سؤال من التصفيات ،،

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ،،

تم عقد تصفيات للدخول للمرحلة الثالثة والرابعة للتدريب في بداية الشهر ، تأهلت منها الى معسكر تدريبي ولله الحمد ، وهذا سؤال سهل وجميل وحله بطرق عديدة من التصفيات ،،،

اذا كان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;z=1+9+9^2+...+9^{1431}

فأثبت التالي :

1- z يقبل القسمة على 5 ( له اكثر من 5 طرق لحله )

2- z-1 يقبل القسمة على 7

( شدوا حيلكم في اللي بقي 4 ايام بس !!!)

[د.اينشتاين]

الحل في المرفقات ..و بالتوفيق

[مهند الزهراني]

الحل في المرفقات ..و بالتوفيق

حل جميل وبسيط ، نريد كذذلك حلول أخرى ،،،

[علمى علمك]

السلام عليكم

1 - يختص العدد 9 المرفوع لاى اس طبيعى باحتمالين فقط فى

خانة الاحاد للقيمة الناتجة ( 1 او 9 )

اذن كل حدين متتاليين من البداية مجموعهما يقبل القسمة على 10

و حيث ان عدد الحدود زوجى ........... اذن المجموع الكلى يقبل القسمة على 5

و هو بالطبع نفس حل اخى د.اينشتاين

2 - كل ثلاثة حدود متتالية ....... بعد اخراج العامل المشترك

تعطى ( 91 ) وهو يقبل القسمة على 7

و عدد الحدود 1431 حدا يمكن تقسيمه الى ثلاثيات من الحدود المتتالية

اذن المجموع الكلى يقبل القسمة على 7

[مهند الزهراني]

السلام عليكم

1 - يختص العدد 9 المرفوع لاى اس طبيعى باحتمالين فقط فى

خانة الاحاد للقيمة الناتجة ( 1 او 9 )

اذن كل حدين متتاليين من البداية مجموعهما يقبل القسمة على 10

و حيث ان عدد الحدود زوجى ........... اذن المجموع الكلى يقبل القسمة على 5

و هو بالطبع نفس حل اخى د.اينشتاين

2 - كل ثلاثة حدود متتالية ....... بعد اخراج العامل المشترك

تعطى ( 91 ) وهو يقبل القسمة على 7

و عدد الحدود 1431 حدا يمكن تقسيمه الى ثلاثيات من الحدود المتتالية

اذن المجموع الكلى يقبل القسمة على 7

حل سليم ، لكني لا أحب الا البراهين بالرموز :laughter01:

سأضع عدة حلول وقيمها بنفسك ، لكن حلك جميل وبسيط ولاغبار عليه خصوصا لمن يعتقد انه يفتقر لبعض المفاهيم الرياضية ،،

[مهند الزهراني]

فكرة لحل السؤال الاول ،،

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;1+9+9^2+...+9^{1431}\equiv&space;(1-1)+(1-1)+...+(1-1)(mod&space;\&space;5)\equiv&space;0(mod&space;\&space;5)

للسؤال الثاني يمكننا استنتاج التالي من التطابقات :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;\begin{Bmatrix}&space;9\equiv&space;2(mod&space;\&space; 7)&space;&\\&space;9^2\equiv&space;4(mod&space;\&space;7)&&space;\\&space;9^3\equiv&space;1(mod&space;\&space;7)&space;&&space;\end{Bmatrix}

وبملاحظة دورية بواقي القسمة بشكل متتابع ينتج ان مجموع البواقي لكل ثلاث اعداد متتالية تكون 7 وبالتالي يكون باقي القسمة على 7 هو صفر وبالتالي تقبل القسمة على 7 ،،،

[علمى علمك]

السلام عليكم

1 - اخى مهند ....... ليس مثلى يقيمك ، و اعذرنى لقلة خبرتى فى كتابة الرموز

و المعادلات ، فانا لم اتقن بعد طريقة اللاتكس

كما ان حظى من الرياضيات ليس كبير

2 - عندى ملاحظة فى اجابتك الثانية

كيف لى ان اعرف باقى قسمة 9^4 ، 9^5 ، 9^6 .........

على 7

هل ساضطر لقسمتها ام استخدم الالة الحاسبة ..... ( و كيف )

و بناءا على ذلك التوضيح منك ، ارجو شرح الجزء الاول من الحل

[مهند الزهراني]

السلام عليكم

1 - اخى مهند ....... ليس مثلى يقيمك ، و اعذرنى لقلة خبرتى فى كتابة الرموز

و المعادلات ، فانا لم اتقن بعد طريقة اللاتكس

كما ان حظى من الرياضيات ليس كبير

2 - عندى ملاحظة فى اجابتك الثانية

كيف لى ان اعرف باقى قسمة 9^4 ، 9^5 ، 9^6 .........

على 7

هل ساضطر لقسمتها ام استخدم الالة الحاسبة ..... ( و كيف )

و بناءا على ذلك التوضيح منك ، ارجو شرح الجزء الاول من الحل

بسيطة أخي ،،،

الان نعلم أن باقي قسمة 9 على 7 هو 2 ، نعبر عن هذا الكلام بالصورة الرياضية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;9\equiv&space;2(mod&space;\&space;7)

الان من قوانين التطابقات يمكننا ان نقول التالي ( لكن بشرط يتضح لاحقا ) :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;9^n\equiv&space;2^n(mod&space;\&space;7)

لكن نطبق القانون بشرط أن ناخذ باقي قسمة 2^n على 7 ليصح القانون ،

فاذا قلنا أن n=2 فان الباقي يصبح 4 كما هو ، واذا قلنا أن n=3 الان يصبح الباقي 8 وهذا بالطبع غير ممكن ومنه باقي قسمة 8 على 7 يصير واحد ، ومنه أخذت النظام اللي شفته بالجواب ،،

طيب وش يصير لو كان العدد كبير جدا ؟

في أفكار معينة لتناولها وقوانين مثل نظرية اويلر ، نظرية فيرما الصغرى ، نظرية ويلسون ، وتصلح لمدى واسع من التطبيقات ،،

الان كحل للسؤال الاول نعلم أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;9\equiv&space;4(mod&space;\&space;5)

رياضيا نقدر نقول أن الباقي سالب واحد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;9\equiv&space;-1(mod&space;\&space;5)

وبالتالي :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;9^n\equiv&space;\left\{\begin{matrix}&space; 1(mod&space;\&space;5):n=2k,k=0,1,2,...&space;&&space;\\&space;-1(mod&space;\&space;5):n=2k+1,k=0,1,2,...&space;&&space;\end{matrix}\right.

وبالتالي تكون البواقي بشكل متتابع -1 و 1 وبالتالي مجموع البواقي 0 وبالتالي تقبل القسمة على 5