لدي مشكلة في حساب التكاملات المتجهة

[CV XBLOOD]

بسم الله الرحمن الرحيم

أود أن أعرض عليكم معاناتي مع مواد التخصص ، خصوصاً المواد اللتي تحتوي على كميات متجهة ، وتكون المشكلة الأكبر عندما تحتوي الدروس على تكاملات مغلقة ثنائية أو ثلاثية لكمية متجهة ، فلا أستطيع فهمها ولا حتى حلها !!
وعندما أسأل المدرس عن مثل هذه الأمور يقول لي ( أنت تسأل كثيراً ، أرجو منك أن تسكت ) !! ، لذلك أنا لم أيأس وها أنا توجهت إليكم علكم تضعوني على الطريق الصحيح.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1- بالنسبة للكميات المتجهة ، على أي أساس تم اختيار COS عند الضرب القياسي ، و SIN عند الضرب المتجه ؟ أي ماهو الإثبات الرياضي لذلك ؟

2- عند شرح قانون جاوس مثلاً ، يتم وضع الرمز dA على عنصر المساحة أو dV على عنصر الحجم ، فماذا يقصد بذلك ؟
وهل للتكامل علاقة بذلك ؟

3- كيف يتم إجراء التكامل المضاعف والثلاثي ( المغلق ) على كمية متجهة ؟ ( أهم سؤال )
آسف على عدم وجود الصور التوضيحية ، فالمنتدى لا يقبل رفع الملفات !!

[CV XBLOOD]

الصور المرفقة ...
لاحظ عنصر المساحة dA

[CV XBLOOD]

كيف يتم حل هذا النوع من التكاملات ؟

[CV XBLOOD]

إخوتي الكرام ، الرجاء الإهتمام بالموضوع ...

[مهند الزهراني]

أتوقع أن يجاب على سؤالك اذا وضعته في منتدى النسبية فهو أنشط من هنا

[The Physics]

أخي الكريم بالنسبة لسؤالك الأول : لماذا الضرب القياسي cos و الضرب الاتجاهي sin ؟ الضرب القياسي معناه مسقط متجه على آخر و كما تعلم المسقط يؤخذ بـ cos أما الضرب الاتجاهي فمعناه أيجاد مساحة متوازي الأضلاع المنشأ على المتجهين و يحسب ب sin
و هناك تطبيقات فيزيائية لكل واحد منهما فمثلا الشغل ناتج عن ضرب قياسي للقوة في الازاحة ( قياسي لأن القوة المعتبرة هنا هي مسقط متجه القوة على متجه الازاحة )
أما قوة لورتز مثلا هي تطبيق على الضرب الاتجاهي

أما بالنسبة لسؤالك الثاني : عن سبب وضع dA أو dV : هذا نسميه عنصر تفاضلي متناهي في الصغر بحيث أعتبر التغير خلاله معدوم ، مثلا أنت عندما تريد أن تقيس طول طريق متعرج بمسطرة مستقيمة فإنك تقسم هذا الطريق إلى عدة أجزاء صغيرة ( لدرجة أنه يمكن اعتبار كل جزء قطعة مستقيمة ) ثم تقيس كل جزء على حدة ثم تجمع الأجزاء المقاسة
هذا بالضبط فكرة التكامل فالتكامل معناه إيجاد المجموع لكن لكميات متصلة و ليست متقطعة ( كما في الطريق المتعرج ) أما لو كانت الكميات متقطعة فإننا نستعمل المجموع ( سيجما ) هذا يعني أن dA تعني قطعة من مساحة صغيرة جدا لدرجة يمكن اعتبارها مسطحة

أما بالنسبة لسؤالك الثالث : بالنسبة للتكاملات المغلقة : هناك قاعدة مهمة يجب أن نعرفها وهي أن التكاملات الأحادية ( خطية أي بعد واحد ) المغلقة يعني على منحنى مغلق . و أنت تعرف عندما تأتي بحبل و تصل طرفيه ببعض ينشأ عن ذلك سطح له مساحة ( ثنائي الأبعاد : أي تكامل ثنائي )
أي أن التكامل الأحادي المغلق يؤدي إلى تكامل ثنائي ( هناك نظرية الحقيقة لا أذكرها و هي تحويل التكامل الأحادي المغلق إلى تكامل ثنائي )
أما التكامل الثنائي المغلق ( مساحة ) يتحول إلى تكامل ثلاثي ، فأنت عندما تأتي بقطعة قماش و تصل أطرافها ببعض( تغلقها ) فإنه ينتج عن ذلك حجم ( كرة مثلا ) أي شكل ثلاثي الأبعاد ( هناك أيضا نظرية تشير إلى كيفية تحويل التكامل الثنائي المغلق إلى تكامل ثلاثي )

أما بالنسبة للتكامل الأخير الذي وضعت صورته لاحظ أن متحول التكامل هو A المساحة و بالتالي يمكن إخراج E خارج التكامل ثم إجراء التكامل المغلق على المساحة ( هذا يعني حساب المساحة الكلية لـ كرة ) و هي تساوي 4 باي آر تربيع طبعا و بوجود E
أرجو أن تكون الإجابة واضحة و أي استفسار لا تتردد في السؤال
أتمنى لك التوفيق

[CV XBLOOD]

ممتاز !! ، أشكرك أخي الكريم على هذه الإجابة الدقيقة ...

لكن أريد توضيح أكثر عن معنى (مسقط متجه على آخر) ، فهل تقصد بذلك المحور x في المثلث قائم الزاوية عند ضرب طول الوتر بجيب تمام زاوية الوتر مع المحور x ؟ أم أن للإسقاط مفهوماً آخر ؟

كما أريد توضيح لهذه العبارة ( أما الضرب الاتجاهي فمعناه أيجاد مساحة متوازي الأضلاع المنشأ على المتجهين و يحسب ب sin) ، كيف يتم ذلك ؟

أنتظر الإجابة بفارغ الصبر ...

[الحارث]

ارفق مشاركتك في قسم النسبية وان شاءالله تجد الاجابة

[CV XBLOOD]

أخي الحبيب ، الحارث ،، تحية طيبه وبعد ...

قام الأخ الكريم The Physics بالإجابه على 90% من السؤال ، وأنتظر تعقيبه على الفرع الأول ، لكن لا أدري إن كان يجوز وضع نفس الموضوع في أكثر من قسم في هذا المنتدى ؟

[The Physics]

بداية أود أن أشكر المتفيزقة المبدعة لتنبيهي عن وجود الرد

أخي الكريم بالنسبة لإسقاط متجه على آخر فلا يشترط أن تكون ضمن محاور إحداثية x و y ، فأي متجهين يمكن أن نأخذ مسقط أحدهما على الآخر
المعنى الفيزيائي لمسقط متجه على آخر هو أيجاد مساهمة هذا المتجه باتجاه المتجه الآخر لشرح ذلك نأخذ مثال الشغل
الشغل يساوي مقدار القوة في الإزاحة ، لكن أي قوة ؟ القوة التي تكون باتجاه الإزاحة ؟ حسنا، إذا كانت القوة تصنع زاوية مع الإزاحة ماذا نفعل ؟ عندها نأخذ مسقط هذه القوة في اتجاه متجه الإزاحة
أي نوجد مساهمة القوة في الأتجاه الذي يتحرك فيه الجسم
http://www7.0zz0.com/2009/09/30/21/652794908.png
أما بالنسبة للضرب الأتجاهي فناتجه كما تعلم متجه و ليس كمية عددية كالضرب العددي ( مثال الشغل) لذلك نتوقع أن نوجد اتجاه هذا المتجه الناتج
فإذا ضربنا متجهين A x B فالناتج يكون عبارة عن متجه عمودي على كل من المتجهين و قيمته العددية تساوي مساحة متوازي الأضلاع المنشأ على المتجهين ( هذا المتجه المحصلة يمثل متجه المساحة : هناك معنى فيزيائي له في قانون التدفق المغناطيسي حيث تؤخذ المساحة كمتجه قيمته العديدة تساوي المساحة و اتجاهه عمودي على السطح ذو المساحة المعتبرة )
http://www7.0zz0.com/2009/09/30/21/732689017.png

أتمنى أن تكون الإجابة واضحة ، كما أتمنى لك التوفيق أيضا
تحياتي

[CV XBLOOD]

في البداية أشكركم جميعاً على حسن تعاونكم في هذا المنتدى الرائع ،،،

الإجابة أكثر من رائعة وغير متوقعة ،، لكن لدي بعض الإلتباس في الرسمة الأولى ، ألا يفترض أن يكون طول المسقط أقل من الطول الكامل ؟
مادام أن cos x أقل من الواحد الصحيح للزوايا الأكبر من الصفر والأقل من 90 درجة ، وبالتالي سيكون أي عدد يضرب بـ cos x أقل منه قبل الضرب ، وعلى ضوء هذه النتيجة سيكون الرسم كالتالي :

[CV XBLOOD]

لكن بقي السؤال الأهم ، لماذا نأخذ المسقط باستخدام جيب التمام (COS) ؟

من المؤكد أنه يمكننا أن نحصل على المسقط أيضاً باستخدام جيب الزاوية SIN، كما في حال إسقاط طول الوتر في المثلث القائم الزاوية على المحور الرأسي ( محور الصادات ) ، لاحظ الرسم التالي :
( إذا كان ليس هذا هو المقصود ، فالرجاء التوضيح )

[The Physics]

ألا يفترض أن يكون طول المسقط أقل من الطول الكامل ؟
مادام أن cos x أقل من الواحد الصحيح للزوايا الأكبر من الصفر والأقل من 90 درجة ، وبالتالي سيكون أي عدد يضرب بـ cos x أقل منه قبل الضرب
أخي الكريم ، نعم المسقط طوله أقل من طول المتجه الأساسي ( في الرسمة الأولى التي وضعتها طول المسقط هو من نقطة التقاء المتجهين حتى نقطة تقاطع العمود الساقط على المتجه الثاني ) و ليس كل المتجه

أما بالنسبة للسؤال الثاني : عندما نسقط متجه على آخر اصطلح أن يكون ذيلا المتجهين بنفس النقطة و بالتالي ينتج ضلع مجاور للوتر أي cos ، لكن هذا لا يمنع استخدام الاسقاط على محور الصادات مثلا أو أي متجه آخر و استعمال sin

[CV XBLOOD]

أشكرك جزيل الشكر أخي الحبيب The Physics على ما قدمته لي من معلومات ، وأسأل الله أن يجعل هذا العمل في ميزان حسناتك .

[The Physics]

العفو أخي الكريم ، أتمنى لك التوفيق

[يوسف وليد]

لم افهم المعنى الفيزيائي للضرب المتجه