مساحة ومحيط القطع الناقص

[mysterious_man]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته:
لنفترض لدينا قطعا ناقصًا طول محوره الأكبر 2a ومحوره الأصغر 2b
والمسافة بين بؤرتيه هي f

http://farm5.static.flickr.com/4056/4587543919_0c9d64c4d0.jpg

===================
سنعرف كمية اسمها e
e= sqrt(a^2-b^2)/a

وهي الاختلاف المركزي أو eccentricity
--------------------------------
وكمية اسمها x
x=(a-b)/(a+b) ... eq1
-------------------------------
مساحة القطع الناقص

A=Pi*a*b

محيط القطع الناقص

هذا المحيط لا يعطى الا بتكامل شاق وليس له اية صيغة مغلقة الا عندما يكون
a=b=r
أي عندما يكون القطع الناقص دائرة

أما التكامل الدقيق الذي يعطي الحل فهو

C = 4a*[ INTEGRAL(from 0..to..2Pi) of: sqrt((1-e^2)*(sin[t])^2) dt]... eq2

ويكن الرمز إليه بـــ

C = 4aE(Pi/2;e) = 4aE(e) .....eq4

حيث (E(Pi/2;e هو complete elliptic integral of the second kind

تقريبات من الأقل دقة إلى الأكثر دقة

التقريب الأول:
C ~ 2 Pi*sqrt((a^2+b^2)/2)..... eq5

التقريب الثاني (أفضل):
C ~ Pi*(sqrt[(a^2+b^2)/2] + [a+b]/2) .... eq6

التقريب الثالث, التقرب الأول لرامانوجان Ramanujan (أفضل):

C ~Pi*(3a + 3b - sqrt[(a+3b)(b+3a)])...... eq7

التقريب الرابع, التقرب الثاني لرامانوجان Ramanujan (أفضل تقريب):

C ~Pi*(a+b)(1 + 3x^2 /[10+sqrt(4-3x^2)] )...... eq8

المراجع:

http://www.mathopenref.com/ellipsearea.html

http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.ellipse.circumference.html

والله أعلم

[مهند الزهراني]

شكرا جزيلا لك ، لكن هلا لبيت لي طلبات بسيطا ؟

هل من الممكن ان تجرب اللتيكس لكتابة المعادلات لاني اجد صعوبة في فهمها بهذه الطريقة ، وأشكرك مجددا ،،،

[مهند الزهراني]

وهذا لقيته بأحد الكتب لدي ،

اذا افترضنا ان مساحة القطع الناقص هي y وكان نصف محوره الاكبر هو a ونصف محوره الاصغر b

فان :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi y=\pi ab


ومحيطه اذا رمزنا له بالرمز x :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi x=4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2sin^2\theta }d\theta \approx 2\pi\sqrt{\frac{1}{2}(a^2+b^2)}

[زَينَب..~]

الصيغة باللاتيكس
لتكون
أوضح
,,السلام عليكم ورحمة الله وبركاته:

لنفترض لدينا قطعا ناقصًا طول محوره الأكبر
http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a

ومحوره الأصغر
http://latex.codecogs.com/gif.latex?2b
والمسافة بين بؤرتيه هي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f


http://farm5.static.flickr.com/4056/4587543919_0c9d64c4d0.jpg


===================
سنعرف كمية اسمها

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;e


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a}}


وهي الاختلاف المركزي
أو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;..eccentricity
--------------------------------
وكمية اسمها
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;x
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;x=\frac{a-b}{a+b}......{\color{red}&space;Equation(1)}-------------------------------

مساحة القطع الناقص


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;A=\pi&space;\times&space;a\times&space;b

محيط القطع الناقص


هذا المحيط لا يعطى الا بتكامل شاق وليس له اية صيغة مغلقة الا عندما يكون

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;a=b=r

أي عندما يكون القطع الناقص دائرة

أما التكامل الدقيق الذي يعطي الحل فهو


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;...C=4a\times&space;\int_{0}^{2\pi&space;}&space;o f:\sqrt{((1-e^2)\times&space;(sin(t)))^2}dt.....eq2


ويكن الرمز إليه بـــ


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;C=&space;4aE(\frac{\pi&space;}{2;e}).....eq4


حيث

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;E=\frac{\pi&space;}{2;e}...

هو
complete elliptic integral of the second kind

تقريبات من الأقل دقة إلى الأكثر دقة

التقريب الأول:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;C~2&space;\pi&space;\times&space;\sqrt{\frac{a^2+b ^2}{2}}.....eq5

التقريب الثاني (أفضل):

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;C&space;~&space;\pi&space;\times&space;\sqrt{\frac{a^2+b ^2}{2}+\frac{a+b}{2}}&space;....&space;eq6

التقريب الثالث, التقرب الأول لرامانوجان
Ramanujan (أفضل):



http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;C&space;{\color{green}&space;~}\pi&space;(3a+3b-\sqrt{(a+3b)(b+3a)}).........eq7


التقريب الرابع, التقرب الثاني لرامانوجان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;Ramanujan (أفضل تقريب):



http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;C&space;~\pi&space;\times&space;(a+b)\frac{1+3x^2} {10\sqrt{4-3x^2}}................eq8


المراجع:



http://www.mathopenref.com/ellipsearea.html

http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.ellipse.circumference.html

والله أعلم


شكرالك*_^

:a_plain111:

[زَينَب..~]

اعتقد ان عدد المعادلات (7)وليس(8) لانك لم تذكر (3) ام اني مخطئة لكن جهد تشكر عليه عافاك المولى

[mysterious_man]

بارك الله فيكِ يا زينب
:)

[الصادق]

اخي العزيز احمد كمال
مشكور ومأجور ان شاء الله على هذا الموضوع الرائع
بارك الله فيك وجزاك كل الخير

[mysterious_man]

اخي العزيز احمد كمال
مشكور ومأجور ان شاء الله على هذا الموضوع الرائع
بارك الله فيك وجزاك كل الخير

جزاك الله خيرًا أخي الحبيب الصادق

[mysterious_man]

اعتقد ان عدد المعادلات (7)وليس(8) لانك لم تذكر (3) ام اني مخطئة لكن جهد تشكر عليه عافاك المولى

أظن أنه توجد اختلافات بين المعادلات بالليتكس وبين المعادلات في المشاركة الأصلية

مثال : آخر تقريب

جزاكم الله خيرًا

[nuha1423]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيكم

شكراً على الموضوع القيم