متفيزقة مبدعة
13-09-2009, 21:54
الإمام علي والعلوم الرياضية
يجد القارىء في هذا المقال بعض المسائل الرياضية والتي عرضت على الإمام علي (ع) وأجاب عليها في حينه إجابات علمية دقيقة تنسجم وتتفق مع المعطيات والمبادىء العلمية في عصرنا الحاضر (مأخوذة من كتاب "العلوم الطبيعية - تراث الإمام علي" - لمؤلفه / يوسف مروّة - منشورات مروّة العلمية - بيروت") . أما الكتاب فيحتوي على العديد من المسائل الأخرى "مثل المسائل الفيزيائية والفلكية والكيمائية والطبية" ونحن موقع الأرقام اقتطفنا بعض المسائل الرياضية فقط لكونها أمور عددية تتماشى والموقع ، وبالطبع هدف المؤلف الأساسي هو للإثبات لرجال الدين والعلم المعاصرين مدى اهتمام كبار المسلمين الأوائل وعلى رأسهم الإمام علي (ع) بالعلوم الطبيعية التطبيقية .
نثبت فيما يلي بعض مآثر الإمام علي (ع) في حل بعض المسائل الرياضية وقد ورد بعضها في كتاب (التكامل في الإسلام) لمؤلفه الأستاذ أحمد أمين .(1)
: جلس رجلان يتغذيان ، وكان مع أحدهما خمسة أرغفة ومع الآخر ثلاثة أرغفة ، فلما وضعا الغذاء بين أيديهما مرّ رجل فسلّم . فقالا : اجلس للغذاء . فجلس وأكل معهم ، وأتوا في أكلهم على الأرغفة الثمانية ، فقام الرجل وطرح إليهما ثمانية دراهم وقال : خذا هذا عوضا عما أكلت لكما ونلته من طعامكما ، فتنازعا ، وقال صاحب الأرغفة الخمسة :
- لي خمسة دراهم ولك ثلاثة .
فقال صاحب الثلاثة أرغفة : لا أرضَ إلا أن تكون الدراهم بيننا نصفين .
وترافعا إلى أمير المؤمنين علي (ع) فقصا عليه قصتهما ، فقال لصاحب الأرغفة الثلاثة :
- عرض عليك صاحبك ما عرض ، وخبزه أكثر من خبزك فارض بالثلاثة ، فقال : لا والله لا رضيت منه إلا الصواب . حر الحق أي خالصه . فقال علي (ع) : ليس لك في حر الحق إلا درهم واحد وله سبعة دراهم . فقال الرجل : سبحان الله يا أمير المؤمنين ، هو يعرض علي ثلاثة ، فلم أرض ، وأشرت عليّ بأخذها فلم أرض ، وتقول لي الآن انه لا يجب لي في حر الحق إلا درهم واحد ! .
فقال علي (ع) : عرض عليك صاحبك أن تأخذ الثلاثة صلحاً ، فلم ترض إلا بحر الحق ، ولا يجب لك بحر الحق إلا درهم واحد . فقال الرجل : عرفني بالوجه في حر الحق حتى أقبله . فقال علي (ع) : أليس للثمانية أرغفة (أربعة وعشرون ثلثاً) أكلتموها أنتم الثلاثة ، ولا يُعلم منكم الأكثر أكلاً ولا الأقل فتُحملون في أكلكم على السواء . فقال : بلى يا أمير المؤمنين . فقال علي (ع) : فأكلت أنت ثمانية أثلاث ، وليس لك إلا تسعة أثلاث ، وأكل صاحبك ثمانية أثلاث ، خمسة عشر ثلثاً ، أكل منها ثمانية فيبقى له سبعة ، وأكل لك ثالثكما واحد من تسعة ولصاحبك سيعة من خمسة عشر ، فلك واحد بواحدك ، وله سبعة بسبعته . فقال الرجل : رضيت الآن .
ان علياً (ع) لم يفكر كما يفكر الرياضيون في حل المسألة . وإنما ارتجل الحل ارتجالا بعلم لا يشبه علم البشر العادي . وان الرياضي يحل المسألة المذكورة بعد التفكير على الشكل الآتي :
8/3 = 2 وَ 2/3 من الأرغفة ، وبما أن الأول كان له خمسة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 اذن ، بقي من أرغفته (5 - 2 وَ 2/3 = 2 وَ 1/3) "أي رغيفين وثلث" وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الأول .
وبما أن الثاني كان له ثلاثة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 ، اذن بقي من أرغفته (3 - 2 وَ 2/3 = 1/3) "أي ثلث رغيف" . وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الثاني .
فيجب أن تقسم 8 دراهم بنسبة ( 2 وَ1/3 : 1/3) أي بنسبة (7/3 : 1/3) وبما أن المخرجين متحدان ، اذن تقسم 8 دراهم بنسبة الصور أي بنسبة (7 : 1) .
اذن ، مجموع الحصص : 7 + 1 = 8 .
فحسب قواعد التقسيم المتناسب ، فإن 8 دراهم/8 حصص = 1 درهم للحصة الواحدة .
وبما أن للرجل الأول (صاحب الخمسة أرغفة) 7 حصص ، اذن : 7 × 1 = 7 دراهم (تكون حصة الرجل الأول) .
وبما أن للرجل الثاني (صاحب الثلاثة أرغفة) حصة واحدة ، اذن : 1 × 7 = 1 درهم (تكون حصة الرجل الثاني) .
*************
(2) : في كتاب (مشكلات العلوم) للتراقي وعن شرح بديع بن المقري انه : جاء إلى علي (ع) ثلاثة رجال يختصمون في سبعة عشر بعيرا . أولهم يدعي نصفها ، وثانيهم ثلثها ، وثالثهم تسعها ، فاحتاروا في قسمتها لأن في ذلك سيكون كسر (أي جزء من بعير) .
فقال علي (ع) : أترضون أن أضع بعيرا مني فوقها وأقسمها بينكم ؟ قالوا : نعم :
فوضع (ع) بعيرا بين الجمال ، فصارت ثمانية عشر ، فأعطى الأول نصفها وهو تسعة ، وأعطى الثاني ثلثها وهو ستة ، وأعطى الثالث تسعها وهو اثنان ، فأصبح المجموع (9 + 6 + 2 = 17) ثم أرجع البعير الذي أضافه إلى بيته .
قد يستغرب الإنسان لأول وهلة عندما يلاحظ هذا الحل ، ذلك لأن من كان له النصف يستحق 8 وَ 1/2 من الجمال ، ومن كان له الثلث يستحق 5 وَ 2/3 من الجمال ، ومن كان له التسع يستحق 1 وَ 8/9 من الجمال . وأن :
(8 وَ 1/2 + 5 وَ 2/3 + 1 وَ 8/9) = 16 وَ 1/18 .
فالمجموع 16 جملا وجزء من ثمانية عشر جزءاً من جَمل . فبقي اذن (17/18) من جمل واحد لم يوزع بعد بين الشركاء ، ولا يخفى أن الباقي وهو (17/18) من جمل واحد يجب أن يوزع بين الشركاء أيضا بنفس النسب السابقة ، مع العلم أنه لا يرد نحر جمل أو تعويض بالقيمة في هذا التقسيم . فالتقسيم السابق على علاته غير مطلوب ، لما يؤدي إلى تجزئة الحمل الواحد إلى كسور .
فلنأت بمثال حسابي بسيط بغية التوضيح :
مثال : لو أن رجلين أرادا أن نقسم بينهما مبلغا من المال بنسبة (1/2 : 1/6) ، فنحن نقسم المبلغ بينهما بنسبة (1/2 : 1/6) أي بنسبة 3 : 1 (أي بنسبة الصور لأن المخارج متساوية) . فالمبلغ يقسم إلى 4 أقسام : 3 منها تكون للشخص الأول ، وقسم واحد أو حصة واحدة تكون للشخص الثاني . ذلك لأن نسبة (1/2 : 1/6) أي :
فإذن : قسم المبلغ بين الشخصين بنفس النسبة المطلوبة . فإذا كان المبلغ 40 ديناراً ، فيكون نصيب الأول 30 ديناراً ، وللشخص الثاني 10 دنانير . ولكن لو اقترح علينا الشخصان : أن نقسم بينهما المبلغ على أن يكون نصيب أحدهما النصف ونصيب الآخر السدس دون أن يبقى شيء يعطى لغيرهما . أي أنهما قالا هكذا : قسم بيننا المبلغ 40 ديناراً على أن يكون لأحدنا النصف وللآخر السدس . فعلينا أن نقسم المبلغ بشكل لا يؤدي إلى باقي ، لأن المبلغ كله لهما . فإذا قمنا بحل هذه المسألة حسب هذا المنطوق يكون الجواب هكذا :
1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
فيبقى 1/3 المبلغ دون مالك ، حين أنه لهما .
فيجب إذن : أخذ نصف الثلث (الباقي) وإعطاؤه للأول ، وأخذ سدس الثلث (الباقي) وإعطاؤه للثاني .
أي : 1/2 × 1/3 = 1/6 يكون للأول
وَ 1/6 × 1/3 = 1/18 يكون للثاني
أو : (1/2 + 1/6) × 1/3 = 2/3 × 1/3 = 2/9
أي يجب إعطاء 2/9 المبلغ لهما ، فيبقى أيضا :
1/3 - 2/9 = 1/9 دون مالك ، ومعنى ذلك : أن في كل تقسيم يبقى ثلث الموجود دون مالك . حينئذ يبقى في التقسيم الثالث أيضا ثلث الباقي أي : (1/3 × 1/9 = 1/27 .
وفي التقسيم الرابع يبقى : 1/3 × 1/27 = 1/81 وهكذا دواليك .
إذن يكون نصيب الأول = 1/2 (1 + 1/3 + 1/9 = 1/27 + 1/91 + ...) .
نرى داخل القوس متوالية هندسية تنازلية أساسها : 1/3 ، ومعلوم أن مجموع حدود متوالية هندسية أساسها أقل من الواحد :
حيث أن : جـ = مجموع الحدود أ = الحد الأول ر = الأساس
إذن ، نصيب الأول = المبلغ الأصلي × 1/2 × 3/2 = 3/4 من المبلغ الأصلي .
ونصيب الثاني = المبلغ الأصلي × 1/6 × 3/2 = 1/4 من المبلغ الأصلي .
وهذه النتيجة تطابق تماما ما نحصل عليه فيما إذا قسمنا المبالغ بنسبة 1/2 : 1/6 كما بينا سابقا .
توضيح : لا يخفى أن مجموع حدود متوالية هندسية
لنعمم الموضوع ولنؤسس نظرية حسابية فنقول : لو أُريد إعطاء 1/أ من مبلغ ما إلى شخص ، وَ 1/ب إلى شخص آخر وكان 1/أ + 1/ب < 1 (أي مجموع 1/أ وَ 1/ب أقل من الواحد) فإن تقسيم الباقي بصورة متسلسلة على نفس النسق يؤدي بالنتيجة إلى تقسيم المبلغ المذكور بنسبة الكسرين 1/أ : 1/ب دون أي فرق .
البرهان : بديهي أنه في التقسيم الأول كان نصيب الشخص الأول 1/أ ، ونصيب الشخص الثاني 1/ب وما سيبقى هو كسر من المبلغ الأصلي أي يساوي :
1 - (1/أ + 1/ب) = (أب - أ - ب)/أب وقد فرضنا المبلغ الأصلي = 1
ولنفرض أن (أب - أ - ب)/أب = ك وحسب نوضيحنا السابق ، سيكون مجموع أسهم الشخص الأول بعد تقسيمات متوالية ، تقسيمات لا تتناهى ، مساويا إلى كسر من المبلغ الأصلي ،
نصيب الشخص الثاني = (م أ/ أ + ب) . ومن المعلوم أنه إذا أردنا تقسيم المبلغ بين شخصين بتسبة 1/أ : 1/ب يجب أن نقسمه حسب قواعد التقسيم المتناسب بنسبة الكسور ،
ويلاحظ أن العمليتين أي تقسيم المبلغ حسبما قسمه علي (ع) وحسب قواعد التقسيم المتناسب بنسبة الكسور تعطيان نفس النتيجة .
وهكذا يمكن أن نبرهن على صحة التقسيم فيما لو كان عدد الأشخاص أكثر من اثنين : فإذا كان عدد الأشخاص 3 وكسر الشخص الثالث 1/جـ ، فإن 1/أ من المبلغ (في التقسيم الأول) يكون للشخص الأول ، وَ 1/ب من المبلغ يكون للثاني ، وَ 1/جـ من المبلغ الثالث
*************
(3) : سأل أحدهم علياً (ع) عن عدد يقبل القسمة على (2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10) وهو راكبا فرسا له ، فقال له مرتجلا : "اضرب أيام سنتك في أيام أسبوعك" ثم همز فرسه وانصرف .
فيكون العدد المطلوب :
360 (عدد أيام السنة المتعارف عليه في ذلك الوقت) × 7 = 2520 .
أ - فالعدد 2520 يقبل القسمة على 2 لأنه عدد زوجي له نصف كامل .
ب - وقبل القسمة على 3 ، ذلك لأن مجموع أرقامه (القيمة المطلقة) = 9 = مضاعفات 3 .
توضيح ذلك :
10 = 9 + 1 = مضاعفات 3 + 1 .
100 = 99 + 1 = مضاعفات 3 + 1 .
1000 = 999 + 1 = مضاعفات 3 + 1 .
وبما أن العدد 2520 مؤلف من 20 + 500 + 2000
اذن :
20 = 2 × 10 = 2( مضاعفات 3 + 1) = مضاعفات 3 + 2 .
500 = 5 × 100 = 5(مضاعفات 3 + 1) = مضاعفات 3 + 5 .
2000 = 2 × 1000 = 2(مضاعفات 3 + 1) = مضاعفات 3 + 2 .
2520 = مضاعفات 3 + 2 + 5 + 2 .
2520 = مضاعفات 3
اذن 2520 يقبل القسمة على 3 .
ج - العدد 2520 يقبل القسمة على 4 . لأن العدد 20 وهو العدد الذي يتألف من رقمي العشرات والآحاد يقبل القسمة على 4 . ومعلوم أن 20 = مضاعفات 4 .
وأن العدد 2520 = 20 + 2500 .
= 20 + 25 × 100 = 20 + 25 × مضاعفات 4 .
= 20 + مضاعفات 4 .
اذن : العدد 2520 يقبل القسمة على 4 .
د - ان العدد 2520 يقبل القسم على 5 لأن العدد منته بالصفر (أي أن رقم الآحاد صفرا) ذلك لأن العدد المنتهي بالصفر يساوي : 2520 =252 × 10 .
وبما أن 10 = مضاعفات 5
اذن : 2520 = 252 × مضاعفات 5 .
فالعدد يقبل القسمة على 5 .
هـ - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 6 ، ذلك لأن 6 = 2 × 3 . (حاصل ضرب عددين أوليين) . وقد علمنت ان العدد 2520 يقبل القسمة على كل من 2 و 3 .
اذن 2520 ÷ (2 × 3) يختصر مع 2 أولا ، ثم مع 3 . فلا يبقى باق .
و - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 7 ، لأنه من مصاعفات 7 ، ذلك لأننا ضربنا 360 في 7 فكان 2520 .
ز - وان العدد 2520 يقبل القسمة على 8 ، لأن العدد ينتهي بثلاثة أرقام تؤلف العدد (520) وهو يقبل القسمة على 8 ، أي 520 ÷ 8 = 65 . والدليل على ذلك كما يلي :
2520 = 520 + 2000
= مضاعفات 8 + 2 × 1000 .
= مضاعفات 8 + 2 × مضاعفات 8 .
= مضاعفات 8 . اذن 2520 يقبل القسمة على 8 .
ح - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 9 لأن قيمته المطلقة (أي 2 + 5 + 2 = 9) أو مضاعفات 9 .
برهان على ذلك :
الآحاد = صفر .
العشرات = 20 = (2×10) = 2(9+1) = (2×9+2) = مضاعفات 9+2 .
المئات = 500 =5×100 = 5(99+1) = 5×99+5) = مضاعفات 9+5 .
آحاد الألوف = 2000 = 2×100= 2(999+1) = 2×999+2 = مضاعفات 9+2 .
اذن العدد 2520 = مضاعفات 9+2+5+2 .
2520 من مضاعفات 9+9 = مضاعفات 9 .
2520 = مضاعفات 9 . فالعدد يقبل القسمة على 9 .
ط - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 10 لأن رقم آحاده = صفر .
اذن 2520 = 252 × 10 .
2520 = مضاعفات 10 .
وهكذا ثبت أن العدد أن العدد 2520 يقبل القسمة على كل من الأرقام الطبيعية وعلى 10 .
ملاحظة : وردت هذه المسألة في كشكول البهائي على شكل آخر : دخل يهودي على علي (ع) وقال : "أخبرني عن عدد يكون له نصف وثلث وربع وخُمس وسدس وسُبع وثمن وتُسع وعُشر دون أن يكون في الناتج كسر .فقال (ع) : اضرب أيام أسبوعك في أيام سنتك فتحصل على العدد" .
:a_plain111::a_plain111:
يجد القارىء في هذا المقال بعض المسائل الرياضية والتي عرضت على الإمام علي (ع) وأجاب عليها في حينه إجابات علمية دقيقة تنسجم وتتفق مع المعطيات والمبادىء العلمية في عصرنا الحاضر (مأخوذة من كتاب "العلوم الطبيعية - تراث الإمام علي" - لمؤلفه / يوسف مروّة - منشورات مروّة العلمية - بيروت") . أما الكتاب فيحتوي على العديد من المسائل الأخرى "مثل المسائل الفيزيائية والفلكية والكيمائية والطبية" ونحن موقع الأرقام اقتطفنا بعض المسائل الرياضية فقط لكونها أمور عددية تتماشى والموقع ، وبالطبع هدف المؤلف الأساسي هو للإثبات لرجال الدين والعلم المعاصرين مدى اهتمام كبار المسلمين الأوائل وعلى رأسهم الإمام علي (ع) بالعلوم الطبيعية التطبيقية .
نثبت فيما يلي بعض مآثر الإمام علي (ع) في حل بعض المسائل الرياضية وقد ورد بعضها في كتاب (التكامل في الإسلام) لمؤلفه الأستاذ أحمد أمين .(1)
: جلس رجلان يتغذيان ، وكان مع أحدهما خمسة أرغفة ومع الآخر ثلاثة أرغفة ، فلما وضعا الغذاء بين أيديهما مرّ رجل فسلّم . فقالا : اجلس للغذاء . فجلس وأكل معهم ، وأتوا في أكلهم على الأرغفة الثمانية ، فقام الرجل وطرح إليهما ثمانية دراهم وقال : خذا هذا عوضا عما أكلت لكما ونلته من طعامكما ، فتنازعا ، وقال صاحب الأرغفة الخمسة :
- لي خمسة دراهم ولك ثلاثة .
فقال صاحب الثلاثة أرغفة : لا أرضَ إلا أن تكون الدراهم بيننا نصفين .
وترافعا إلى أمير المؤمنين علي (ع) فقصا عليه قصتهما ، فقال لصاحب الأرغفة الثلاثة :
- عرض عليك صاحبك ما عرض ، وخبزه أكثر من خبزك فارض بالثلاثة ، فقال : لا والله لا رضيت منه إلا الصواب . حر الحق أي خالصه . فقال علي (ع) : ليس لك في حر الحق إلا درهم واحد وله سبعة دراهم . فقال الرجل : سبحان الله يا أمير المؤمنين ، هو يعرض علي ثلاثة ، فلم أرض ، وأشرت عليّ بأخذها فلم أرض ، وتقول لي الآن انه لا يجب لي في حر الحق إلا درهم واحد ! .
فقال علي (ع) : عرض عليك صاحبك أن تأخذ الثلاثة صلحاً ، فلم ترض إلا بحر الحق ، ولا يجب لك بحر الحق إلا درهم واحد . فقال الرجل : عرفني بالوجه في حر الحق حتى أقبله . فقال علي (ع) : أليس للثمانية أرغفة (أربعة وعشرون ثلثاً) أكلتموها أنتم الثلاثة ، ولا يُعلم منكم الأكثر أكلاً ولا الأقل فتُحملون في أكلكم على السواء . فقال : بلى يا أمير المؤمنين . فقال علي (ع) : فأكلت أنت ثمانية أثلاث ، وليس لك إلا تسعة أثلاث ، وأكل صاحبك ثمانية أثلاث ، خمسة عشر ثلثاً ، أكل منها ثمانية فيبقى له سبعة ، وأكل لك ثالثكما واحد من تسعة ولصاحبك سيعة من خمسة عشر ، فلك واحد بواحدك ، وله سبعة بسبعته . فقال الرجل : رضيت الآن .
ان علياً (ع) لم يفكر كما يفكر الرياضيون في حل المسألة . وإنما ارتجل الحل ارتجالا بعلم لا يشبه علم البشر العادي . وان الرياضي يحل المسألة المذكورة بعد التفكير على الشكل الآتي :
8/3 = 2 وَ 2/3 من الأرغفة ، وبما أن الأول كان له خمسة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 اذن ، بقي من أرغفته (5 - 2 وَ 2/3 = 2 وَ 1/3) "أي رغيفين وثلث" وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الأول .
وبما أن الثاني كان له ثلاثة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 ، اذن بقي من أرغفته (3 - 2 وَ 2/3 = 1/3) "أي ثلث رغيف" . وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الثاني .
فيجب أن تقسم 8 دراهم بنسبة ( 2 وَ1/3 : 1/3) أي بنسبة (7/3 : 1/3) وبما أن المخرجين متحدان ، اذن تقسم 8 دراهم بنسبة الصور أي بنسبة (7 : 1) .
اذن ، مجموع الحصص : 7 + 1 = 8 .
فحسب قواعد التقسيم المتناسب ، فإن 8 دراهم/8 حصص = 1 درهم للحصة الواحدة .
وبما أن للرجل الأول (صاحب الخمسة أرغفة) 7 حصص ، اذن : 7 × 1 = 7 دراهم (تكون حصة الرجل الأول) .
وبما أن للرجل الثاني (صاحب الثلاثة أرغفة) حصة واحدة ، اذن : 1 × 7 = 1 درهم (تكون حصة الرجل الثاني) .
*************
(2) : في كتاب (مشكلات العلوم) للتراقي وعن شرح بديع بن المقري انه : جاء إلى علي (ع) ثلاثة رجال يختصمون في سبعة عشر بعيرا . أولهم يدعي نصفها ، وثانيهم ثلثها ، وثالثهم تسعها ، فاحتاروا في قسمتها لأن في ذلك سيكون كسر (أي جزء من بعير) .
فقال علي (ع) : أترضون أن أضع بعيرا مني فوقها وأقسمها بينكم ؟ قالوا : نعم :
فوضع (ع) بعيرا بين الجمال ، فصارت ثمانية عشر ، فأعطى الأول نصفها وهو تسعة ، وأعطى الثاني ثلثها وهو ستة ، وأعطى الثالث تسعها وهو اثنان ، فأصبح المجموع (9 + 6 + 2 = 17) ثم أرجع البعير الذي أضافه إلى بيته .
قد يستغرب الإنسان لأول وهلة عندما يلاحظ هذا الحل ، ذلك لأن من كان له النصف يستحق 8 وَ 1/2 من الجمال ، ومن كان له الثلث يستحق 5 وَ 2/3 من الجمال ، ومن كان له التسع يستحق 1 وَ 8/9 من الجمال . وأن :
(8 وَ 1/2 + 5 وَ 2/3 + 1 وَ 8/9) = 16 وَ 1/18 .
فالمجموع 16 جملا وجزء من ثمانية عشر جزءاً من جَمل . فبقي اذن (17/18) من جمل واحد لم يوزع بعد بين الشركاء ، ولا يخفى أن الباقي وهو (17/18) من جمل واحد يجب أن يوزع بين الشركاء أيضا بنفس النسب السابقة ، مع العلم أنه لا يرد نحر جمل أو تعويض بالقيمة في هذا التقسيم . فالتقسيم السابق على علاته غير مطلوب ، لما يؤدي إلى تجزئة الحمل الواحد إلى كسور .
فلنأت بمثال حسابي بسيط بغية التوضيح :
مثال : لو أن رجلين أرادا أن نقسم بينهما مبلغا من المال بنسبة (1/2 : 1/6) ، فنحن نقسم المبلغ بينهما بنسبة (1/2 : 1/6) أي بنسبة 3 : 1 (أي بنسبة الصور لأن المخارج متساوية) . فالمبلغ يقسم إلى 4 أقسام : 3 منها تكون للشخص الأول ، وقسم واحد أو حصة واحدة تكون للشخص الثاني . ذلك لأن نسبة (1/2 : 1/6) أي :
فإذن : قسم المبلغ بين الشخصين بنفس النسبة المطلوبة . فإذا كان المبلغ 40 ديناراً ، فيكون نصيب الأول 30 ديناراً ، وللشخص الثاني 10 دنانير . ولكن لو اقترح علينا الشخصان : أن نقسم بينهما المبلغ على أن يكون نصيب أحدهما النصف ونصيب الآخر السدس دون أن يبقى شيء يعطى لغيرهما . أي أنهما قالا هكذا : قسم بيننا المبلغ 40 ديناراً على أن يكون لأحدنا النصف وللآخر السدس . فعلينا أن نقسم المبلغ بشكل لا يؤدي إلى باقي ، لأن المبلغ كله لهما . فإذا قمنا بحل هذه المسألة حسب هذا المنطوق يكون الجواب هكذا :
1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
فيبقى 1/3 المبلغ دون مالك ، حين أنه لهما .
فيجب إذن : أخذ نصف الثلث (الباقي) وإعطاؤه للأول ، وأخذ سدس الثلث (الباقي) وإعطاؤه للثاني .
أي : 1/2 × 1/3 = 1/6 يكون للأول
وَ 1/6 × 1/3 = 1/18 يكون للثاني
أو : (1/2 + 1/6) × 1/3 = 2/3 × 1/3 = 2/9
أي يجب إعطاء 2/9 المبلغ لهما ، فيبقى أيضا :
1/3 - 2/9 = 1/9 دون مالك ، ومعنى ذلك : أن في كل تقسيم يبقى ثلث الموجود دون مالك . حينئذ يبقى في التقسيم الثالث أيضا ثلث الباقي أي : (1/3 × 1/9 = 1/27 .
وفي التقسيم الرابع يبقى : 1/3 × 1/27 = 1/81 وهكذا دواليك .
إذن يكون نصيب الأول = 1/2 (1 + 1/3 + 1/9 = 1/27 + 1/91 + ...) .
نرى داخل القوس متوالية هندسية تنازلية أساسها : 1/3 ، ومعلوم أن مجموع حدود متوالية هندسية أساسها أقل من الواحد :
حيث أن : جـ = مجموع الحدود أ = الحد الأول ر = الأساس
إذن ، نصيب الأول = المبلغ الأصلي × 1/2 × 3/2 = 3/4 من المبلغ الأصلي .
ونصيب الثاني = المبلغ الأصلي × 1/6 × 3/2 = 1/4 من المبلغ الأصلي .
وهذه النتيجة تطابق تماما ما نحصل عليه فيما إذا قسمنا المبالغ بنسبة 1/2 : 1/6 كما بينا سابقا .
توضيح : لا يخفى أن مجموع حدود متوالية هندسية
لنعمم الموضوع ولنؤسس نظرية حسابية فنقول : لو أُريد إعطاء 1/أ من مبلغ ما إلى شخص ، وَ 1/ب إلى شخص آخر وكان 1/أ + 1/ب < 1 (أي مجموع 1/أ وَ 1/ب أقل من الواحد) فإن تقسيم الباقي بصورة متسلسلة على نفس النسق يؤدي بالنتيجة إلى تقسيم المبلغ المذكور بنسبة الكسرين 1/أ : 1/ب دون أي فرق .
البرهان : بديهي أنه في التقسيم الأول كان نصيب الشخص الأول 1/أ ، ونصيب الشخص الثاني 1/ب وما سيبقى هو كسر من المبلغ الأصلي أي يساوي :
1 - (1/أ + 1/ب) = (أب - أ - ب)/أب وقد فرضنا المبلغ الأصلي = 1
ولنفرض أن (أب - أ - ب)/أب = ك وحسب نوضيحنا السابق ، سيكون مجموع أسهم الشخص الأول بعد تقسيمات متوالية ، تقسيمات لا تتناهى ، مساويا إلى كسر من المبلغ الأصلي ،
نصيب الشخص الثاني = (م أ/ أ + ب) . ومن المعلوم أنه إذا أردنا تقسيم المبلغ بين شخصين بتسبة 1/أ : 1/ب يجب أن نقسمه حسب قواعد التقسيم المتناسب بنسبة الكسور ،
ويلاحظ أن العمليتين أي تقسيم المبلغ حسبما قسمه علي (ع) وحسب قواعد التقسيم المتناسب بنسبة الكسور تعطيان نفس النتيجة .
وهكذا يمكن أن نبرهن على صحة التقسيم فيما لو كان عدد الأشخاص أكثر من اثنين : فإذا كان عدد الأشخاص 3 وكسر الشخص الثالث 1/جـ ، فإن 1/أ من المبلغ (في التقسيم الأول) يكون للشخص الأول ، وَ 1/ب من المبلغ يكون للثاني ، وَ 1/جـ من المبلغ الثالث
*************
(3) : سأل أحدهم علياً (ع) عن عدد يقبل القسمة على (2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10) وهو راكبا فرسا له ، فقال له مرتجلا : "اضرب أيام سنتك في أيام أسبوعك" ثم همز فرسه وانصرف .
فيكون العدد المطلوب :
360 (عدد أيام السنة المتعارف عليه في ذلك الوقت) × 7 = 2520 .
أ - فالعدد 2520 يقبل القسمة على 2 لأنه عدد زوجي له نصف كامل .
ب - وقبل القسمة على 3 ، ذلك لأن مجموع أرقامه (القيمة المطلقة) = 9 = مضاعفات 3 .
توضيح ذلك :
10 = 9 + 1 = مضاعفات 3 + 1 .
100 = 99 + 1 = مضاعفات 3 + 1 .
1000 = 999 + 1 = مضاعفات 3 + 1 .
وبما أن العدد 2520 مؤلف من 20 + 500 + 2000
اذن :
20 = 2 × 10 = 2( مضاعفات 3 + 1) = مضاعفات 3 + 2 .
500 = 5 × 100 = 5(مضاعفات 3 + 1) = مضاعفات 3 + 5 .
2000 = 2 × 1000 = 2(مضاعفات 3 + 1) = مضاعفات 3 + 2 .
2520 = مضاعفات 3 + 2 + 5 + 2 .
2520 = مضاعفات 3
اذن 2520 يقبل القسمة على 3 .
ج - العدد 2520 يقبل القسمة على 4 . لأن العدد 20 وهو العدد الذي يتألف من رقمي العشرات والآحاد يقبل القسمة على 4 . ومعلوم أن 20 = مضاعفات 4 .
وأن العدد 2520 = 20 + 2500 .
= 20 + 25 × 100 = 20 + 25 × مضاعفات 4 .
= 20 + مضاعفات 4 .
اذن : العدد 2520 يقبل القسمة على 4 .
د - ان العدد 2520 يقبل القسم على 5 لأن العدد منته بالصفر (أي أن رقم الآحاد صفرا) ذلك لأن العدد المنتهي بالصفر يساوي : 2520 =252 × 10 .
وبما أن 10 = مضاعفات 5
اذن : 2520 = 252 × مضاعفات 5 .
فالعدد يقبل القسمة على 5 .
هـ - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 6 ، ذلك لأن 6 = 2 × 3 . (حاصل ضرب عددين أوليين) . وقد علمنت ان العدد 2520 يقبل القسمة على كل من 2 و 3 .
اذن 2520 ÷ (2 × 3) يختصر مع 2 أولا ، ثم مع 3 . فلا يبقى باق .
و - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 7 ، لأنه من مصاعفات 7 ، ذلك لأننا ضربنا 360 في 7 فكان 2520 .
ز - وان العدد 2520 يقبل القسمة على 8 ، لأن العدد ينتهي بثلاثة أرقام تؤلف العدد (520) وهو يقبل القسمة على 8 ، أي 520 ÷ 8 = 65 . والدليل على ذلك كما يلي :
2520 = 520 + 2000
= مضاعفات 8 + 2 × 1000 .
= مضاعفات 8 + 2 × مضاعفات 8 .
= مضاعفات 8 . اذن 2520 يقبل القسمة على 8 .
ح - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 9 لأن قيمته المطلقة (أي 2 + 5 + 2 = 9) أو مضاعفات 9 .
برهان على ذلك :
الآحاد = صفر .
العشرات = 20 = (2×10) = 2(9+1) = (2×9+2) = مضاعفات 9+2 .
المئات = 500 =5×100 = 5(99+1) = 5×99+5) = مضاعفات 9+5 .
آحاد الألوف = 2000 = 2×100= 2(999+1) = 2×999+2 = مضاعفات 9+2 .
اذن العدد 2520 = مضاعفات 9+2+5+2 .
2520 من مضاعفات 9+9 = مضاعفات 9 .
2520 = مضاعفات 9 . فالعدد يقبل القسمة على 9 .
ط - ان العدد 2520 يقبل القسمة على 10 لأن رقم آحاده = صفر .
اذن 2520 = 252 × 10 .
2520 = مضاعفات 10 .
وهكذا ثبت أن العدد أن العدد 2520 يقبل القسمة على كل من الأرقام الطبيعية وعلى 10 .
ملاحظة : وردت هذه المسألة في كشكول البهائي على شكل آخر : دخل يهودي على علي (ع) وقال : "أخبرني عن عدد يكون له نصف وثلث وربع وخُمس وسدس وسُبع وثمن وتُسع وعُشر دون أن يكون في الناتج كسر .فقال (ع) : اضرب أيام أسبوعك في أيام سنتك فتحصل على العدد" .
:a_plain111::a_plain111: