زولديك
11-10-2009, 21:01
بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله و كفى و الصلاة و السلام على الرسول المصطفى و على آله و صحبه الأبرار و من أقتفى إلى يوم الدين , أما بعد:
كلنا يعلم اهمية علم التفاضل و التكامل في الفيزياء النظرية بل في كثير من العلوم , بل لا يكاد يخلو طالب علم من معلومات عنه و لكن مع الأسف , نجد في أكثر مناهجنا العربية طرق شرح باهتة المنظر ليس فيها أي نوع من العمق و بالتالي, عدم فهم أساسياته , فقد قرات في أحد المننديات , طالبة تقول , لقد تعلمت درس النهايات و قد انتهيت منه , ولكن لا اعرف معنى لها , و ما فائدتها , و ما تطبيقاتها , و تقول تعقيبا , اني لما سالت مدرستي , عن فوائد النهايات قالت الأستاذة بكل بساطة "النهايات بحر طويل , أبحثي في النت" , (شكلها تورطت الأستاذة ) , فقالت بحت فلم اجد شيئا , و هناك الكثير و الكثير من المعاناه , و من ابسط الأمثلة انا أيضا صاحب هذا الموضوع ., فأنا في كل مرة ادرس موضوع , أسئل نفس السؤال , ألا و هو , ما المشاكل التي ادت إلى انتاج هذا العلم او المفهوم الذي ادرس ؟ أعتقد أهم سؤال ممكن ان يسئل إلى طريق الفهم العميق ( بل و الفهم التطبيقي من اجل التطبيق) , هذا السؤال , فالنهاية تعتبر المدخل الرئيسي , لإمبراطورية التفاضل و التكامل , و هي من أبرز الافكار التي تميزه عن غير من باقي فروع الرياضيات مثل الهندسة و الجبر , و هي شهادة على عبقرية العقل البشر , هذا والله أسئل ان يوفقني لأشرح هذا المفهوم , و لي اجل ان يستفيد منه كل من يريد ان يتعلم التفاضل و التكامل بفهم عميق , فبسم الله نبدأ :
في القرن السابع عشر تم إعلان زواج "عقل" من "نهاية" وكان صاحب عقد هذا القٍران الفذ السير "إسحق نيوتن" و كان لهذا الخبر الأثر البارز على الإمبراطور "رياضيات" في تغير منهج حياته , و امتداد سلطته و نفوذه ,لا بل و جماله , فقط كان لهذا الإمبراطور الكثير من المشاكل , قد اثرت على حياته سلبا , و من هذي المشاكل , عدم فهمه لبناته "دوال" , و خاصة منها التي تدعى "الكسرية" , اما بالنسبة لنفوذه , فقد اتسعت لتشمل الكثير من الأبناء , الذين كانوا لديهم نوع من التحفظ من الإمبراطور"رياضيات" , مثل أبنته "ميل"التي قد أثارت مشاكل مع ابيها "رياضيات ", عندما تعرفت على الشاب "مماس" , فقط كان الإمبراطور يحبذ , لأبنته ان تكون مع الشاب "منحنى" , و ليس "مماس" , ولكن على حد تعبير "مماس" قالت , لقد مملت مما انا فيه ,محدودة بــ"منحنى" , فانا لا أريد التقيد به "منحنى" و الحصر بل الشمول , و الحرية ,و قد رأيت ان مماس مفيد لي , وتقول أيضا , أيها الإمبراطور رياضيات قد اجبرت على ما انا فيه بالتعرف على الشاب "منحنى" , فقد كنت أعمل في كثير من المؤسسات ( الأستاتيكا _الطفو_الهندسة _نظرية الأعداد) , و لكن قد دعيت من قبل مؤسسات تريد مني عملا آخر , و قد أضطررت إلى التعرف على "مماس", (و نكمل مشوارنا مع الزوجان عقل و نهاية) , بعد تمام هذا الزواج تم إنجاب الإبن البكر "تفاضل" , و من ثم الإبن "تكامل" , وقد كان الزوجان , سعيدان بإبنيهما , و قد كانا يرقبان أبنيهما , لحظة بلحظة , و يوما بيوما , يكبران على أيدي عباقرة كبار امثال " لويس لاجرانج _غتفيرد لابنتز_جاوس_ريمان_ليوناردو أويلر_كوشي_بروك تايلور__هنري بوانكاريه_فورييه_سيمون لابلاس....و الكثير ) , هذا و قد كان الزوجان سعيدان عندما تم ـستدعائهما من قبل العالم ريمان
من أجل أن يعملوا في شركته "الهندسة الريمانية", و قد آلت سعادتهما إلآ ما لانهاية , عندما , طلبهما مع الهندسة الريمانية , العبقري الكبير "آلبرت أينشتاين" لعملا تحت جناح النسبية العامة , و أيضا كان لهما الدور البارز في البناء الرياضياتي للنظرية العظيمة( العظمة لله) , "ميكانيكا الكم", ( ميكانيكا الكم و ما ادراك ما ميكانيكا الكم , يقول نيلز بور عنها ...من درس ميكانيكا الكم و لم يصعق , فلم يفهمها...)., هذا و التقدم في الأخوان تفاضل و تكامل ما زال قائما , و في كل عصر يدعوا من قبل شركات عملاقة للعمل لديها ,( الفيزياء النظرية _الأقتصاد_الكيمياء....), و مع هذا تقدمها في مجالات العلوم لا ينفكان عن طلب المساعدة من امهم "نهاية" فلا ننسى ان الفضل لأمهما نهاية و مع بعض الأحيان يكون تكامل مريضا ( و مرضه انه معتل و لهذا المرض طريقان 1-إما أن يكون عبر حدود التكامل 2- او يكون بسبب الدالة فقد تؤال إلى قيم لانهائية بسبب تعريفها على مجال الدالة المراد مكاملتها _و قد فصلت في هذا لمن يريد مراجعته و هو في مواضيعي) , فيضطر آنذاك ان يستعين بأمه "نهاية" ليستطيع حساب الدالة المكاملة . مع ما تقدم من كلام لعلنا ادركنا أهمية الأخت نهاية , لذا نبدا بالشرح عنها فبسم الله :
النهاية من جهة نظر فيزيائية
(لنفترض أن عالما فيزيقيا يريد قياس كمية معينة عندما يكون ضغط الهواء مساويا للصفر , و حيث أن مستحيل (تكنولوجيا) أن نصل إلى الفراغ التام , فإن الطريق الطبيعي هو أن نقيس الضغط عندما يتضائل , بمعنى عندما يقترب من الصفر , فإذا كانت تلك القياسات تقترب من قيمة معينة L مثلا , فإننا نستطيع القول ان قيمة القياس في الفراغ يساوي L , فإذا كانت f(x) دالة القياس ( أي الدالة التي تربط قيمة من إحداثي الفراغ مع إحداثي من الضغط) , و رمزنا للضغط بالرمز x و النقطة التي سيؤول إليها x (=الضغط) بالرمز a . فإننا نقول أن قيمة القياس تساوي L و نكتب ذلك على الشكل http://up.arab-x.com/Oct09/ZV877820.gif
حيث a=0 في حالتنا هذه (بمعنى ان الضغط منعدم) ,
1-كانت تفترض علي التكنولوجيا ان الضغط مستحيل ان يكون مساويا للصفر , و على ذلك , قمت بحساب هذه الدالة عند قيم قريبة من الصفر , فوجدت كلما أقتربت من الصفر أقتربت قيمة الدالة من قيمة معينة ألا وهي L , و على ذلك تكون هي قيمة القياس في حالة الفراغ ( و الفراغ مكافئ للضغط عند القيمة صفر) , من أمثال هذه المشاكل
اتت فكرة النهاية بمعنى لو كان لدي قيمة لا أستطيع الحساب عندها لدالة معينة , فإن فكرة النهاية , تقول لي قم بحساب قيم هذي الدالةعند القيم المجاورة و القريبة منها , فإذا كانت القيم تقترب من قيمة معية
و وحيدة من أجل كل قيمة قريبة تكون هي قيمة القياس . و على ما تقدم أقدم هذا المثال الرياضي ,
النهاية من وجهة نظر رياضية
لنفرض أن الدالة في المثال الفيزيائي هي"f(x)=1/x" , اي هذه الدالة التي تربط الضغط بالفراغ , و لنفرض اني عالم عبقري و قد توصلت إلى نظرية لكن هذه النظرية تحتاج إلى قياس الضغط عندما يكون مساوي للصفر لنقم بالأمر معا , f(0)=1/0"" , ما ذا تلاحظ ؟ بكل بساطة هذه دالة غير معينة القيمة , لأن القسمة على الصفر غير مسموح بها , حسنا ما ذا أفعل , حسب فكرة النهاية أقوم يالآتي
1-قم بحساب القيم المجاورة للصفر لهذه الدالة . المقصود بالقيم المجاورة أي القريبةمن الصفر مثل ( 0,1 0,01 0,001 ....) و هكذا , و على ذلك يكون لدينا الآتي
f(0.1)=10
f(0.01)=100
f(0.001)=1000
f(0.0000001)=1000000
لو تمعنت بقيم الدالة و القيم الناتجة لقلت كما قلت انا "كلما صغرت قيمة x كلما كبرت قيمة الدالة f(x) " , و هذا الأمر لا يختلف في أثنان .أعتقد اني نفذ المطلب الأول لفكرة النهاية و ماذا بعد
2-لاحظ ما هي القيمة التي تقترب منها الدالة , بكل بساطة ليس هناك قيمة في مثالي هذا , حسنا ما ذا أفعل بكل بساطة ارجع للقاعدة التي استنتجت و هي انه كلما صغرت قيمة x كبرت قيمة الدالة
( لكن ليس هناك أصغر رقم وايضا لا يوجد اكبر رقم حسب نظرية الأعداد ) , بمعنى ليس هناك رقم ستتوقف عنده الدالة او متغيرها x , فماذا نقول , فكر لبرهة!!! , لعلك أستنتجت ان الإجابة أن قيمة الدالة تؤول إلى "مالانهاية" , أي استنتجت هذا العالم ان قيمة الضغط في حالة الفراغ تؤول إلى ما لانهاية , لاحظ كيف يرتفع منحنى الدالة كلما اقترب متغيرها من الصفر "http://up4.m5zn.com/download-2009-10-11-10-apz8uropq.emf" .(لا تنسى ان هذا افتراض بحت بمعنى ليس له معنى من الصحة لأن الدالة أفترضها من باب الإيضاح).
لعله خطر على بالك كما خطر على بالي , ماذا تعني هذه القيم الصغيرة ؟, او لماذا نتخذ هذا المذهب في حالة الدوال الغير معينة؟ و أقصد بالمذهب مذهب القيم المجاورة , حسنا سؤال ذكي تابع معي
ليكن لدينا الدالة الآتية "f(x)=3x-4 " لنوجد قيمة هذه الدالة عند النقطة x=2 و نرى ماذا تكون قيمة الدالة , قيمة الدالة تساوي "f(2)=3*2-4=2" أي قيمة الدالة تساوي 2 , حسنا لنقم مرة اخرى بحساب قيمة الدالة لكن عند النقطة x=2.1 ( بمعنى أضفنا جزء من عشرة للعدد 2 ) , قيمة الدالة تساوي "f(2.1)=3*(2.1)-4=2.3" حسنا ماذا تلاحظ , ان قيمة الدالة ازدات بمقدار 0.3 , و لو سالتك عن سبب الزيادة لقلت لأنه زدنا في قيمة x 0.1 , بمعنى ان أي زيادة في x يقابلها زيادة في f(x) , حسنا , الآن لنفترض ان الدالة "f(x)=3x-4" غير معرفة عند النقطة x=2 , و لنحسب قيمة الدالة عند الـــx=2.1 و قد اوجدناها سابقا و كانت =2.3 , أوعيد السؤال السابق من أين اتى الجزء الصغير 0.3 ستعيد علي نفس الإجابة و تقول لي بسبب الـــ0.1 , بمعنى لو حذفت الجزء الصغير الــ0.3 من قيمة الدالة فكأني حذف الجزء الصغير من x و هو 0.1 , بمعنى كأني حسبت قيمة الدالة عند الـــx=2 , و الناتج سيكون النتيجة المرجوة 3 ( و لكن لا تسى أفتراضي و هو ان الدالة غير معرفة عند x=2) و على ذلك نستطيع أتستعذار الرياضي كوشي(صاحب تعريف النهاية المعتمد عالميا) حينما عرف النهايات على أساس القيم الصغير الدلتا و الأبسلون , و طبعا هذا حسب استنتاجي و رأي المتواضع . أتمنى ان تكون قد فهمت هذا الجزء جيدا , و إن لم تفهمه أعد قرائته , فضلا لا أمرا .
النهاية من وجهة نظر هندسية
لاحظ معي الصورة , نرى في الصورة أن هناك منحنى و هو منحنى الدالة http://up1.pc4up.com/2009/9i/56r81475.gif , و ايضا لاحظ معي المستقيم "R" , و هو يقطع منحنى الدالة السابقة في نقطتين هما (x,f(x)) , (0,1) , الآن لو أفترضنا http://up4.m5zn.com/download-2009-10-11-10-j7e2dnvh5.emf
ان النقطة "x" نقطة متحركة على منحنى الدالة السابقة , و المستقيم سيبقى قاطع لنفس النقطتين , مع تحرك النقطة "x" , لاحظ في كل مرة تتحرك النقطة "x" , ان ميل المستقيم يختلف عن السابقة , طبعا نحن نريد للنقطة "x" ان تؤول إلى النقطة (0,1) , التي إحداثيها السيني =0 , و على ذلك بجعل النقطة "x" تؤول إلى الصفر نستطيع ان نرى بوضوح كيف المستقيم "R"يقترب من أن يكون مماس لمنحنى الدالة "http://up1.pc4up.com/2009/9i/56r81475.gif", عند النقطة , (0,1) , و بدهي ان ميل المماس سيكون مساوي للصفر , سبب وضوح ان لا ميل له , دقق في الصورة , و أيضا المشتقة تثبت ذلك "http://up2.arb-up.com/files/arb-up-2009-9/q0F80885.gif "
الحمد لله و كفى و الصلاة و السلام على الرسول المصطفى و على آله و صحبه الأبرار و من أقتفى إلى يوم الدين , أما بعد:
كلنا يعلم اهمية علم التفاضل و التكامل في الفيزياء النظرية بل في كثير من العلوم , بل لا يكاد يخلو طالب علم من معلومات عنه و لكن مع الأسف , نجد في أكثر مناهجنا العربية طرق شرح باهتة المنظر ليس فيها أي نوع من العمق و بالتالي, عدم فهم أساسياته , فقد قرات في أحد المننديات , طالبة تقول , لقد تعلمت درس النهايات و قد انتهيت منه , ولكن لا اعرف معنى لها , و ما فائدتها , و ما تطبيقاتها , و تقول تعقيبا , اني لما سالت مدرستي , عن فوائد النهايات قالت الأستاذة بكل بساطة "النهايات بحر طويل , أبحثي في النت" , (شكلها تورطت الأستاذة ) , فقالت بحت فلم اجد شيئا , و هناك الكثير و الكثير من المعاناه , و من ابسط الأمثلة انا أيضا صاحب هذا الموضوع ., فأنا في كل مرة ادرس موضوع , أسئل نفس السؤال , ألا و هو , ما المشاكل التي ادت إلى انتاج هذا العلم او المفهوم الذي ادرس ؟ أعتقد أهم سؤال ممكن ان يسئل إلى طريق الفهم العميق ( بل و الفهم التطبيقي من اجل التطبيق) , هذا السؤال , فالنهاية تعتبر المدخل الرئيسي , لإمبراطورية التفاضل و التكامل , و هي من أبرز الافكار التي تميزه عن غير من باقي فروع الرياضيات مثل الهندسة و الجبر , و هي شهادة على عبقرية العقل البشر , هذا والله أسئل ان يوفقني لأشرح هذا المفهوم , و لي اجل ان يستفيد منه كل من يريد ان يتعلم التفاضل و التكامل بفهم عميق , فبسم الله نبدأ :
في القرن السابع عشر تم إعلان زواج "عقل" من "نهاية" وكان صاحب عقد هذا القٍران الفذ السير "إسحق نيوتن" و كان لهذا الخبر الأثر البارز على الإمبراطور "رياضيات" في تغير منهج حياته , و امتداد سلطته و نفوذه ,لا بل و جماله , فقط كان لهذا الإمبراطور الكثير من المشاكل , قد اثرت على حياته سلبا , و من هذي المشاكل , عدم فهمه لبناته "دوال" , و خاصة منها التي تدعى "الكسرية" , اما بالنسبة لنفوذه , فقد اتسعت لتشمل الكثير من الأبناء , الذين كانوا لديهم نوع من التحفظ من الإمبراطور"رياضيات" , مثل أبنته "ميل"التي قد أثارت مشاكل مع ابيها "رياضيات ", عندما تعرفت على الشاب "مماس" , فقط كان الإمبراطور يحبذ , لأبنته ان تكون مع الشاب "منحنى" , و ليس "مماس" , ولكن على حد تعبير "مماس" قالت , لقد مملت مما انا فيه ,محدودة بــ"منحنى" , فانا لا أريد التقيد به "منحنى" و الحصر بل الشمول , و الحرية ,و قد رأيت ان مماس مفيد لي , وتقول أيضا , أيها الإمبراطور رياضيات قد اجبرت على ما انا فيه بالتعرف على الشاب "منحنى" , فقد كنت أعمل في كثير من المؤسسات ( الأستاتيكا _الطفو_الهندسة _نظرية الأعداد) , و لكن قد دعيت من قبل مؤسسات تريد مني عملا آخر , و قد أضطررت إلى التعرف على "مماس", (و نكمل مشوارنا مع الزوجان عقل و نهاية) , بعد تمام هذا الزواج تم إنجاب الإبن البكر "تفاضل" , و من ثم الإبن "تكامل" , وقد كان الزوجان , سعيدان بإبنيهما , و قد كانا يرقبان أبنيهما , لحظة بلحظة , و يوما بيوما , يكبران على أيدي عباقرة كبار امثال " لويس لاجرانج _غتفيرد لابنتز_جاوس_ريمان_ليوناردو أويلر_كوشي_بروك تايلور__هنري بوانكاريه_فورييه_سيمون لابلاس....و الكثير ) , هذا و قد كان الزوجان سعيدان عندما تم ـستدعائهما من قبل العالم ريمان
من أجل أن يعملوا في شركته "الهندسة الريمانية", و قد آلت سعادتهما إلآ ما لانهاية , عندما , طلبهما مع الهندسة الريمانية , العبقري الكبير "آلبرت أينشتاين" لعملا تحت جناح النسبية العامة , و أيضا كان لهما الدور البارز في البناء الرياضياتي للنظرية العظيمة( العظمة لله) , "ميكانيكا الكم", ( ميكانيكا الكم و ما ادراك ما ميكانيكا الكم , يقول نيلز بور عنها ...من درس ميكانيكا الكم و لم يصعق , فلم يفهمها...)., هذا و التقدم في الأخوان تفاضل و تكامل ما زال قائما , و في كل عصر يدعوا من قبل شركات عملاقة للعمل لديها ,( الفيزياء النظرية _الأقتصاد_الكيمياء....), و مع هذا تقدمها في مجالات العلوم لا ينفكان عن طلب المساعدة من امهم "نهاية" فلا ننسى ان الفضل لأمهما نهاية و مع بعض الأحيان يكون تكامل مريضا ( و مرضه انه معتل و لهذا المرض طريقان 1-إما أن يكون عبر حدود التكامل 2- او يكون بسبب الدالة فقد تؤال إلى قيم لانهائية بسبب تعريفها على مجال الدالة المراد مكاملتها _و قد فصلت في هذا لمن يريد مراجعته و هو في مواضيعي) , فيضطر آنذاك ان يستعين بأمه "نهاية" ليستطيع حساب الدالة المكاملة . مع ما تقدم من كلام لعلنا ادركنا أهمية الأخت نهاية , لذا نبدا بالشرح عنها فبسم الله :
النهاية من جهة نظر فيزيائية
(لنفترض أن عالما فيزيقيا يريد قياس كمية معينة عندما يكون ضغط الهواء مساويا للصفر , و حيث أن مستحيل (تكنولوجيا) أن نصل إلى الفراغ التام , فإن الطريق الطبيعي هو أن نقيس الضغط عندما يتضائل , بمعنى عندما يقترب من الصفر , فإذا كانت تلك القياسات تقترب من قيمة معينة L مثلا , فإننا نستطيع القول ان قيمة القياس في الفراغ يساوي L , فإذا كانت f(x) دالة القياس ( أي الدالة التي تربط قيمة من إحداثي الفراغ مع إحداثي من الضغط) , و رمزنا للضغط بالرمز x و النقطة التي سيؤول إليها x (=الضغط) بالرمز a . فإننا نقول أن قيمة القياس تساوي L و نكتب ذلك على الشكل http://up.arab-x.com/Oct09/ZV877820.gif
حيث a=0 في حالتنا هذه (بمعنى ان الضغط منعدم) ,
1-كانت تفترض علي التكنولوجيا ان الضغط مستحيل ان يكون مساويا للصفر , و على ذلك , قمت بحساب هذه الدالة عند قيم قريبة من الصفر , فوجدت كلما أقتربت من الصفر أقتربت قيمة الدالة من قيمة معينة ألا وهي L , و على ذلك تكون هي قيمة القياس في حالة الفراغ ( و الفراغ مكافئ للضغط عند القيمة صفر) , من أمثال هذه المشاكل
اتت فكرة النهاية بمعنى لو كان لدي قيمة لا أستطيع الحساب عندها لدالة معينة , فإن فكرة النهاية , تقول لي قم بحساب قيم هذي الدالةعند القيم المجاورة و القريبة منها , فإذا كانت القيم تقترب من قيمة معية
و وحيدة من أجل كل قيمة قريبة تكون هي قيمة القياس . و على ما تقدم أقدم هذا المثال الرياضي ,
النهاية من وجهة نظر رياضية
لنفرض أن الدالة في المثال الفيزيائي هي"f(x)=1/x" , اي هذه الدالة التي تربط الضغط بالفراغ , و لنفرض اني عالم عبقري و قد توصلت إلى نظرية لكن هذه النظرية تحتاج إلى قياس الضغط عندما يكون مساوي للصفر لنقم بالأمر معا , f(0)=1/0"" , ما ذا تلاحظ ؟ بكل بساطة هذه دالة غير معينة القيمة , لأن القسمة على الصفر غير مسموح بها , حسنا ما ذا أفعل , حسب فكرة النهاية أقوم يالآتي
1-قم بحساب القيم المجاورة للصفر لهذه الدالة . المقصود بالقيم المجاورة أي القريبةمن الصفر مثل ( 0,1 0,01 0,001 ....) و هكذا , و على ذلك يكون لدينا الآتي
f(0.1)=10
f(0.01)=100
f(0.001)=1000
f(0.0000001)=1000000
لو تمعنت بقيم الدالة و القيم الناتجة لقلت كما قلت انا "كلما صغرت قيمة x كلما كبرت قيمة الدالة f(x) " , و هذا الأمر لا يختلف في أثنان .أعتقد اني نفذ المطلب الأول لفكرة النهاية و ماذا بعد
2-لاحظ ما هي القيمة التي تقترب منها الدالة , بكل بساطة ليس هناك قيمة في مثالي هذا , حسنا ما ذا أفعل بكل بساطة ارجع للقاعدة التي استنتجت و هي انه كلما صغرت قيمة x كبرت قيمة الدالة
( لكن ليس هناك أصغر رقم وايضا لا يوجد اكبر رقم حسب نظرية الأعداد ) , بمعنى ليس هناك رقم ستتوقف عنده الدالة او متغيرها x , فماذا نقول , فكر لبرهة!!! , لعلك أستنتجت ان الإجابة أن قيمة الدالة تؤول إلى "مالانهاية" , أي استنتجت هذا العالم ان قيمة الضغط في حالة الفراغ تؤول إلى ما لانهاية , لاحظ كيف يرتفع منحنى الدالة كلما اقترب متغيرها من الصفر "http://up4.m5zn.com/download-2009-10-11-10-apz8uropq.emf" .(لا تنسى ان هذا افتراض بحت بمعنى ليس له معنى من الصحة لأن الدالة أفترضها من باب الإيضاح).
لعله خطر على بالك كما خطر على بالي , ماذا تعني هذه القيم الصغيرة ؟, او لماذا نتخذ هذا المذهب في حالة الدوال الغير معينة؟ و أقصد بالمذهب مذهب القيم المجاورة , حسنا سؤال ذكي تابع معي
ليكن لدينا الدالة الآتية "f(x)=3x-4 " لنوجد قيمة هذه الدالة عند النقطة x=2 و نرى ماذا تكون قيمة الدالة , قيمة الدالة تساوي "f(2)=3*2-4=2" أي قيمة الدالة تساوي 2 , حسنا لنقم مرة اخرى بحساب قيمة الدالة لكن عند النقطة x=2.1 ( بمعنى أضفنا جزء من عشرة للعدد 2 ) , قيمة الدالة تساوي "f(2.1)=3*(2.1)-4=2.3" حسنا ماذا تلاحظ , ان قيمة الدالة ازدات بمقدار 0.3 , و لو سالتك عن سبب الزيادة لقلت لأنه زدنا في قيمة x 0.1 , بمعنى ان أي زيادة في x يقابلها زيادة في f(x) , حسنا , الآن لنفترض ان الدالة "f(x)=3x-4" غير معرفة عند النقطة x=2 , و لنحسب قيمة الدالة عند الـــx=2.1 و قد اوجدناها سابقا و كانت =2.3 , أوعيد السؤال السابق من أين اتى الجزء الصغير 0.3 ستعيد علي نفس الإجابة و تقول لي بسبب الـــ0.1 , بمعنى لو حذفت الجزء الصغير الــ0.3 من قيمة الدالة فكأني حذف الجزء الصغير من x و هو 0.1 , بمعنى كأني حسبت قيمة الدالة عند الـــx=2 , و الناتج سيكون النتيجة المرجوة 3 ( و لكن لا تسى أفتراضي و هو ان الدالة غير معرفة عند x=2) و على ذلك نستطيع أتستعذار الرياضي كوشي(صاحب تعريف النهاية المعتمد عالميا) حينما عرف النهايات على أساس القيم الصغير الدلتا و الأبسلون , و طبعا هذا حسب استنتاجي و رأي المتواضع . أتمنى ان تكون قد فهمت هذا الجزء جيدا , و إن لم تفهمه أعد قرائته , فضلا لا أمرا .
النهاية من وجهة نظر هندسية
لاحظ معي الصورة , نرى في الصورة أن هناك منحنى و هو منحنى الدالة http://up1.pc4up.com/2009/9i/56r81475.gif , و ايضا لاحظ معي المستقيم "R" , و هو يقطع منحنى الدالة السابقة في نقطتين هما (x,f(x)) , (0,1) , الآن لو أفترضنا http://up4.m5zn.com/download-2009-10-11-10-j7e2dnvh5.emf
ان النقطة "x" نقطة متحركة على منحنى الدالة السابقة , و المستقيم سيبقى قاطع لنفس النقطتين , مع تحرك النقطة "x" , لاحظ في كل مرة تتحرك النقطة "x" , ان ميل المستقيم يختلف عن السابقة , طبعا نحن نريد للنقطة "x" ان تؤول إلى النقطة (0,1) , التي إحداثيها السيني =0 , و على ذلك بجعل النقطة "x" تؤول إلى الصفر نستطيع ان نرى بوضوح كيف المستقيم "R"يقترب من أن يكون مماس لمنحنى الدالة "http://up1.pc4up.com/2009/9i/56r81475.gif", عند النقطة , (0,1) , و بدهي ان ميل المماس سيكون مساوي للصفر , سبب وضوح ان لا ميل له , دقق في الصورة , و أيضا المشتقة تثبت ذلك "http://up2.arb-up.com/files/arb-up-2009-9/q0F80885.gif "