العمليات على المجموعات

[تغريـد]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
الأخوة الكرام
في محاولة لوضع الاسس المنطقية لعلم الرياضيات بدأنا معكم هذه السلسلة من المواضيع


مبادئ الرياضيات:-(أ) المنطق و البرهان الرياضي (http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=38854td)
و الذي لم تكتمل فصوله بعد و اتمنى ان أجد الوقت الكافي للرجوع إليها

ثم و انتقلنا بعد ذلك لمناقشة مجموعات الاعداد لما لها من أهمية لا تخفى على أحد و التي تشكل
القاعدة الأولى التي يتم من خلالها تفصيل و تمثبل المفاهيم على أرض الواقع




مفاهيم رياضية أساسية: الأعداد (http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=38513)

ثم رجعنا لنتناول مفهوم المحموعات بشكل أكثر تجريدا



المجموعات (الفئات The Sets) (http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=46121)

و إكمالا للمسيرة و كخطوة أخرى على الطريق سنحاول الحديث اليوم عن العمليات على المجموعات

[تغريـد]

1- الإتحاد Union
إذا كانت A,B مجموعتين يعرف اتحادهما على أنه المجموعة التي عناصرها إما من عناصر A أو من عناصر B أو كليهما و نرمز لذلك ب


http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cup&space;B&space;=&space;\{&space;x:&space;x&space;\in&space;A\,\,\,\textrm{&space;o r&space;}\,\,\,&space;x\in&space;B\}

بمعنى أن العنصر x ينتمي لمجموعة الاتحاد إذا وفقط إذا كانت x تنتمي إلى A أو إذا كانت x ينتمي إلى B


و يمكن تمثيل العمليات على المجموعات بأشكال تسمى أشكال فن Venn diagrams كما يلي
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn-diagram-AB.svg


http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn-diagram-AB.svg

فإذا كانت الدائرة الأولى ترمز للمجموعة A و الدائرة الثانية ترمز للمجموعة B فإن الشكل المظلل يرمز لمجموعة الاتحاد
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn0111.svg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn0111.svg
مثال
فإذا كانت
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;=&space;\{1,2,3,4\}
و كانت
http://latex.codecogs.com/gif.latex?B&space;=&space;\{5,6,7,8\}
فإن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cup&space;B&space;=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

كذلك إذا كانت
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;=&space;\{x:x&space;\textrm{is&space;an&space;even&space;number},&space;x&space;>&space;1\}&space;\\&space;B&space;=&space;\{x:x&space;\textrm{is&space;an&space;odd&space;number},&space; x&space;>&space;1\}

فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cup&space;B&space;=\{2,3,4,5,6,...\}


من خواص عملية الاتحاد
1- عملية الاتحاد عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cup&space;B&space;=B&space;\cup&space;A
أعط نفسك و لو أقل من دقيقة للتحقق من ذلك.

2- أن عملية الاتحاد عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?(&space;A&space;\cup&space;B)&space;\cup&space;C&space;=(&space;A&space;\cup&space;(B&space;\cup&space;C)
تحقق من ذلك بنفسك.
و هذه الخواص مهمة جدا لأنها تعني أنه يمكن إجراء هذه العملية لاي عدد من المجموعات باستخدام أو بدون استخدام الاقواس .

(هل يمكنك إعطاء مثال على عملية غير دامجة و بالتالي لا يمكن تكرارها بدون استخدام الأقواس
سنجد أن هناك بالفعل العديد من العمليات ليست دامجة )

و على ذلك يمكن أن نستخدم الصيغة التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cup&space;B&space;\cup&space;C&space;=(&space;A&space;\cup&space;B)&space;\cup&space;C

و هنا يجب التنبيه أننا لإجراء أي عملية أكثر من مرة يجب أن نستخدم الأقواس إذا لم تكن العملية دامجة و إلا يعتبر التعبير بلا معنى طالما لم تتم الإشارة إلى ذلك
فمثلا في عملية الطرح لا معنى للقول
a-b-c

( إذا لم يتم الاتفاق على أولويات لإجراء العملية )
لماذا؟
كيف تستطيع أن تقنع نفسك بذلك؟

يتبــــــــــــــع

[تغريـد]

اتحاد عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات

إن ما تتمتع به عملية الاتحاد من صفات (خاصية الدمج) جعلت من السهل إيجاد الاتحاد لأي عدد من المجموعات حتى لو كان هذا العدد غير منتهي
فإذا كان لدينا عدد كبير جدا من المجموعات و ليكن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{A_i&space;:&space;i&space;\in&space;I\}

حيث i تنتمي للمجموعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?I و هي هنا تستخدم لترقيم المجموعات أن نجري عليها عملية الاتحاد و تمييزها عن بعضها

فإن مجموعة الاتحاد( لتلك المجموعات) هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا وجدت مجموعة واحدة على الاقل و لتكن http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_{i_{0}}

بحيث أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?x&space;\in&space;A_{i_{0}}

أمثلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bigcup_{i=0}^{10}&space;\{i\}=\{0,1,2,...,10\ }&space;\\&space;\bigcup_{n=-&space;\infty&space;}^{\infty&space;}\{n,&space;n+1,n+2\}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,&space;...\}&space;\\&space;\bigcup_{i\in&space;[&space;0,1]}\{i,2i,-i,-2i\}=[-2,2]&space;\\&space;\bigcup_{n=1}^{\infty&space;}&space;[&space;\frac{1}{n}&space;,&space;1-\frac{1}{n}]=&space;(0,1)

سيكون تمرين جيد أن تحاول التحقق من كل ما سبق و أن تقتنع بصحة ذلك

[تغريـد]

عملية التقاطع intersection

إذا كان A و B مجموعتين فإن تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A و B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى مجموعة التقاطع إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B يرمز لها ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A\cap B=\{x:x\in A, x\in B \}

وكما هو الحال في عملية الاتحاد ، يمكن تمثيل عملية التقاطع بأشكال فن Venn diagrams كما يلي
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn_A_intersect_B.svg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn_A_intersect_B.svg


أمثلة
فإذا كانت
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;=&space;\{1,2,3,4\}
و كانت
http://latex.codecogs.com/gif.latex?B&space;=&space;\{2,4,6,8\}
فإن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cap&space;B&space;=\{2,4 \}

كذلك إذا كانت
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;=&space;\{x:x&space;\textrm{is&space;an&space;even&space;number},&space;x&space;>&space;1\}&space;\\&space;B&space;=&space;\{x:x&space;\textrm{is&space;an&space;odd&space;number},&space; x&space;>&space;1\}

فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cap&space;B&space;=\{\}

لاحظوا معي هنا أهمية وجود المجموعة الخالية فلولاها لأصبحت عملية التقاطع ليست معرفة دائما

و نلاحظ أيضا كيف أن المجموعة الخالية يجب اعتبارها مجموعة جزئية من أي مجموعة
و أن المجموعات الخالية متطابقة مهما كان أصلها
و يؤكد ذلك المثال التالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{1,&space;2\}&space;\cap&space;\{red,&space;white\}&space;=&space;\varnothi ng


أما عن خواص عملية التقاطع يمكننا ملاحظة أنه رغم الخلاف الكبير بين تعريف عملية التقاطع و الاتحاد
إلا ان كلاهما عمليات إبدالية و دامجة
من خواص عملية التقاطع
1- عملية التقاطع عملية إبدالية بمعنى أنه لاي مجموعتين A,B فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cap&space;B&space;=B&space;\cap&space;A
تحقق من ذلك.

2- أن عملية التقاطع عملية تجميعية ( دامجة)، بمعنى أنه لأي ثلاث مجموعات A,B,C فإن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(A\cap&space;B)\cap&space;C=A\cap&space;(B\cap&space;C)
تحقق من ذلك.
و عليه كما أوضحنا مسبقا يمكن إجراء عملية التقاطع أكثر من مرة بدون استخدام الأقواس

أي أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cap&space;B&space;\cap&space;C&space;=(&space;A&space;\cap&space;B)&space;\cap&space;C


تقاطع عدد منتهي أو غير منتهي من المجموعات
و نظرا لأن عملية التقاطع أيضا دامجة يمكن بكل سهولة تعريف عملية التقاطع لأي عدد من المجموعات
فإذا كان لدينا عدد من المجموعات و ليكن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{A_i&space;:&space;i&space;\in&space;I\}

فإن مجموعة التقاطع هي المجموعة A التي يمكن الحكم على عنصر ما x أنه ينتمي لها إذا كان هذا العنصر ينتمي لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_{i} لكل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{A_i&space;:&space;i&space;\in&space;I\}

أمثلة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bigcap_{n=1}^{50}(0,n)=(0,1)&space;\\&space;\bigcap _{a>0}(-\infty&space;,a)=&space;(-\infty&space;,0]&space;\\&space;\bigcap_{n=1}^{\infty&space;}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\}&space;\\&space;\bigcap_{a&space;\in&space;R }[a,&space;\infty&space;)=&space;\varnothing

يتبـــع

[حنــان]

بارك الله فيك أخت تغريد على هذا المجهود الرائع،،،

شكرا لكــــ

[جوديان]

الله يعطيك العافية تغريد ويبارك ربي فيك

[تغريـد]

الفرق بين مجموعتين Difference
إذا كان A و B مجموعتين فإن المجموعة A فرق B تمثل مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A ولكنها لا تنتمي إلى B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى A و لكن x لا ينتمي إلى B
و نرمز لتلك المجموعة بأحد الرمزين التاليين
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A-B,&space;A\setminus&space;B
و بطريقة الصفة المميزة نكتب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A\setminus&space;B=\{x:&space;x&space;\in&space;A,&space;x&space;\notin&space;B&space;\}


و تمثل مجموعة الفرق بأشكال فن كما في الرابط (http://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn0100.svg)

أمثلة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{1,&space;2\}&space;\setminus&space;\{red,&space;white\}&space;=&space;\{1, &space;2\}.&space;\\&space;\{1,&space;2,&space;green\}&space;\setminus&space;\{red,&space;white,&space;g reen\}&space;=&space;\{1,&space;2\}.&space;\\&space;\{1,&space;2\}\setminus&space;\{1,&space;2\}&space;= &space;\varnothing.&space;\\&space;\{1,&space;2,&space;3,&space;4\}&space;\setminus&space;\{1,&space;3\} &space;=&space;\{2,&space;4\}.

المجموعة الشاملة
إذا كنا نهتم بدراسة مجموعة ما و بعض مجموعاتها الجزئية فإن المجموعة الكبرى التي تضم كل العناصر قيد الدراسة تسمى المجموعة الشاملة universal set

المجموعة المكملة لمجموعة A
فإذا كانت المجموعة U هي المجموعة الشاملة في دراسة ما , و كانت A هي احدى مجموعاتها الجزئية
فإننا في هذه الحالة نطلق على المجموعة U فرق A مصطلح المجموعة الكملة للمجموعة A
و نرمز لها ب http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;^{c} أو ' A
و نعبر عن ذلك بطريقة الصفة المميزة بالقول
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;^{c}&space;=\{x:x&space;\in&space;U,&space;x&space;\notin&space;A&space;\}


فمثلا إذا كانت المجموعة U هي مجموعة الأعداد الحقيقية و كانت A هي مجموعة الأعداد النسبية فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{c} هي مجموعة الاعداد غير النسبية







من خواص عملية الفرق و المجموعة المكملة
عملية الفرق ليست ابدالية و لا دامجة لذا يجب الحذر عند التعامل معها
و من الخواص المهمة ما يلي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\setminus&space;B&space;\neq&space;B&space;\setminus&space;A.&space;\\&space;A&space;\ cup&space;A^{c}&space;=&space;U.\\&space;A&space;\cap&space;A^{c}&space;=&space;\varnothing&space;.\\&space;(A ^{c})^{c}&space;=&space;A.\\&space;A&space;\setminus&space;A&space;=&space;\varnothing&space;\\&space;U^ {c}&space;=&space;\varnothing&space;\\&space;\varnothing&space;^{c}&space;=&space;U.\\&space;A&space;\se tminus&space;B&space;=&space;A&space;\cap&space;B^{c}.&space;\\

[تغريـد]

من أهم الخواص المتحققة بالنسبة للمجموعات
1- distributive laws خاصية توزيع الاتحاد على التقاطع و توزيع التقاطع على الاتحاد
فإذا كانت A,B,C ثلاث مجموعات فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?A\cap&space;(B\cup&space;C)=(A\cap&space;B)\cup&space;(A&space;\cap&space;C) \\&space;A\cup&space;(B\cap&space;C)=(A\cup&space;B)\cap&space;(A&space;\cup&space;C)

يتبــــع

[تغريـد]

بارك الله فيك أخت تغريد على هذا المجهود الرائع،،،

شكرا لكــــ

و بارك الله فيك و وفقك أختي الكريمة باحثة صغيرة

[تغريـد]

الله يعطيك العافية تغريد ويبارك ربي فيك

عافاك الله من كل سوء أختي الكريمة جوديان و بارك فيك

[تغريـد]

لنكمل الحديث عن
خواص العمليات على المجموعات

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Intersectionsets.png

من أهم النظريات الخاصة بالعمليات على المجموعات هي نظرية ديمورجان وتنص على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?(A\cap&space;B)^c&space;=A^{c}&space;\cup&space;B^{c}&space;\\(A\cup&space;B )^c&space;=A^{c}&space;\cap&space;B^{c}

و يمكن تعميم قانون التوزيع و قانوني ديمورجان أيضا لأي عدد من المجموعات

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A&space;\cap&space;(\bigcup_{i&space;\in&space;I}&space;)&space;B_{i}&space;=\bigc up_{i&space;\in&space;I}&space;(&space;A&space;\cap&space;B_{i})\\&space;A&space;\cup&space;(\bigcap_{i&space; \in&space;I}&space;)&space;B_{i}&space;=\bigcap_{i&space;\in&space;I}&space;(&space;A&space;\cup&space;B_{i} )

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\bigcup_{i&space;\in&space;I}&space;B_{i})^{c}&space;=\bigcap_{ i&space;\in&space;I}&space;B_{i}^{c}\\&space;(\bigcap_{i&space;\in&space;I}&space;B_{i})^{c} &space;=\bigcup_{i&space;\in&space;I}&space;B_{i}^{c}\\



و نختم هذا الموضوع ببعض الخواص المهمة والبسيطة للعمليات على المجموعات

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(A^{c})^{c}=A&space;\\&space;A\setminus&space;B=&space;A&space;\cap&space;B^ {c}&space;\\&space;C&space;\setminus&space;(A\cap&space;B)=(C&space;\setminus&space;A)\cup&space;( C&space;\setminus&space;B)\\&space;C&space;\setminus&space;(A\cup&space;B)=(C&space;\setminu s&space;A)\cap&space;(C&space;\setminus&space;B)

نرجو من الله التوفيق
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[nuha1423]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

يعطيك العافية أستاذة تغريد بارك الله فيك وجزاك خيراً

سأعود لدراسة ما كتبتيه بالتفصيل

رفع الله مقامك وغفر لوالدينا ووالديك


تحياتي ودمت بخير