مسائل بسيطة من الاولمبياد العالمي IMO

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ،،،

اليوم معكم كم مسألة بسيطة جات بمسابقات عالمية قديمة ، سهلة وجميلة ،،،

1- أوجد كافة الاعداد الصحيحة التي تحقق ان المقدار التالي يقبل القسمة على 7

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;2^n-1

2- اذا علمت أن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;a+b=1&space;\&space;,a,b>&space;0

فأثبت المتباينة التالية :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ geq&space;\frac{1}{3}

[الهَياء]

بآرك الله فيك ~

[مهند الزهراني]

بآرك الله فيك ~

يعطيك العافية ، وفكري بحلها <<< نذل :laughter01:

[مهند الزهراني]

حل السؤال الاول ،،،

يكون المقدار يقبل القسمة على 7 عندما http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;2^n-1\equiv&space;0(mod&space;\&space;7)\Leftrightarrow&space;2^n\equiv&space;1(mod&space; \&space;7)

وباستخدام افكار مماثلة لزمرة باقي القسمة ( لمن لا يعرف بنظرية العدد ) فأن الباقي يكون 1 عندما يكون
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;n=3k&space;\&space;:k=1,2,...

وهو الحل العام والمطلوب ،،،

الان السؤال الثاني فكروا فيه وهو اما باستخدام حقيقة تيتو أو متباينة كوشي - شوارتز

[الهَياء]

إن ششآء الله إذ1 قدّرت ^^
( جهد مبذول المهند ) ...

[مهند الزهراني]

المسألة الثانية باستخدام حقيقة تيتو ،،
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;\frac{a^2}{a&plus;1}&plus;\frac{b^2}{b&plus;1}\ geq&space;\frac{(a&plus;b)^2}{(a&plus;b)&plus;2}=\frac{1}{3}&space;\&space;(T_2&space;\&space;l emma)

[الأُولى]

بس راح يكون المقام 2 مش 3

[مهند الزهراني]

بس راح يكون المقام 2 مش 3

اهلا ،،

المفترض أني اجمع المقامات عشان تطلع 3 لكني نسيت ، راح اعدلها ،،