جبر صعب !

[مهند الزهراني]

السؤال وجدته في احدى المنتديات لم أستطع حله بعد لكن أشارككم اياه علكم تقدرون عليه.

نص السؤال:

ليكن a عدد حقيقي غير منعدم ، ولتكن لدينا المعادلتين E1 , E2 حيث:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\left(E_{1} \right):x^2-\left(2a+1 \right)x+a=0

http://www.codecogs.com/eq.latex?\left(E_{2} \right):x^2+\left(a-4 \right)x+\left(a-1 \right)=0

أوجد العدد a علما أن E1 تقبل حلين هما x1 , x2 و E2 تقبل حلين هما x3 , x4 وأن :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{x_{1}}{x_{3}}+\frac{x_{4}}{x_{2}}=\ frac{x_{1}x_{4}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \right)}{a}

[عقروب الفيزياء]

اخي مهند انا راح اعطيك بذرة الحل علك تفيد نفسك
X1+x2 =2a+1 , x1*x2 =a

X3 + x4 =4-a , x3 *x4 =a-1
المعادلة التي تجمع بين الجذور اشتغل فيها
وحد مقامات الطرف الايمن من المعادلة واضرب بعد ذلك الطرفين بالوسطين
وعوض ستجد معادلة من الدرجة الثانية بالنسبة لa
موفق مهند

[مهند الزهراني]

نعم أخوي هذي أعرفه بس ما قدرت أكمل الحل وأعتقد أن الفكرة تكمن في كيفية التلاعب المتقن بالمعطى الأخير من السؤال...

[Einstine]

أخي مهند ، أخي عقروب الفيزياء ..
كل عام و انتم بخير بمناسبة شهر رمضان الكريم ، نسأل الله أن يعيده علينا و عليكم بالخير واليمن و البركات ..
و أن يعيننا على صيامه و قيامه
-
أخي العزيز مهند ، سؤال جميل جدا ً و فى نفس الوقت سهل جدا ً ..
والفكرة فعلا تكمن فى المعطى الأخير و سأعطيك تلميحا ً بسيطا ً عن كيفية الوصول إلي الشكل المناسب له لحل المسألة :
ما هو هدف هذه المسألة ؟؟
هدف هذه المسألة هو أن نوجد القيمة العددية لـ http://www.codecogs.com/eq.latex?a .
والآن انظر إلي المعطي الأخير ، ستجد فى مقام الطرف الأيمن http://www.codecogs.com/eq.latex?a . لذا حاول عن طريق هذا المعطي أن توجد قيمة http://www.codecogs.com/eq.latex?a بدلالة http://www.codecogs.com/eq.latex?x_1,x_2,x_3,x_4 .
ومن هنا ومن المعلومات التي سبق و أشار إليها أخي عقروب الفيزياء ، يمكنك الوصول بسهولة فائقة إلي حل المسألة ..
وفقك الله عزيزي مهند ..
والسلام .

[مهند الزهراني]

بداية بارك الله فيك أستاذي العزيز وأبارك للجميع بالشهر الكريم وخصوصا أنت حيث اشتقنا كثيرا لمواضيعك فلا تحرمنا منها << بعد رمضان طبعا لأنها صعبة!>>
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

أعتقد أن هذا هو الحل وفقا لما أشار به الأستاذان أينشتاين وعقروب الفيزياء:

نستخدم التعويضات التالية بمعرفتنا لتكوين المعادلة التربيعية باستخدام جذورها أو باستخدام العلاقة بين معاملات وجذور كثيرات الحدود:

http://www.codecogs.com/eq.latex?E_{1}:x_{1}+x_{2}=2a+1 ,x_{1}x_{2}=a

http://www.codecogs.com/eq.latex?E_{2}:x_{3}+x_{4}=4-a ,x_{3}x_{4}=a-1

ومن المعادلتين نستنتج ما يلي:

http://www.codecogs.com/eq.latex?x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=a+5\Rightarrow\le ft(1 \right)

http://www.codecogs.com/eq.latex?x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=a\left(a-1 \right)\Rightarrow\left(2 \right)

بفرض صحة العلاقة المعطاة وهي:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{x_{1}}{x_{3}}+\frac{x_{4}}{x_{2}}=\ frac{x_{1}x_{4}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \right)}{a}

نوحد المقامات في الطرف الأيسر:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}}{x_{2}x_{3}}= \frac{x_{1}x_{4}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \right)}{a}

نضرب الطرفين والوسطين ونستخدم التعويضات الأربعة في السؤال وبعد ترتيب الحدود واجراء الاختزالات نخلص الى المعادلة التالية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?a^2+2a-4=0

يوجد لهذه المعادلة حلول غير صحيحة وهذا ما جعلني أشك بصحة خطواتي لكن هذان هما الحلان:

http://www.codecogs.com/eq.latex?a=\frac{-2\pm\sqrt[]{20}}{2}

أتمنى أن يكون حلي صحيحا:a_plain111: