مجاميع مثلثية!

[مهند الزهراني]

نعلم جميعا وجود صيغ لمجاميع خاصة مثل:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

صيغة السؤال:

نريد أن نستحث أفكار لصيغة خاصة لمجموع نسبة مثلثية معينة أو مربعها ولنقل للتسهيل أنها دالة sin (جا) أي أننا نريد ايجاد صيغة عامة لمجاميع مثل:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}sink

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}sin^2k

يمكننا القول بأن هذا السؤال عبارة عن مشروع "بحثي" أتمنا أن نجد فيه المتعة والفائدة (لم أستطع ايجاد صيغة حتى الآن لكني سأحاول ) بالتوفيق:a_plain111:

[عقروب الفيزياء]

اخي مهند افكارك حلوة وعجبتني كتير ولكن اريد ان اسالك واقول ( حبة حبة ياعلام )
هل فكرت بان توجد برهان رياضي غير تقليدي للعلاقة


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

[مهند الزهراني]

الحقيقة أخي عقروب لم أعرف برهان لهذا القانون سوى بالاستقراء الرياضي المعروف واذا أردت سأضعه فورا لكن سأحاول برهانها باستخدام خواص رمز المجموع لكن لا تنسى سؤالنا الأساسي! حتى مجرد طرح فكرة شيئ مثمر وفعال.

[عقروب الفيزياء]

معك حق اخي مهند طرح الفكرة شيى جميل وهذا ينم عن محبتك للرياضيات
في الحقيقة سألتك هذا السؤال لاني عندما كنت في نفس عمرك او اكبر من عمرك بسنة حاولت ان اوجد البرهان لمجموع المربعات ولكنني فشلت ولم احاول مرة ثانية حتى بعد دخولي الجامعة حيث ان اختصاصي الجامعي لادخل له من قريب ولا من بعيد في استنتاج القوانين الرياضية ولكن على ما اذكر تمكنت من ان اوجد علاقة بين مجموع المربعات ومجموع المكعبات او غير ذلك لا اذكر بالضبط
بالتوفيق اخي مهند

[مهند الزهراني]

أين المبدعون؟

لدي فكرة تحتاج لاتمام ، نعلم أنه للزوايا فوق الـ90 درجة هناك ما يعرف بصيغ الاختزال ، هل يمكن استخدام الصيغ لتبسيط المجاميع فوق ال90 درجة الى دوال الزوايا الحادة مع ابقاء اشارة الربع الذي تتواجد فيه الزاوية؟ مع العلم أني أقصد القيم الصحيحة غير الكسرية للزوايا.

[تغريـد]

عفوا أخي مهند
و لكن هذا السؤال ليس سهل مطلقا

و يحتاج بعض التوضيح
ربما كانت المشاركة الأخيرة توضحها
ذلك أن الزاوية تقاس بالتقدير الستيني
لأنها إذا كانت تقاس بالتقدير الدائري فهذا يعني أننا لن نرجع لنفس النقطة قبل أن نصل المالانهاية

و لكن حتى بالتقدير الستيني المسألة ليست سهلة إلا إذا كنت تقصد أن نوجد المجموع بدلالة ال 90 حدا الأولى


إو إذا كان عدد العناصر يمكن كتابته بدلالة العدد 90

؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

[مهند الزهراني]

صحيح أستاذة تغريد لو كان الموضوع بسيطا لما طرحته أصلا هنا ! ، لكنني واثق جدا بفكرتي الأخيرة وللتسهيل سأحاول اعتبار الحد الأعلى للمجموع 360درجة

[مهند الزهراني]

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sinx

والصيغة الثانية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sin^2x

[الصادق]

دعنى اُعطيك تلميح ربما يساعدك فى ايجاد الحل

اكتب جيب الزاوية بدلالة العدد المركب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\sin%20k%20=\frac{e^{ik}-e^{-ik}}{2i}
وهكذا فان المجموع يمكن كتابته بدلالة الفرق بين متواليتين هندسيتين
سوف تحصل فى الاخر على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\sum_{k=1}^{n}%20\sin%20k%20=\f rac{\sin(n+1)(1-\cos%201)-\sin%201(1-\cos%20(n+1))}{2\cos1-2}

الان اختبر ما اذا كان المجموع صحيح لعدد حدود n يساوى 89 ام لا؟ وما هى قيمة n التى تجعل المجموع يساوى صفراً؟
والله اعلم

[تغريـد]

فكرة رائعة جدا أخي الصادق

و أود أن أنوه أن هذه الصيغة لجيب الزاوية معطاة بالتقدير الدائري
لذا إذا أردنا التعامل مع التقدير الستيني يجب التحويل للتقدير الدائري بضرب k في العدد pi مقسوما على 180

[مهند الزهراني]

لي خصام منذ فترة مع الأعداد المركبة ، لكنها تبدو فكرة قيمة لم لا نجرب؟ وأكرر أني لا أريد جواب السؤااااال وانما أريد أن نطرح جميعا أفكارنا حتى نستفيد جميعا وليس من أجل واجب أو الزام وانما من حب هذا العمل ومشكورين على كل حال....

[تغريـد]

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sinx

والصيغة الثانية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sin^2x



أنت مثلي إذا
فهناك مساقات في الرياضيات لا أطيقها
و من سوء حظي أن منها المعادلات التفاضلية و التحليل العددي

على كل حال ألا يفترض أن تكون
http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sinx=0
لان كل زاوية في الربع الأول و الثاني جيبها موجب يقابلها زاوية في الربع الثالث و الرابع على الترتيب جيبها سالب

بينما يجب أن يكون

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sin^2x=4\sum_{i=1}^{90}sin^2x
لأن أي زاوية في الربع الثاني أو الثالث أو الرابع يقابلها زاوية في الربع الأول لها نفس الجيب (لو لم ننتبه للإشارة بسبب التربيع )

و في نفس الوقت كل زاوية من صفر إلى 45

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)

و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{90} sin^2x= \sum_{i=1}^{45} sin^2x+ sin^2 (90-x)=\sum_{i=1}^{45}1=45

و بالتالي يكون المجموع الكلي


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times 45=180


اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

[تغريـد]

حسنا هناك بعض التعديلات التي لم يقبلها المنتدى لذا سأعيدها هنا

و في نفس الوقت كل زاوية من 45 إلى 90

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)

فلو زاوجنا كل زاوية من 1إلى 45 مع متممتها إلى 90 سنحصل على كل الزوايا من 1 إلى 89 و لكن ستكون الزاوية 45 مذكورة مرتان لذا نطرحها
و كذلك نضيف الزاوية 90 لأن متتمتها 0 غير موجودة
و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{90} sin^2x= 1+ \sum_{i=1}^{45} (sin^2x+ sin^2 (90-x))- sin^2 45=1+ \sum_{i=1}^{45}1 -\frac{1}{2} =45-\frac{1}{2}

و بالتالي يكون المجموع الكلي


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times45.5=182


اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

[رابح26]

نعلم جميعا وجود صيغ لمجاميع خاصة مثل:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

صيغة السؤال:

نريد أن نستحث أفكار لصيغة خاصة لمجموع نسبة مثلثية معينة أو مربعها ولنقل للتسهيل أنها دالة sin (جا) أي أننا نريد ايجاد صيغة عامة لمجاميع مثل:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}sink

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}sin^2k

يمكننا القول بأن هذا السؤال عبارة عن مشروع "بحثي" أتمنا أن نجد فيه المتعة والفائدة (لم أستطع ايجاد صيغة حتى الآن لكني سأحاول ) بالتوفيق:a_plain111:

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
باستعمال الشكل الأسي للعدد المركب وصيغة جمع المتتالية الهندسية يمكن الحصول على صيغة
لمجموع cosk و sink من 1 إلى n
http://up4.m5zn.com/9bjndthcm6y53q1w0kvpz47xgs82rf/2009/8/26/01/hhl1fxhio.bmp (http://games.m5zn.com)

[مهند الزهراني]

حل جميل جدا أخت تغريد:s_thumbup: ومبروك على كل حال الفكرة في رأسي ولم أستطع صياغتها جيدا في قالب رياضي:confused: ، وبالنسبة لأخي رابح أيضا حل جميل لكني كما قلت:mad:مع الأعداد المركبة وأعاني بعض الصعوبات فيها ولو أنها جميلة بارك الله فيكم جميعا ومع أفكار جديدة قادمة ان شاء الله...:a_plain111:

[الصادق]

حسنا هناك بعض التعديلات التي لم يقبلها المنتدى لذا سأعيدها هنا

و في نفس الوقت كل زاوية من 45 إلى 90

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)

فلو زاوجنا كل زاوية من 1إلى 45 مع متممتها إلى 90 سنحصل على كل الزوايا من 1 إلى 89 و لكن ستكون الزاوية 45 مذكورة مرتان لذا نطرحها
و كذلك نضيف الزاوية 90 لأن متتمتها 0 غير موجودة
و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{90} sin^2x= 1+ \sum_{i=1}^{45} (sin^2x+ sin^2 (90-x))- sin^2 45=1+ \sum_{i=1}^{45}1 -\frac{1}{2} =45-\frac{1}{2}

و بالتالي يكون المجموع الكلي


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times45.5=182


اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند


حل رائع جداً
ايضاً اريد ان انوه باننا يجب ان نحذف من النتيجة الاخيرة مربع جيوب الزوايا 90 و 270 نسبة لتكرارهما فى المجموع حيث تتكرر 90 فى المجموع فى نهاية الربع الاول و فى بداية الربع الثانى و ال270 فى نهاية الربع الثالث و بداية الربع الرابع

ولذلك تصبح النتيجة النهائية 180

والله اعلم

[الصادق]

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sinx

والصيغة الثانية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{i=1}^{360}sin^2x

لو اعتبرت الحد الاعلى فى المجموع للمسألة الاولى يساوى 360 فان المجموع سوف يكون صفراً و هذا واضح جداً من شكل منحنى جيب الزواية لان كل القيم الموجبة التى تاتى من الربعين الاول و الثانى تلقيها تماماً القيم السالبة التى تاتى من الربعين الثالث و الرابع
ولتأكد عوض فى العلاقة التى وضعتها سابقاً مع ملاحظة الاخت تغريد (تغير الزوايا من وحدة الريديان الى وحدة درجة)

يمكن ايضاً ان تبرهن هذه العلاقة عن طريق كتابة الجيب بدلالة جيب التمام و الذى يمكن كتابته بدلالة مربع جيب نصف الزاوية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\%20\sum_{k=1}^{360}\sin%20k%20=\sum_{k =1}^{360}\cos%20(90-k)=\sum_{k=1}^{360}\left(%201-2\sin^2(\frac{90-k}{2})\right%20)\\%20\\%20\sum_{k=1}^{360}\sin%20k %20=%20360%20-2%20\sum_{k=1}^{360}\sin^2(\frac{90-k}{2})

والحد الاخير يشبة تماماً المسألة الثانية لان مع فرق ان العد سوف يبدا من 89 و ينتهى عند -270 و لذلك يمكنك ان تغير رمز الجمع k برمز اخر j=90-k والنتيجة سوف تكون نفسها 180
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=1}^{360}\sin%20k%20=360-2(180)=0

والله اعلم

[تغريـد]

صدقت أخي الكريم الصادق
فرغم أن الدورة الأولى بدأت من الزاوية1 إلى 90
الدورة الثانية ستبدأ من 179إلى 90
و الثالثة ستبدأ من 181 إلى 270
و الرابعة من 359 إلى 270
شكرا لك و بارك الله فيك
و لك خالص الشكر أخي مهند

[رابح26]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الصيغة التي سبق لي ذكرها
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=1}^{360}sink=((sin1+sinn-sin(n+1))/(2(1-cos1)))
تعطي نفس النتيجة عندما يكون ن = 360
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=1}^{360}sin&space;k=\frac{(sin1+sin&space;36 0-sin(360+1))}{2(1-cos1)}
أي تساوي صفر.
والواجب استعمال الراديان بدلا من الدرجات وذلك بضرب كل الزوايا بالمقدار
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{2\pi&space;}{360}

[رابح26]

المعنى الهندسي للمجموع يفسر انعدام المجموع
فلو جمعنا المقدار المركب cosk+i.sink على k من 1 إلى 360
لكمثل المجموع دائرة مضلعية منتظمة عدد أضلاعها 360 ضلع متساوي
ينطبق مبدأ الضلع الأول على نهاية الضلع الأخير وبالتالي فمجموعها الاتجاهي معدوم
وبالتالي فإن مجموع مسقطيه معدوم
أي أن مجموع sink = مجموع cosk = صفر

[رابح26]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
تصحيح
المعنى الهندسي للمجموع يفسر انعدام المجموع
فلو جمعنا المقدار المركب cosk+i.sink على k من 1 إلى 360
لمثل المجموع دائرة مضلعية منتظمة عدد أضلاعها 360 ضلع متساوي
ينطبق مبدأ الضلع الأول على نهاية الضلع الأخير وبالتالي فمجموعها الاتجاهي معدوم
وبالتالي فإن مجموع مسقطيه معدوم
أي أن مجموع sink = مجموع cosk = صفر
الصحيح أن التمثيل الهندسي للأعداد المركبة cosk+i.sink
بنقاط موزعة على دائرة الوحدة تبعد بمسافات متساوية
كما يمكن تمثيلها بأشعة طولها 1 ومختلفة في الزاوية بدرجة واحدة
أي انها موجهة في مختلف الاتجاهات بانتظام
ولكل شعاع يوجد شعاع معاكس له نظرا لعددها الزوجي
وبالتالي فمجموعها معدوم كما قلت سابقا
...
أما الشكل الدائري المضلعي المنتظم الذي ذكرت سابقا
فيتكون من الفروق بين هذه الأشعة

[تغريـد]

رائع أخي رابح
من الجميل جدا ربط العلاقات بمعانيها

[رابح26]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أعتقد أن نتيجة الأخ الأستاذ الصادق صحيحة
حل رائع جداً
ايضاً اريد ان انوه باننا يجب ان نحذف من النتيجة الاخيرة مربع جيوب الزوايا 90 و 270 نسبة لتكرارهما فى المجموع حيث تتكرر 90 فى المجموع فى نهاية الربع الاول و فى بداية الربع الثانى و ال270 فى نهاية الربع الثالث و بداية الربع الرابع

ولذلك تصبح النتيجة النهائية 180

والله اعلم
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=1}^{360}\sin^{2}k=\sum_{k=1}^{36 0}\frac{1}{2}\left(1-\cos2k&space;\right)=\sum_{k=1}^{360}\frac{1}{2}-\sum_{k=1}^{360}\frac{sin2k}{2}=\frac{360}{2}-0=180
وذلك لأن مجموع الدالة cos2k يمتد على دورين كاملين عندما يمتد k على دور واحد (من 1 إلى 360)
وفي كل دور يأخذ قيم موجبة بمقدار ما يأخذ قيم سالبة وبالتالي يكون المجموع صفر ويبقى فقط نصف 360
أي أن النتيجة المطلوبة 180

[تغريـد]

تلميحاتك جميلة جدا أخي رابح بارك الله فيك