معادلة صعبة؟ من يستطيع منكم حلها؟

[الأستاذ المحاضر]

أعضاء شبكو ومنتديات ملتقى الفيزيائيين السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته

هذه معادلة رياضية تبدو صعبة في الحقيقة لم أستطع حلها ، فأردت أنا أضعها في منتداي المفضل عسى أن يقوم أحد أذكيائنا بحلها .


المعادلة هي :


1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32 1/64 + 1/28 + ...+ 1/ س = 1


فكما ترون في كل مرة نضيف نصف الرقم الأول ، والمطلوب هو إيجاد العدد س؟

حظا موفقا ..

[الأستاذ المحاضر]

إخواني هناك خطأ في المعادلة ضع بدل 28 العدد 128 فتصبح المعادلة هكذا

1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ...+ 1/ س = 1

[Mr.physics]

س = 268435456 اتوقع هذي قيمة الـسين
حسب

مع آآأني لي شكــوك في هذهـ ـآلمسئلهــ

آأتوقع فيهاأآ خطـآأإ ..

[د. محمد قيصرون ميرزا]

بسم الله الرحمن الرحيم

الأخ الكريم، السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، وبعد
كما أذكر من دراستي للرياضيات في جامعة دمشق، فإن هذه السلسلة الرياضية تكتب عادة بشكل معروف

L........... 1/2+1/4+ ......................+1/2^n=1]



أي أن المجهول س في السؤال المطروح يساوي العدد 2 مرفوع للأس n .
وهذه تعطى عادة على شكل أحجية تقول إن نملة تريد قطع مسافة متر واحد بحيث تقطع في أول ثانية نصف متر فقط ، وفي الثانية التي تليها تقطع نصف المسافة المتبقية، وفي الثانية الثالثة تقطع نصف مابقي، وهكذا دواليك (أي في كل ثانية تقطع نصف المسافة المتبقية لها). فإلى كم ثانية تحتاج لتقطع مسافة متر؟ والجواب طبعاً لانهاية من الثواني لأنها لن تصل للنهاية مهما فعلت !
ولذلك فحل السؤال المطروح هو لانهاية أي n لانهاية !

والله أعلى وأعلم، وفوق كل ذي علم عليم*

[الأستاذ المحاضر]

معك حق أخ د. قيصرون ميرزا ، فأنا أحاول أن أتأكد من صحة الأحجية

[جاسم السالم]

أشكرك أخونا د. ميرزا
بالفعل n يجب أن تكون لانهائية
ولكني أجادل أيضا أن الطرف الآخر من المعادلة يستحيل أن يساوي 1 إلا على التقريب
وحتى تتوازن المعادلة بدقة يجب أن يكون المجموع = 0,9999999999999999999
وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي
ولو كان المجموع يساوي واحد بالضبط لوصلت النملة :)

[المتفيزق]

يعطيك العافية أخانا الدكتور ميرزا...
أحب هنا أن أضع نفس حلكم الجميل بطريقة أخرى ...
إن جمع المتوالية المسماة الهندسية اللانهائية ... يعطى عادة بالشكل:
sum = 1/(1-r)...ok
حيث r هي الأساس ...
يعني على سبيل المثال:
3 ، 1 ، 1/3 ، 1/9 ... إلى مالانهاية ... هنا الأساس ثلث ... يعني نحن نضرب في ثلث كل مرة ...ويكون مجموعها جميعا:
3 ÷ ( 1-1/3) = 9/2
كذلك : 1/2 + 1/4 +1/8... مالانهاية = 1/2 ÷ (1 - 1/2) = 1 حيث الأساس نصف...
ولذلك هذه المتوالية التي نحن بصددها لا يمكن أن يكون مجموعها 1 إلا عند المالانهاية وعليه أخر حد في المتسلسلة هو المالانهاية ...
يعني أنا حبيت أرجع بالموضوع رجوعا وبطريقة عكسية ... لكنها وحل الدكتور ميرزا يخرجان من مشكاة واحدة...
ومثال النملة التي تقفز تلك القفزات المتناصفة مثال لطيف ولطالما تندرنا به ...
واقبل تحيتي

[تغريـد]

أشكرك أخونا د. ميرزا
بالفعل n يجب أن تكون لانهائية
ولكني أجادل أيضا أن الطرف الآخر من المعادلة يستحيل أن يساوي 1 إلا على التقريب
وحتى تتوازن المعادلة بدقة يجب أن يكون المجموع = 0,9999999999999999999
وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي
ولو كان المجموع يساوي واحد بالضبط لوصلت النملة :)

أشكر الجميع على الشرح الجميل
و أحب أن أوضح فقط لأخي الكريم جاسم
أن العدد
=... 0,9999999999999999999
وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي
و العدد 1 رياضيا متطابقان
و الحقيقة أن كل عدد حقيقي له صورة عشرية منتهية يمكن كتابته على شكل عشري دوري
أقصد كل الأعداد العشرية المنتهية لها صورتان الأولي منتهية و الثانية غير منتهية و تحديدا دورية لها الدورة 9
و هذه الصفة لا تتحقق لغيرها من الأعداد
لا أدري في النهاية هل نعتبر النملة وصلت أم لم تصل هذا يعتمد على درجة الدقة المعتمدة في المسألة
فرياضيا هي لن تصل و فيزيائيا ستصل (باعتماد أنواع التقريب المعمول بها في العادة) !!

آسفة أن ابتعدت بكم

[المتفيزق]

احسنت تغريد ... لكن هنا نحن نعتبر النملة نقطة ...وعندها ينتفي أن تصل فيما أظن... لأننا سنضعها بالضبط في منطقة منتصف المسافة... لكن اذا اعتبرنا الابعاد للنملة فإن معنى ان رجلها مثلا 1ملم والقفزة ميكرومتر أنها فعلا وصلت ... كلامك جميل...

[جاسم السالم]

أشكر الجميع على الشرح الجميل
و أحب أن أوضح فقط لأخي الكريم جاسم
أن العدد
=... 0,9999999999999999999
وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي
و العدد 1 رياضيا متطابقان
و الحقيقة أن كل عدد حقيقي له صورة عشرية منتهية يمكن كتابته على شكل عشري دوري
أقصد كل الأعداد العشرية المنتهية لها صورتان الأولي منتهية و الثانية غير منتهية و تحديدا دورية لها الدورة 9
و هذه الصفة لا تتحقق لغيرها من الأعداد
لا أدري في النهاية هل نعتبر النملة وصلت أم لم تصل هذا يعتمد على درجة الدقة المعتمدة في المسألة
فرياضيا هي لن تصل و فيزيائيا ستصل (باعتماد أنواع التقريب المعمول بها في العادة) !!

آسفة أن ابتعدت بكم

أشكرك أختي الكريمة تغريد على هذا التوضيح الرياضي المفيد
وهي معلومة كنت أجهلها
وبالمراجعة وجدت تعليقي عن النملة خاطيء
وصدقتي رياضيا لن تصل وفيزيائيا لن تصل إلا بنقص قدرتنا على دقة القياس وكما أفدت تصل على التقريب

وأظن للعجلة خلطت بين مثال النلمة بين إحدى المفارقات المشهوره
ومختصرها حسب ذاكرتي - وأرجو التصحيح لي -إذ كيف يمكن لجسم أن يعبر مسافة ما بينماهذه المسافة تحتوي على عدد لانهائي من الأجزاء (يمكن أن تقطع أنصافا إلى مالانهاية كما في المعادلة)

وهي فرصة لوجود هذه النخبة القادرة على التمحيص أن أطرح إجابة في هذه المفارقة
وهي بإختصار أن الجسم طالما له طول في إتجاه حركته وطوله هذا أيضا يحتوي على أجزاء لامتناهية
فإذن إن الأجزاء اللامتناهية للمسافة يتم قسمتها على لامتناهية أجزاء الجسم فليلغيان بعضهما
وهكذا يكون عبور الجسم للمسافة هو عبور في مضاعفات طوله ليس إلا
فالمسافة إذن نسبيه للمتحرك فيها ويمكن تعريفها على أنها مضاعفات لطول المتحرك عبرها وبمعنى كلاهما مرتبطان
فلايمكن بهذا لنقطة بلا طول أن تتحرك اصلا
إلا أن يكون لها طول - ولو بعدا واحدا - ولكن لاتكون حركتها إلا بإتجاه هذا الطول
الحقيقة قرأت عن هذه المفارقة قديما
فإن صح وجودها وكانت وجهة النظر هذي تلغيها كمفارقة
فهذا سيمنع أي إفتراض أن يكون هناك أوتار ببعد واحد وتهتز بغير إتجاه هذا البعد
وحيث تمنعها من هذا الإهتزاز لانهائية أجزاء المسافة
وإن كان لشيء ذو بعد واحد أن يتحرك فليس إلا بإتجاه بعده أو طوله فقط
وكذلك فإن صح هذا فهو يتطلب مراجعة لكثير من الأمثلة في فيزيائية الحركة عموما
وعلى أي حال هي افكار قديمة تذكرتها وأعتذر على سوء طرحها المرتجل
وأعتذر ايضا للدكتور أني ذهبت بعيدا جدا ولكن أرجو للفائدة
جزاكم الله خيرا

[د. محمد قيصرون ميرزا]

مداخلات جميلة جداً وممتعة للغاية،
جزاكم الله كل خير ..
وأتطلع للمزيد لما في هذه النقاش الراقي من فائدة على كافة المستويات ..
بارك الله فيكم أخوتي وأخواتي الكرام

[تغريـد]

أشكركم جميعا أساتذتي الكرام
أخي الكريم الجاسم
يسعدني حقيقة أن أشارك في هكذا مناقشة رائعة
رغم أني لم أسمع بتلك المفارقة من قبل

فهل لك أن تضعنا في الصورة بطريقة أوضح

للحقيقة لم أجد يوما ما يمنع منطقيا من تحرك النقطة المادية لأنها في النهاية لا تمثل إلا جسيم له أبعاد حقيقية يتم تجاهلها في العادة و يتم التعامل مثلا مع مركز الكتلة
هذا ما أعيه في الفيزياء التقليدية
و لكني لست مختصة بالفيزياء لذا أنا بحاجة إلى التذكير في هذا الإطار

على كل حال أرى أن مشاركتك لها علاقة بنظرية الأوتار الفائقة
و التي لا علم لي بها تقريبا
على أني أعتقد أن أخي الصادق على دراية كافية بها

و للحقيقة أعتقد أن هناك مستويات متعددة لمثل هذا الحديث
ففيزيائيا لدينا الفوتون و هو ليس له أبعاد و لكنه يتحرك في كل الاتجاهات
و هنا يظهر على السطح أمرين
الأول مبدأ عدم التحديد حيث يمكن الادعاءعن عدم إمكانية الحديث عن طول صفري بدقة 100%
و الثاني هو طبيعة الحديث هل هو حول أجسام تتحرك حركة ذاتية كما أظنه الأمر في الأوتار الفائقة أم أجسام تتحرك بتأثيرات خارجية كما يحدث في الفوتونات


الحقيقة الأمور تتداخل بشكل كبير عندما أحاول التفكير بها
لذا أرجو أن تساعدني في تحديد أكبر لطبيعة المسألة
و أشكر لكم جميعا هذا الطرح الهادف

[nuha1423]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أشكركم جميعاً

بارك الله فيكم

مناقشة رائعة

[د. محمد قيصرون ميرزا]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، وبعد

الشكر الجزيل للأخ الفاضل الأستاذ المحاضر، جزاه الله خيراً، على هذا السؤال الذي طرحه علينا وأثار به هذه العاصفة المثمرة من النقاش والتفكير والآراء المتنوعة.

وأرجو أن تسمحوا لي أن أعود لنقطة كنت قد تكلمت عنها سابقاً بخصوص نسبية الصفر واللانهاية في الحياة، وأن أضع بعض الملاحظات التي أرجو أن تجدوا فيها بعض الفائدة، بخصوص الربط الرائع بين الفيزياء كعلم تجريبي والرياضيات كعلم تجريدي! (مع حبي واحترامي لأخوتي الرياضيين والرياضيات).

فكما تفضل الأخوة والأخوات، فإن الإجابة تعتمد على درجة الدقة التي نبحث عنها. فهناك فرق في الإجابة عندما نحاول حل المسالة من وجهة نظر رياضية بحتة، بمعنى أننا لانعطي للنملة أي أبعاد فيزيائية حقيقية، بل نفترض أنها معدومة الطول. وهذا غير منطقي فيزيائياً. بينما يمكن أن نجد إجابة شافية وكافية من ناحية فيزيائية.

فلو افترضنا أن طول النملة 5 ملمترات عندئذ نسأل: متى نقول إنها وصلت للحائط؟ يمكن أن نعتمد أنه عندما تصير أقدامها على بعد 2 ملمتر! في هذه الحالة يكون رأسها قد لامس الحائط.
ولذلك ترتبط عدد الحدود التي نحتاج إليها في السلسلة الأصلية بهذه الدرجة من الدقة.

ولذلك إذا أردنا أن تكون الدقة بحدود 2 ملمتر، أي أن يكون الفرق بين المسافة الفعلية (1 متر) والمسافة التي ستقطعها النملة (99.8 سنتمر) هو 2 ملمتر فقط، عندئذ نكتفي بالحدود التالية من السلسلة:

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512=0.998046875

ويكون الخطأ النسبي في هذه الحالة مساوياً إلى:

[/1(1-0.998046875)=0.001953125*


أي أن الخطأ النسبي أقل من 0.2 بالمائة ! وهذه دقة مقبولة تماماً بالنسبة لمعظم أجهزة القياس (كالمسطرة أو القدمة ذات الورنية vernier caliper أو حتى المايكروميتر).

وبالطبع فلا يجوز أن نكتب الإجابة، كما فعلت أنا أعلاه، بهذا العدد الكبير من الأرقام المعنوية التي تتجاوز دقة جهاز القياس المستخدم، أصلاً !

ومن اللطيف أن نلاحظ أننا وصلنا للانهاية بأخذ 9 حدود فقط من السلسة، أي أن اللانهاية في الفيزياء تساوي العدد 9 في هذه الحالة !!!!!!!!!!!!!!!

مع كل الاحترام والتقدير

[متفيزقة مبدعة]

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .

[المتفيزق]

نعم دكتور ميرزا ... هذا ما تحدثت به تماما عندما علقت على المشاركة الرائعة من تغريد... لكن تعليقك أضفى حلاوة وطلاوة ... يعطيك العافية اخي الكريم لكن تغريد عادت وطرحت علينا موضوعين رائعين وهي قصة مثالية كون النملة نقطة كما نعتقد في الفيزياء الكلاسيكية وقصة مبدأ عدم التحديد ... وهما نقطتان هامتان ... لكننا نتحدث في العادة عن نقاط مادية... خاصة عند عدم اعتبار حركة الاجسام الجاسئة (اقصد اعتبار الحركة الدورانية) ... ولذا فالموضوع يأخذ الاجابة حسب زاوية النظر إليه ... وإن كانت النقطة (المتناهية في الصغر!!!) اجدر ان تعالج كموميا لا تقليديا...
حياكم الله جميعا

[ام فراس]

نقاش جميل جداً ,, ولنعالج الموضوع كمياً فلدينا عدم التحديد في المسافة والزمن .. وهذا يعني انها بقطع مسافات أكبر سيقل زمن الوصول أو انها مع مضي الوقت ستتضائل المسافة المقطوعة لهذه النملة ,,بحيث يظل عدم التحديد لدينا ثابتا في قيمة ثابت بلانك ( مقسوما على (2*ط) ولكن قيمة هذه المتسلسلة الهندسية تجعلنا نجزم رياضياً دون أن نخمن كمومياُ

[Dawn]

نقاش جميل...
متابع

[الحارث]

مناقشات علمية ممتعة بارك الله فيكم
الشكر لكل من شارك

[طموح2005]

مناقشات مبهرة ...

[د. محمد قيصرون ميرزا]

بسم الله الرحمن الرحيم

حياك الله أخي الفاضل المتفيزق (أبا الهيثم) وأشكرك على ملاحظاتك القيمة، وكما تفضلت فإن الأخت الكريمة تغريد وأختنا العزيزة أم فراس ستوقعانا في مطب الفيزياء الكمية ومبدأ الشك لهايزنبرك، بدقة ملاحظاتهما الرائعة حول هذا الموضوع.
وسأحاول الهرب من التعليق المباشر لأني في شك من أمري وترتابني الحيرة بخصوص هذه النملة المسكينة، التي وقعت في حبال أخونا الكريم الأستاذ المحاضر وحاصرناها جميعنا من كل صوب وحدب.
ولكن سأنقذها بهروب سريع من الفيزياء الكمية وأعود بها لبر أمان الفيزياء الكلاسيكية، بافتراض أنها بطيئة جداً وبالتالي لانجد مشكلة كبيرة بتحديد مكانها وسرعتها بدقة عالية لأن ثابت بلانك صغير لدرجة أن نتيجة ضرب الارتياب في موضعها وسرعتها سيكون بالتأكيد أكبر من هذا الثابت، (إلا إذا صارت نملة آلية bionic ant) وصارت تركض بسرع تقارب سرعة الضوء، وعندها تقع في فخ هايزنبرغ ونقف جميعنا نبحث عنها دون طائل !
أما لو بقيت نملة منطقية، كما نعرفها، عندئذ تعود طريقة الحل المطروحة في المناقشات السابقة أعلاه مقبولة وصحيحة، ضمن حدود الخطأ الذي نحدده.

والله أعلى وأعلم، وفوق كل ذي علم عليم

[جاسم السالم]

أشكركم جميعا أساتذتي الكرام
أخي الكريم الجاسم
يسعدني حقيقة أن أشارك في هكذا مناقشة رائعة
رغم أني لم أسمع بتلك المفارقة من قبل

فهل لك أن تضعنا في الصورة بطريقة أوضح



هل هناك في الطبيعة جزء لايتجزأ أم أن التجزأ يستمر إلى مالانهاية كما في الرياضيات ؟!

هذا سؤال عمره آلاف السنين وهذه المفارقة من نبت هذا السؤال
أظن أول من طره هذه المفارقة الفيلسوف اليوناني صاحب المفارقات زينون الإيلي
فتصور شخصية آخيل السريع الحركة وهو يريد أن يلحق سلحفاة تسبقه بمسافة
ولكن المسافة أجزاء لامنتهية وتقبل القسمة على إثنين إلا مالانهاية (كما في المعادلة)
وهكذا كلما قطع نصف المسافة فأمامه أنصاف لامنتهية من المسافة ليلحق بالسلحفاة
فهذه مفارقته بأن آخيل (أو الأرنب في تصوير آخر ) مفترض لايلحق بالسلحفاة رياضيا ونظريا ولكنه طبيعيا وواقعيا يلحقها

إنتقلت هذه النقاشات المستطيلة في شأن التجزأ من اليونانيين إلى العرب ومنهم للغرب الحديث
وقد حاولوا التخلص من المفارقة بالقول ب(الطفرة )
ويعنون بالطفرة أن الجسم المتحرك لايمس كل أجزاء المسافة التي يقطعها بل يمكن أن يبلغ مكان دون أن يمر بالذي قبله

وقد إستمرت النقاشات الفسفية بين( الإتصال والإنفصال)
وهي تسميتان للتفريق بين قبول الإنقسام غلى مالانهاية وهو الإتصال أو وقوف الإنقسام عند جزأ لايتجزأ وهو الإنفصال
وإنقسم الفلاسفة إلى فريقين كل له براهينه بين الإتصال والإنفصال
وقد تناقش في ذلك كل من البيروني وابن سينا حيث الاخير كان يدافع عن الإتصال آخذه من آرسطو والمشائين

وللعلم فإن كثير من النظريات الحديثة متداخلة مع هذه النقاشات القديمة وأثمرت بالتالي
التقابل بين الموجيه والجسيميه حيث الموجيه مرادف الإتصال والجسيميه مرادف الإنفصال
وفي العصر الحديث تم دمجهما كوجهين متلازمين فإذا نظر لأحدهما إختفى الآخر

بل إن إن الماديين الجدليين يعتبرون ذلك التقابل بين الجانبين المتصل والمنفصل أو الموجي والجسيمي صورة لتقابل حدين من حدود الجدل المخامر للطبيعة كلها
ولعلنا نلاحظ أن بلانك بتجرته الإشعاع الاسود قد إعتبر الطاقة كم منفصل وهذا إستمرار لهذه الجدلية
ونلاحظ أيضا أن هذه التجربة لجسم الإشعاع الاسود وتفسير بلانك الكمي للضوء والذي كان يحاول الهروب منه هو ماألهم آينشتاين وهو الجريء لمواجهة ذلك وإفتراض جسيمية الضوء وولد لنا بذلك الفوتون

وإلى هنا فإن حصارنا هنا لهذه النملة على حد التعبير الظريف من دكتور ميرزا :) والدخول في الكم بسببها هو أمر طبيعي
فهي نملة لازالت تتحدى العلم لكشف سرها..

وما قلتيه ياأختنا الفاضلة تغريد بأن الأمور تتداخل عليك وما أوردتيه من تشابك هذا مع فيزياء الكم والضوء
هو بذاته التداخل التاريخي الذي حدث في الموضوع وقد تلخص بفكرك حين تداولتيه بعقلك
وهذا دليل على روعة هذا النقاش المفيد وصحته
وإن شاء الله لي عودة لمزيد من الحوار

[vpdg]

بارك الله فيكم جميعا

[تغريـد]

الأخوة الكرام
حياكم الله تعالى
أخي الكريم جاسم
أشكرك على هذا الشرح الجميل لتلك المفارقة
و هي تتناول مفارقة بين المنطق و الواقع كما يبدو
الحقيقة أني كنت أشك في كونك تقصد تلك المفارقة و التي سمعت عنها بالتأكيد و أخذت حيزا كبيرا من تفكيري
رغم أن نظرتي للموضوع ربما تختلف

و لكن دعونا نبدأ من التلخيص للقضية الذي عرضته

" إنتقلت هذه النقاشات المستطيلة في شأن التجزأ من اليونانيين إلى العرب ومنهم للغرب الحديث
وقد حاولوا التخلص من المفارقة بالقول ب(الطفرة )
ويعنون بالطفرة أن الجسم المتحرك لايمس كل أجزاء المسافة التي يقطعها بل يمكن أن يبلغ مكان دون أن يمر بالذي قبله

وقد إستمرت النقاشات الفسفية بين( الإتصال والإنفصال)
وهي تسميتان للتفريق بين قبول الإنقسام غلى مالانهاية وهو الإتصال أو وقوف الإنقسام عند جزأ لايتجزأ وهو الإنفصال
وإنقسم الفلاسفة إلى فريقين كل له براهينه بين الإتصال والإنفصال
وقد تناقش في ذلك كل من البيروني وابن سينا حيث الاخير كان يدافع عن الإتصال آخذه من آرسطو والمشائين

وللعلم فإن كثير من النظريات الحديثة متداخلة مع هذه النقاشات القديمة وأثمرت بالتالي
التقابل بين الموجيه والجسيميه حيث الموجيه مرادف الإتصال والجسيميه مرادف الإنفصال
وفي العصر الحديث تم دمجهما كوجهين متلازمين فإذا نظر لأحدهما إختفى الآخر

بل إن إن الماديين الجدليين يعتبرون ذلك التقابل بين الجانبين المتصل والمنفصل أو الموجي والجسيمي صورة لتقابل حدين من حدود الجدل المخامر للطبيعة كلها
ولعلنا نلاحظ أن بلانك بتجرته الإشعاع الاسود قد إعتبر الطاقة كم منفصل وهذا إستمرار لهذه الجدلية
ونلاحظ أيضا أن هذه التجربة لجسم الإشعاع الاسود وتفسير بلانك الكمي للضوء والذي كان يحاول الهروب منه هو ماألهم آينشتاين وهو الجريء لمواجهة ذلك وإفتراض جسيمية الضوء وولد لنا بذلك الفوتون"

و لكن هل بالفعل تعتمد الفيزياء الحديثة مفهوم الانفصال في الطبيعة كبديل عن مفهوم الاتصال
الحقيقة أني لا أعتقد ذلك فالطاقة مكممة نعم
و لكن أينشتين كما تفضلت أخرج الفيزياء من تلك القضية بفرض أن الطاقة المنبثقة لا تصدر على شكل فيض متصل و لكن لها طبيعة جسيمية و هذه الطبيعة المكممة حسب معلوماتي القاصرة لم تتعد الطاقة لمتجه الموضع مثلا و لا للزمن بل إن هذه الكميات كانت و لا زالت كميات متصلة و أنا لا أرى ما يوجب التفكير بأن الانفصال هو الحالة الأساس و نتعامل معها في ميكانيكا الكم على أنها كميات متصلة إلا إذا افترضت الشروط الحدية غير ذلك كما في مدارات الالكترون.
و كانت هذه النقطة ذاتها مثار جدل عاصف دار بيني و بين الأخ أحمد فتحي سواء في هذا الملتقى أو منتدى الفيزياء التعليمي


على كل حال أنا أستغرب أن هذه المسألة حيرت العلماء و المفكرين و أحدثت هذا الجدل الكبير في طبيعة الوجود و الحركة

صحيح أن المسألة أخذت وقتا كبيرا للتفكير فيها و أحسست أني وقعت في الفخ المنصوب في هذه المفارقة أشهرا عديدة
و ربما سنوات
و لكن دعونا نعرض المسألة بأشكال آخرى
المسألة الأصلية أن الحصان بلغت به ثقته بنفسه أنه تسابق مع السلحفاة و أعطاها فترة زمنية تسيرها قبل أن يبدأ هو و لكن للأسف كان على الحصان أن يقطع نصف المسافة بينه و بين السلحفاة
ثم نصف المسافة الباقي بينه و بين السلحفاة ثم نصف المسافة الباقية و هكذا إلى ما لا نهاية

و للحديث بقية

[جاسم السالم]

أختي الكريمة تغريد أشكرك وفي إنتظار بقية عرضك للموضوع

[تغريـد]

و هكذا يبدو أن حصاننا أوقع نفسه في الفخ و لن يستطيع أن يسبق السلحفاة
و لكن الواقع يقول
لا: بالتأكيد لدى الحصان كل الفرصة لأن يسبق السلحفاة ن اللهم إلا إذا بلغت به الجرأة لأن ينام في منتصف السباق كما فعل الأرنب في القصة التي كانت تتناولها كتب اللغة العربية و نحن أطفال
مرة أخرى دعوني أعرض القضية باسلوبي
نفرض أن سيارة تتحرك و أنا أتحدث عن المسار الذي تأخذه نقطه على أحدى عجلات هذه السيارة على الأرض
هل هناك أي إمكانية للتفكير بأن السير يتم هنا على شكل طفرات أو قفزات
الحقيقة لا أجد مسوغا في العالم يساعدني على تخيل ذلك أو أنه له مكان أي مكان ضمن أي دائرة من دوائر الدجل

لنعرض المفارقة مرة أخرى بأسلوب آخر
على افتراض أننا نعلم أن هذه النقطة ستقطع بالضرورة مسافة وحدة طول أيا كانت مترا أم كيلو مترا أم ميلا أم ...
فإن هذه النقطة المسكينة و التي ليس لها بالتأكيد أي أبعاد (لننأي بأنفسنا أن افتراض أن هناك أبعادا للنملة أم للسلحفاة و أن مكمن المفارقة في وجود تلك الأبعاد ) ستضطر تلك النقطة في البداية لقطع نصف هذه الوحدة و ثم نصف النصف الذي تبقى، ثم نصف الربع الذي تيقى، و هكذا إلى ما لا نهاية
و بالتالي لن تتمكن النقطة من تجاوز تلك المسافة أبدا عوضا عن أن تسير مضاعفاتها

حسنا ماذا إذا تخيلنا أن وحدة الطول كانت ملليمترا

إن صمد هذا المنطق فهذا يعني بالضرورة أن النقطة (كما ذكرت في مشاركتك الأولى بهذا الشأن ) لن تراوح مكانها
و لكن هل كل المنطق و كل النقاشات المنطقية يستطيع أن تصمد أمام الواقع الواضح بأنه رغم كل شيء السيارة تسير أكثر بكثير من مجرد هذا و النقطة تخط على الأرض مسارا متصلا له طول يمتد لمضاعفات عديدة من وحدة الطول تلك شئنا أم أبينا.

قبل أن نوضح أين مكمن المفارقة يجب أن نتذكر أن هناك فروقا مهمة و جوهرية بين المسألة التي نحن بحيالها و بين مسألة النملة التي ذكرها أستاذنا محمد قيصرون ميرزا


فما هي هذه الفروق؟؟



يسعدني أن يستمر النقاش

[جاسم السالم]

ويسعدني ايضا إستمرار النقاش
وتعقيبا على بعض النقاط التي طرحت

بالنسبة لي لاأقول بالإنفصال للمسافة وكذلك مايسمى بالطفرة فهو منطق غير واضح التعريف لي شخصيا ولكني نقلته لإستعراضه
وهو على أي حال ضمن ملخص فلسفي يتعلق بالموضوع ولكن لايلزمنا بشيء فنحن نحاول التوصل الى فهم اوضح للمسأله

وإذا عدنا لحوارنا أظننا نتفق أن المسافة -أية مسافة - هي رياضيا تتكون من عدد لانهائي من الأجزاء فمنطق الأرقام يقول ذلك
نعم نحن نقسم المسافة إلى أجزاء محدودة حسب حاجتنا فنحصيها (مثل المتر نقسمه إلى مائة سنتمتر أو ألف مليمتر)
ولكننا نعلم أننا يمكن أن نقسم كل جزء منها إلى أجزاء والأجزاء أيضا يمكن تقسم كل منها إلى أجزاء أصغر وهكذا متوالية مستمرة
حتى نصل إلى النانومتر وأصغر واصغر
وهنا مطب المفارقة المرادة حين تعرض لنا ذلك مع الواقع التجريبي
وحيث نعبر خلال تجربة حركتنا كل أجزاء الأرقام اللامنتهية هذي التي تقع مابين طرفي المسافة
فمن يعرض المفارقة علينا لازال يسألنا كيف عبرنا اللانهاية
كيف إخترقنا واقعيا كل هذه الجزيئات التي لاتحصى ولاتنتهي كما يقول المنطق الرياضي
فما هي الفجوة بين المنطق الرياضي والواقع الطبيعي فيما يتعلق بعبور المسافة
هذا بظني عموم المفارقة
ومسألة النملة أو الحصان لن تختلف عن النقطة حين طرح المثال
فإذا إعتبرنا أن بلوغ نصف المسافة يتحقق حين تصل النقطة التي على طرف أنف النملة أو الحصان وهي النقطة التي كانت أصلا على خط البدايه
ولذلك فمقدمة كل متحرك هي النقطه والتي دائما لاتبلغ من المسافة المتبقية إلا نصفها فلايهم على هذا الشكل إن كانت النقطة تقطر من ورائها جسم لنملة أو حصان

ولو تتبعنا شرح أستاذنا محمد ميرزا لوجدنا أن النملة بتصويره كانت تتباطيء سرعتها فهي قطعت أول نصف متر في ثانية ولكن في الثانية التالية قطعت ربع متر ثم قطعت ثمن متر في الثانية الثالثة وهكذا
فمن يراقب هذه النملة يجدها تتباطيء تدريجيا وهي في إتجاهها إلى نهاية المسافة ولكن تباطئها يستمر حتى تصبح نملة يتململ من يراقبها فلا هي التي تسكن ولا هي التي تصل
شرح الاستاذ أضاف لنا شيئا حين أدخل عامل الزمن وإعتبرها تتباطيء
ومما يجعلنا نفكر ماذا لو كانت سرعتها منتظمة فهي ستقطع النصف متر في ثانية والربع متر في نصف ثانية ..إلأخ وهنا فالمسألة لاتتطلب إلا أن تكتمل ثانيتين من زمن المراقب ليراها وضلت
ولكن إذا حافظنا على شرط المثال التوضيحي (الذي يوضح لانهائية الأجزاء) فمعناها هنا أن الثانيتين لن تكتمل أبدا وسيبقى المراقب يلاحظ في الأجزاء المتناهية الصغر من الثانية الأخيرة
وهنا وضحنا من خلال المثال لانهائية أجزاء المسافة إضافة إلى لانهائية أجزاء الثانية حين تلاعبنا بسرعة النملة عبر الصورتين

المفارقة تكمن حين نرى بعينين إحداها تنظر إلى قابلية الابعاد للتجزئة اللانهائية والأخرى تنظر إلى الحركة عبر هذه الأبعاد

بالأمس بينما أتفكر في هذه المناقشات الجميلة وعلى ذكر الحصان والنملة خطر لي سؤال
أيهما سرع الحصان أم النملة ؟

هذا سؤال غبي لأول وهلة إذ الحصان يمكن أن يقطع عشرة أمتار في الثانية بينما النملة تقطع عشرة سنتمتر فقط في الثانية فهو اقطع للمسافة منها بمائة مرة
ولكن قد تحتج علينا النملة
فتقول صحيح أني لاأقطع إلا عشرة سنتمتر في الثانية ولكن طالما طولي 2 مليمتر فأنا أقطع خمسين ضعفا من طولي في الثانية
بينما الحصان طوله مترين ولايقطع إلا عشرة أمتار في الثانية فهو لايقطع إلا خمسة أضعاف طوله
فأنا أعزم وأقدر منه في إختراق المسافة بعشرة مرات إذا قارنتم الامر بنسبية
وإن أردتم التأكد فتصوروني بحجمه ثم تصوروا السباق بيننا في المضمار وسترونه يمر وهو يقطع عشرة أمتاره في الثانية بينما تروني امر عليكم وأنا اقطع مائة متر في الثانية
إنكم حينها ستروني كالصاروح ولن تستطيعوا تمييز شكلي ولن تكادوا تروا أرجلي الرشيقة
وهكذا لولا أنه اضخم مني بآلاف المرات لما إعتبرتموه أسرع مني ..

المعذرة من الإطالة في هذا ولكني أحاول هنا أن أتعمق في الحركة عبر المسافة من جهات متعددة وربطها بكل من السرعة والزمن وايضا الحجم والطول للمتحرك
وبهدف التقديم إلى فكرة أن طول المتحرك قد تكون له علاقة وثيقة في معالجة مسائل الحركة الشائكة
فهو طول يمكن قسمته إلى مالانهاية من جهة وكذلك للإشارة إلى أنه يمكن أن ننظر إلى أي مسافة بمنظور نسبي جديد وبأنها الأضعاف لطول المتحرك فيها
وحيث حسب معلوماتي الفيزيائية المتواضعة أنه نادرا - أو منعدما - ماينظر لطول الجسم المتحرك حين معالجة فيزيائية الحركة

الاخت الكريمة تغريد ارجو أن تستمري في بقية طرحك وتأجيل التعقيب على هذ ه المداخلة إن شئت
وخشية أن يكون ردي قد تشتت بك عن وجهة حوارك الشيق المفيد..

وإني لازلت أتفكر في سؤالك عن هذه الفروق ومنتظرين شرحك جزاك الله خيرا
وللأخوة والأخوات المشاركون والمتابعون لهم جميعا الشكر الجزيل

[تغريـد]

أشكرك أخي الكريم جاسم على تعليقك الرائع حيث لمست كما توقعت عمق الفرق الجوهري بين المسألتين
بداية أنا لا أستبعد أن يكون جحم الجسم المتحرك له تأثير على طبيعة بعض المسائل أو الكثير منها و كما ذكرنا في مسألة النملة وجدنا أن هذه الأبعاد جعلت من وصول النملة أمر حتمي بعد عدد منتهي و صغير من الخطوات
و لكن
ما أردت الوصول إليه أن هذه النقطة ليست هي النقطة الفارقة في مسألتنا هذه بدليل أن مثال المسار الذي تخطه نقطة (تصحيحا لما سبق ) تماس أحد إطارات السيارة مع الأرض .

كما بينت أخي الكريم جوهر الخلاف بين المسألتين هو وجود سرعة ثابتة للحصان أو للسيارة
في حين أن النملة في المثال كانت سرعتها تتناقص وستظل حتى تقترب من الصفر عندما تقترب من نهاية المسافة
و لكن ما تأثير ذلك على مسألتنا

لاحظ أن النملة استغرقت ثانية لتقطع نصف المسافة و ثانية أخرى لتقطع ربع المسافة و ثانية ثالثة لتقطع ربع المسافة و هي في كل ذلك لن نستطيع أن تجمع عدد الأجزاء كلها إلا في عدد غير منتهي من الثواني و من هنا يمكننا الإدعاء بكل سهولة أنها لن تصل أبدأ (على افتراض الواقع المجرد)

خلاصة الأمر أن مسألة النملة ليس فيها أي مفارقة غريبة

لنرجع إلى مسألة الحصان
ما تتمي به هذه المسألة عو وجود سرعة ثابتة للحصان هذا يعني ببساطة أن الزمن اللازم لقطع المسافات المتاقصة هو أيضا متناقص و كل الخطوات هذه ذات العدد غير المنتهي تتم في فترة صغيرة نسبيا من الزمن و لتكن س
و وجه التناقض هنا أن عدد الخطوات اللانهائي يوحي بأن الحصان سينتظر إلى ما لانهاية قبل أن يلحق بالسلحفاة
و هذا ما ينفيه الواقع الرياضي عندما نفكر في احتساب الزمن الذي يقتضيه ذلك العدد غير المنتهي من الخطوات كما فعلت أنت في مشاركتك الأخيرة، و من هنا نجد أنه لا تعارض بين الواقع و بين التوصيف الرياضي
ذلك أن توصيف المسألة في حد ذاته هو توصيف غير كامل يقتصر فقط على جزء من العملية و لا يعطينا أي معلومات عما يحدث بعد فيما يبدو

و لكن على أرض الواقع الرياضي (لو تعمقنا به قليلا ) ما نقابله هنا هو دالة تربط بين متتابعتين الأولي تعبر عن المسافات المقطوعة في كل مرحلة يقابل كل منها الفترة الزمنية اللازمة لكل مرحلة و و كلتا المتتابعتين تقتربا من الصفر و تعبر المتسلسلة التي تتكون من مجموع حدود كل منها عن المسافة (الزمن ) - محسوبة من نقطة البدابة - عند كل مرحلة و هذه الدالة بهذه الشروط تقتضي رياضيا أن تتفق نهايتي المتتابعتين فعندما نصل للفترة الزمنية س نكون قد وصلنا لنهاية المسافة المطلوبة و تبدأ اللحظة التالية في الانطلاق لما بعد تلك المسافة.


في المقابل الأمر يختلف في مسألة النملة فنهاية المتتابعة الزمنية هي ما لانهاية
و نهاية المتتابعة المكانية هي مسافة محدودة و بالتالي لن تصل النملة أبدا
و لنتأمل أنه في التطبيق هذه المسألة من الصعب جدا أن تمثل حركة واقعية إلا إذا كانت كل خطوة تخطها النملة على الأرض تستنزف قواها و تضعف من قدراتها في الواقع و لا تعبر برأيي إلا على موت بطيء)
لا أقصد أن المثال برمته غير واقعي
إلا أني أعتقد أن خير مثال لها هو
لها هو ما تمثله ظاهرة التحلل الإشعاعي و لضعف معلوماتي سأحاول أن أقتبس من موضوع (وعنده مفاتح الغيب لا يعلمها إلا هو). .

" من المعروف أن ذرات الراديوم وغيره من المواد ذات النشاط الإشعاعي , تتفكك بمجرد مرور الزمن عليها , وتخلف وراءها ذرات من الرصاص والهليوم . ولهذا فإن كتلة من الراديوم ينقص حجمها باستمرار , ويحل مكانها رصاص وهليوم ، ولنوضح هذه الحقيقة بمثل مادي فنقول:إذا فرض أن بحجرتنا ألفين من ذرات الراديوم . فإن العلم لا يستطيع أن يقول:كم منها يبقى حيا بعد عام . بل كل ما يستطيعه هو أن يذكر فقط الاحتمالات التي ترجح بقاء 2000 أو 1999 أو 1998 , وهكذا . وأكثر الأمور احتمالا في الواقع هو أن يكون العدد 1999 , أي أن أرجح الاحتمالات هو أن ذرة واحدة لا أكثر من الألفي ذرة , هي التي تتحلل في العام التالي .
"ولسنا ندري بأية طريقة تختار تلك الذرة المعينة من بين هذه الألفي ذرة . وقد نشعر في بادى ء الأمر بميل إلى افتراض أن هذه الذرة ستكون هي التي تتعرض للاصطدام أكثر من غيرها , أو التي تقع في أشد الأمكنة حرارة , أو التي يصادفها غير هذا أو ذاك من الأسباب في العام التالي . ولكن هذا كله غير صحيح , لأنه إذا كان في استطاعة الصدمات أو الحرارة أن تفكك ذرة واحدة , فإن في استطاعتها أيضا أن تفكك ال 1999 ذرة الباقية , ويكون في استطاعتنا أن نعجل بتفكيك الراديوم بمجرد ضغطه أو تسخينه ; ولكن كل عالم من علماء الطبيعة يقرر أن ذلك مستحيل ; بل هو يعتقد على الأرجح أن الموت يصيب في كل عام ذرة واحدة من كل 2000 من ذرات الراديوم , ويضطرها إلى أن تتفكك . وهذه هي نظرية "التفكك التلقائي" التي وضعها "رذرفورد" و"سدي" في عام 1903
و هكذا من الخير لنا إلا تصل النملة لأن في وصولها ضياع معلومات كاملة عن التطور الزمني للأرض
على حدود معلوماتي إن صحت

[جاسم السالم]

أشكرك أختي تغريد على هذا التحليل المتأني في المثالين
وصحيح مثال النملة ليس فيها مفارقة في حد ذاتها فهي وجه من المسالة الغرض منه توضيح وجود لانهائية في الاجزاء الصغيرة للمسافة والدليل على هذا اللامنتهي هو عدم وصولها حسابيا
ولكن المفارقة عند أهل هذه المفارقة تكمن في مقابلة هذا التوضيح من اللانهاية للأجزاء مع الوجه الآخر من المسألة وهو أن من يتحرك طبيعيا يكون قطع كل هذه الأجزاء رغم أنها لانهائية

بالنسبة لي حل هذه المفارقة ببساطة لايكون إلا بالنظر إلى أن الجسم المتحرك لايتحرك كونه نقطه واحده إنما هو عبارة عن نقطتين هما طرفه الأمامي وطرفه الخلفي وبينهما أيضا لانهائية من الاجزاء
وإذن فالمتحرك يحمل اللانهاية من الأجزاء لجسمه فينطلق بها حين يتحرك متخللا اللانهاية من أجزاء المسافة
فاصحاب المفارقة يريدوننا أن ننظر فقط إلى لانهائية أجزاء المسافة ونغفل عن كون من يتحرك فيها هو أصلا يحمل لانهائية التجزأ فهو أيضا مسافة لأن له طرفان بين أقصى مقدمته وأقصى مؤخرته
فنستطيع أن نقول طالما المتحرك يشغل حيزا طوال حركته في المسار فالمفارقة تنتقض لأنه يكون كما يبتلع لانهائية الأجزاء من أمامه بلانهائية أجزاءه هو
أي يلغيان بعضهما البعض وتعود المسافة محدودة الأجزاء واقعيا بوحدة الطول للمتحرك
ولكن هذه الحجة لوصحت لاتنقض المفارقة في حالة الحركة لجسيم منعدم البعد تماما إلا أن يكون له بعدا ولو متناهي الصغر
والشكر الجزيل لهذه النقاشات الجميلة وحسن الاستماع

[تغريـد]

بالنسبة لي حل هذه المفارقة ببساطة لايكون إلا بالنظر إلى أن الجسم المتحرك لايتحرك كونه نقطه واحده إنما هو عبارة عن نقطتين هما طرفه الأمامي وطرفه الخلفي وبينهما أيضا لانهائية من الاجزاء
وإذن فالمتحرك يحمل اللانهاية من الأجزاء لجسمه فينطلق بها حين يتحرك متخللا اللانهاية من أجزاء المسافة
فاصحاب المفارقة يريدوننا أن ننظر فقط إلى لانهائية أجزاء المسافة ونغفل عن كون من يتحرك فيها هو أصلا يحمل لانهائية التجزأ فهو أيضا مسافة لأن له طرفان بين أقصى مقدمته وأقصى مؤخرته
فنستطيع أن نقول طالما المتحرك يشغل حيزا طوال حركته في المسار فالمفارقة تنتقض لأنه يكون كما يبتلع لانهائية الأجزاء من أمامه بلانهائية أجزاءه هو
أي يلغيان بعضهما البعض وتعود المسافة محدودة الأجزاء واقعيا بوحدة الطول للمتحرك


أخي الكريم جاسم
عذرا ، و لكني

لا أدري لماذا
تعتقد أننا بسهولة يمكننا أن نفترض أن حقيقة إمكانية (انتقال جسم ذو طول ما بحيث يصبح آخره مكان أوله) ليس ضربا من الإعجاز و كأن ذلك يتم في غفلة من الزمن أو كأن آخر الجسم و أوله نقطة واحدة أو كأن ذلك لا يتطلب قطع كل نقطة من الجسم عددا غير منتهيا من النقاط المكانية في لحظة زمنية منتهية

و

في المقابل نجدك تقف مذهولا أمام حقيقة أن الجسيم الذي يتحرك بسرعة معينة يقطع عدد غير منتهي من النقاط المكانية في فترة محدودة من الزمان
مع العلم أن هذه الفترة الزمانية تحتوي أيضا عدد غير منتهي من اللحظات الزمانية


كل الشكر لك و أرجو من الله أن يوفقك و يسدد خطاك

[mysterious_man]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
نعم س= مالانهاية
وأؤكد صحة كلام الأخت تغريد أن
1=... 0,9999999999999999999
والمسألة هي حالة خاصة من المتتابعة الهندسية اللانهائية عدد الحدود
أما عن أحجية وصول النملة فوصولها رياضياً وفيزيائياً حادث و ليس معنى أنها ستقطع عدد لا نهائي من المقاطع أنها لن تنتهي لأنها قطعته في عدد لا نهائي من الأزمنة ومما لا شك فيه أنه يجوز رياضياً أن تكون اللانهاية نسبية وأيضاً مجموعة جزئية من لانهاية أكبر منها (زمن ما بعد وصول النملة)

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .