitude must be one.
That's immediately clear.
But I immediately have the direction by using the corkscrew rule.
Now if you're very smart you may say, "Aha! You find plus z "only because you have used this coordinate system.
"If this axis had been x, and this one had been y "then the cross product of x and y would be in the minus z direction." Yeah, you're right.
But if you ever do that, I will kill you!
[class laughs]
You will always, always have to work with what we call "a right- handed coordinate system." And a right-handed coordinate system, by definition is one
whereby the cross product of x with y is z and not y minus z.
So whenever you get, in the future, involved with cross products and torques and angular momentum always make yourself an xyz diagram for which x cross y is
z.
Never, ever make it such that x cross y is minus z.
You're going to hang yourself.
For one thing, that wouldn't work anymore.
So be very, very careful.
You must work... if you use the right-hand corkscrew rule make sure you work with the right-handed coordinate system.
)
تااااااااااااااااااااااااااااااااابع
المتجهات
بسم الله الرحمن الرحيم
هذا رابط المحاضرة
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-01Physics-IFall1999/VideoLectures/detail/embed03.htm
بدا الدكتورة المحاضرة بقوله للطلاب 00لدي خبر سي اليوم انه سيكون هناك جزء من الرياضيات لدينا (هههههههههههه)
انبه بالبداية ان المتجهات لابد يوجد سهم فوق المتجه دائما
انا تجاهلت الشي هذا لاني ماعندي برنامج يساعدني بكتابتها
ومرار وتكرار نبهم ان هذي مجرد مقدمة للمتجهات وانه بيكون فيه محاضرات قادمه
عنها بالتفصيل
بدا الحديث عن الكميات الفيزيائية انها تنقسم لقسمين
بعضها تحدد بعدد
مثل الكتله والحراره والسرعه speed وتسمى الكميات القياسيه
لكن احيانا نحتاج مع القيمة العدديه تحديد الاتجاه
مثل السرعه velocity والتسارع
وتسمى الكميات المتجهه
والمتجه لديه طوال واتجاه ويعبر عنه (بالسهم )
ورفع الدكتور (سهم )وقال لهم ان راس السهم هو نقطه ( dot)
وذيل السهم يعبر عنه ب(cross)
الي (هي علامة ضرب صغيره )
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/20/797172523.jpg
__________________________________________________ __________________________
وقال لهم(ومثل ذلك بالرسم )
تخيلوا لو كنت اقف على الطاوله عند نقطه تسمى O وتحركت بخط مستقيم لنقطه P وشخص اخر تحرك من نقطه لاخرى (مثلها بالرسم ) في نفس الوقت
بالتالي تغيرت المنطقة اللي نعمل فيها
فتتحرك النقطه P الى النقطة S
بالتالي تغيرت المنطقه اللي احنا كنا فيها من (كل الطاوله ) الى جزء محدد من الطاوله اللي تحركنا فيه
فاصبح عندنا شكل الرسم كالتالي
فاصبح لدينا المتجه OS الي هو عباره عن الجمع بين المتجهين
OS=OP+PS
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/20/483919691.jpg
_____________________________________________
وفرض على السبورة لو كان عندي متجه A ومتجه B ووضعتهم بهاذ الشكل
فسينتج عندي متجه C اللي هو المحصله عباره عن A+B (انظر الرسم )
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/20/207876740.jpg
وبنفس الطريقه استطيع اكون متوازي اضلاع واحصل على نفس النتيجه (انظر)
اذن A+B =B+A لايوجد فرق
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/21/417230338.jpg
بعد ذلك A –A =0
وتمثل بالرسم
وانبه انه لم يقل A طرح A لكن قال A +(-A) =0 لان باالمتجهات نعبر على الرسم بالاتجاه الموجب او السالب
لكن بالعملية الرياضية نستعمل الجمع دائما
ويكون بالحاله هذي لما المتجه انقلب بزاوية 180 درجة
ونلاحظ ان السالب تعني (عكس الاتجاه) للمتجه
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/21/367002373.jpg
__________________________________________________ ________________________
الان كيف نطرح المتجهات---؟؟
نفرض A-B=C بالرسم
وتمثل A+(-B)
ولاحظوا كيف اضافه على الرسمه
واشار انه بامكانا نغير شكل المعادله وتصير A=C+B
http://www4.0zz0.com/2009/03/04/21/693552298.jpg
__________________________________________________ _____________
بعدها بدا يتكلم عن( تحليل المتجهات ) decomposition))
نفرض لدينا متجه له ثلاثة ابعاد بالفراغ
X,Y,Z
لاحظ الرسم ولدينا نقطه O المركز (ليت احد يوضح ليه المحاور ترسم بهذه الطريقة )
ولدينا نقطه P والمتجه اسمه OP
وراح ندرس هذا المتجه على ثلاث محاور فنسقطه عليها بالرسم
وسمى المتجه بالرسم A والزاوية ثيتا(θ)
وزاوية ثانية تحت (فاي )
(شاهد الرسمه بالشكل النهائي )
بالتالي سندرس المتجه A ( بالنسبة) لثلاث محاور فسيكون عند ي Ayو Ax, و.Az
http://www2.0zz0.com/2009/03/05/18/867343907.jpg
__________________________________________________ ______________________
نتكلم الان عن (وحده المتجه ) ( unit vactors )
ومثلها بالرسم
http://www8.0zz0.com/2009/03/05/19/365219579.jpg
وتمثل X وعليها علامة صغيره ) ^( ومثلها y و و Z
وتنطق للمتجه X مثلا
X( roof) وكذلك باقي المحاور
بالتالي القيمة للمتجه A
ِ ^A =Ax X^+ Ay Y+AzZ
فالان هذه المعادله تعبر عن المتجه OP
الان طول المتجه نعبر عنه بالمعادله المعروفه ان A=
جذر تربيع لكلا من (Ax +Ay+Az )
_-__________________________________________________ _____________________
واعطاهم مثال
اذا كان لدينا معادله للمتجه هي
A= 3X^-5Y^+6Z^
ولاحظ ان احنا هنا شلنا قيمة كل من وِِAy ,Az Ax وعبرنا عنه بالاعداد (مهمه الاشارات)
الان مطلوب ايجاد طول المتجه │ A │ magnitude))
النتيجة بتكون 9+25+36 طبعا ربعنا الاعداد وناخذ الجذر =جذر 70
وهذي كمية قياسية
وعشان نوجد الزاوية θ( الاتجاه)
قال لهم لما نتعامل مع متجه على ثلاث محاور نوجد له ثيتا والفاي
وللمتجه A نوجد cosθ
│cosθ= Az/│ A
اللي هو المجاور على الوتر (لاحظ الرسم )
ومن معطيات المثال راح تساوي 70 جذر÷ 6
ونوجد فاي بنفس الطريقه
__________________________________________________ ____________________________
الجزء الثالث عن ضرب المتجهات (multiplication)
له طريقتين
قانون 000000
A . B= Ax Bx+AyBy+AzBz
يعبر عنها ب A(dot)B
1-وهو(ضرب قياسي )
هذي كمية قياسية لمتجه يعني بدون معرفة اتجاه المتجه
ولنفرض ان لدينا متجهين ونعرف الزاوية لهم θ
بالتالي A . B
=
ِA││B│ cos θ│
طيب هناك سؤال لما اخذنا cos الزاوية هل اخذناها للمتجه A او B
الجواب نفسها
لان cos 360 = cos -360
ووضح ان القيم للمتجه A B راح تكون موجبه لانها قيم مطلقة
لكن الزاوية θ مثل مانعرف ممكن تكون سالبه او موجبه او حتى صفر
http://www8.0zz0.com/2009/03/05/19/250137545.jpg
__________________________________________________ ______
واعطاهم مثال اوجد ? A . B
نفس المثال السابق
A= 3X^-5Y^+6Z^
B=2Y^
ولانه لايوجد قيمة ل x و Z فتصبح = صفر
فنعوض
بما ان A=-5 Y^
B=2Y^
2× -5
اذن الناتج =-10
__________________________________________________ ________________
مثال 2 اذا كان
A=Y^
و
B=Z^
اوجد A . B
= صفر
عوض هنا
A . B= Ax Bx+AyBy+AzBz
__________________________________________________ _________________
النوع الثاني لضرب المتجهات
الضرب الاتجاهي cross product))
ويرمز له
X))
A X B =C
تحل بطريقة المصفوفات
والفيديو الدقيقة (21)
االهدف نريد ايجاد المحصلة C
راح يطلع الناتج
+^C=(AyBz)-AzBy)X
+ ^AzBx-AxBz)Y )
^AxBy-AyBx)Z )
فالمحصلة هي Cx,Cy,Cz
اذن الناتج النهائي ^ C=CxX^+CyY^+CzZ
الان نريد التعامل معها بالطريقة الهندسية
قال لهم اذا كنت تعرف قيمة المتجه A و B ولديك زاوية ثيتا
وبالضرب الاتجاهي مطلوب ايجاد المحصلة فإن
C=AXB
A ││B│Sin θ │
ونفس الكلام اللي قلناه من قبل ان قيمة الزاوية ممكن تكون اكبر او اقل او يساوي الصفر
وبالحاله هذي قال لهم ان ايجاد الاتجاه يعتمد على الفهم ولازم تضعوا هذا الشي بذهنكم وما تنسونه
بالرسمة الي امامنا المتجه A يدور حتى يصل للمتجه B
وقا ل لهم تخيل معك (برغي ) وحركته تجاه عقارب الساعه من المتجه A للمتجه B فسيتجه لداخل السبورة بالتالي سوف ترى (ذيل )البرغي الي تمثل بالعلامة cross
ورسم لهم هذه العلامه على السبورة
وشاهد التجربة الدقيقة 25
وعبر عن ادخال البرغي داخل الطماطم(اتجاه عقارب الساعه) عبر عنها ب A X B
ولما نطلعه من الطماطم يصير (عكس عقار ب ا لساعه) يعني العكس B X A
نتذكر ان
AXB=
A ││B│Sin θ │
طيب ماذا عن العكس
A X B= - B X A
يعني نفس القيمة لكن بالسالب
__________________________________________________ __________________________________________________
مثال 1
المعطيات
^A =X
ومنها نستنتج
Ax=1
و
^B=Y
ومنها نستنتج
By=1
المطلوب
A X B?
الجواب
بماان Ax=1
فاكيد ان Az=0 ,Ay=0
ونفسها B
هذا نفهمه من هذا القانون
^A =Ax X^+ Ay Y+AzZ
اذن الجواب بالمعادلات بيكون = ^ Z
(وبصراحه مافهمته!!؟)
لانه علق بعدها على ان X (cross) y=Z
ومستحيل يساوي Z-
هذي الجزئية
Suppose I gave to vector A this x roof.
It's a unit vector in the x direction.
That means A of x is one and A of y is zero and A of z is zero.
And suppose B is y roof.
That means B of y is one and B of x is zero and B of z is zero.
What, now, is the dot product, the cross product, A cross B?
Well, you can apply that recipe but it's much easier to go to the x, y, z axes that we have here.
A was in the x direction, the unit vector and B in the y direction.
I take A in my hand, I rotate over the smallest angle which is 90 degrees to y, and my corkscrew will go up. So I know the whole thing already.
I know that this cross product must be z roof.
The magnitude must be one.
That's immediately clear.
But I immediately have the direction by using the corkscrew rule.
Now if you're very smart you may say, "Aha! You find plus z "only because you have used this coordinate system.
"If this axis had been x, and this one had been y "then the cross product of x and y would be in the minus z direction." Yeah, you're right.
But if you ever do that, I will kill you!
[class laughs]
You will always, always have to work with what we call "a right- handed coordinate system." And a right-handed coordinate system, by definition is one
whereby the cross product of x with y is z and not y minus z.
So whenever you get, in the future, involved with cross products and torques and angular momentum always make yourself an xyz diagram for which x cross y is
z.
Never, ever make it such that x cross y is minus z.
You're going to hang yourself.
For one thing, that wouldn't work anymore.
So be very, very careful.
You must work... if you use the right-hand corkscrew rule make sure you work with the right-handed coordinate system.
)
تااااااااااااااااااااااااااااااااابع