متباينات طايفية !

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ...

الحمد لله رجعنا من اسبوعين مجهدين من العمل هناك مع ذكريات لا تنسى واشخاص رايناهم واحببناهم وكانت من الايام التي لا تمحى من الذاكرة ابدا ...

المهم من عبق الطائف جبت كم متباينة حلوة علكم تحسون بالجو هناك :laughter01:

1- اذا علمت ان a,b,c اعداد حقيقة فأثبت ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{a^4+1}{a+b}+\frac{b^4+1}{b +c}+\frac{c^4+1}{c+a}\geq&space;a+b+c

2- اذا كان n عددا طبيعيا و a عدد حقيقي موجب فأثبت أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;a^n+n\geq&space;an+1

3- اذا علمت أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;a_1a_2...a_n=1 فأثبت أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\prod_{k=1}^{n}\left&space;(2+a_k&space;\rig ht&space;)\geq&space;3^n

[haay]

الحمد على السلامه

[مهند الزهراني]

:emot30_astonishe: :emot30_astonishe: :emot30_astonishe:

[Weierstrass-Casorati]

عليكم السلام ورحمة الله وبركاته
الحمد لله على السلامة
واضح أن الجو هناك كان رائع
وبعدين راجع من أولها متباينات
المتباينة الأخيرة :)
باستخدام AM-GM

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\overset{n\;%20terms} {\overbrace{\frac{2}{2+a_1}+\frac{2}{2+a_2}+....+\ frac{2}{2+a_n}}}\geq%20\frac{2n}{\sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\frac{a_1}{2+a_1}+\fr ac{a_2}{2+a_2}+....+\frac{a_n}{2+a_n}\geq%20\frac{ n\sqrt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n}}{\sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}}

بالجمع

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20n\geq%20\frac{n(2+\sq rt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n})}{\sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\sqrt[n]{(2+a_1)(2+a_2)....(2+a_n)}\geq%20(2+\sqrt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n})

برفع الطرفين للأس n

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20(2+a_1)(2+a_2)....(2+ a_n)\geq%20(2+\sqrt[n]{a_1\,a_2\,...\,a_n})^n

وبالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\prod_{k=1}^{n}(2+a_k )\geq%203^n

[مهند الزهراني]

صحيح ، لكن ليش هالتعقيد ؟

طيب اش رأيك لو اعتبرنا http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;2+a_i=1+1+a_i مو راح تنحل علطول ؟

[Weierstrass-Casorati]

صحيح ، لكن ليش هالتعقيد ؟

طيب اش رأيك لو اعتبرنا http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi&space;2+a_i=1+1+a_i مو راح تنحل علطول ؟

إيه صحيح معك حق ممكن تنحل ع طول

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20(2+a_i)=1+1+a_i\geq%203\sqrt[3]{a_i}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\prod_{k=1}^{n}(2+a_k)\geq%203 ^n\sqrt[3]{a_1%20a_2%20...a_k}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\prod_{k=1}^{n}(2+a_k)\geq%203 ^n

[مهند الزهراني]

يلا بقي اول سؤالين روعة وسهلين جدااااااااا

[Weierstrass-Casorati]

السؤال الأول أمره سهل لكن الثاني غريب :confused:

[Weierstrass-Casorati]

حاولت في الثانية وما عرفت، ممكن مساعدة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^n%20+%20\overset{n\,%20terms }{\overbrace{1+1+...+1}}\geq%20(n+1)\sqrt[n+1]{a^n}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^n%20+n\geq%20(n+1)a^{}\frac{ n}{n+1}
هيك صح ولا خطأ؟
:confused::confused::confused:

[Weierstrass-Casorati]

المتباينة الأولى
من AM-GM
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^4%20+1\geq%202a^2,\,\,\,b^4% 20+1\geq%202b^2,\,\,\,c^4%20+1\geq%202c^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\therefore%20\frac{a^4%20+1}{a +b}+\frac{b^4%20+1}{b+c}+\frac{c^4%20+1}{c+a}\geq% 202\left%20(%20\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\fr ac{c^2}{c+a}%20\right%20)

بتطبيق كوشي-شوارتز على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20(\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{c +a}),(\frac{a}{\sqrt{a+b}},\frac{b}{\sqrt{b+c}},\f rac{c}{\sqrt{c+a}})

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%202(a+b+c)\left%20(%20\frac{a^2} {a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}%20\right%20) \geq%20(a+b+c)^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%202\left%20(%20\frac{a^2}{a+b}+\ frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}%20\right%20)\geq%20 a+b+c

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\therefore%20\frac{a^4%20+1}{a +b}+\frac{b^4%20+1}{b+c}+\frac{c^4%20+1}{c+a}\geq% 20a+b+c

[الصادق]

حاولت في الثانية وما عرفت، ممكن مساعدة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^n%20+%20\overset{n\,%20terms }{\overbrace{1+1+...+1}}\geq%20(n+1)\sqrt[n+1]{a^n}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^n%20+n\geq%20(n+1)a^{}\frac{ n}{n+1}
هيك صح ولا خطأ؟
:confused::confused::confused:

كالعادة ..حلك رائع جداً اخي الكريم Weierstrass-Casorati

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^n%20+%20\overset{n-1\,%20\rm terms}{\overbrace{1+1+...+1}}\geq%20(n)\sqrt[n]{a^n}
http://latex.codecogs.com/png.latex?\120dpi&space;\\a^n+n-1\geq&space;na\\&space;a^n+n\geq&space;na+1

[مهند الزهراني]

المتباينة الأولى
من AM-GM
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^4%20+1\geq%202a^2,\,\,\,b^4% 20+1\geq%202b^2,\,\,\,c^4%20+1\geq%202c^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\therefore%20\frac{a^4%20+1}{a +b}+\frac{b^4%20+1}{b+c}+\frac{c^4%20+1}{c+a}\geq% 202\left%20(%20\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\fr ac{c^2}{c+a}%20\right%20)

بتطبيق كوشي-شوارتز على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20(\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{c +a}),(\frac{a}{\sqrt{a+b}},\frac{b}{\sqrt{b+c}},\f rac{c}{\sqrt{c+a}})

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%202(a+b+c)\left%20(%20\frac{a^2} {a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}%20\right%20) \geq%20(a+b+c)^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%202\left%20(%20\frac{a^2}{a+b}+\ frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}%20\right%20)\geq%20 a+b+c

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\therefore%20\frac{a^4%20+1}{a +b}+\frac{b^4%20+1}{b+c}+\frac{c^4%20+1}{c+a}\geq% 20a+b+c

:a_plain111::a_plain111::a_plain111:

[مهند الزهراني]

كالعادة ..حلك رائع جداً اخي الكريم Weierstrass-Casorati

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^n%20+%20\overset{n-1\,%20\rm terms}{\overbrace{1+1+...+1}}\geq%20(n)\sqrt[n]{a^n}
http://latex.codecogs.com/png.latex?\120dpi&space;\\a^n+n-1\geq&space;na\\&space;a^n+n\geq&space;na+1

:s_thumbup::s_thumbup:

وهي نفس فكرتي :s_thumbup:

هناك فكرة اخذتها من احد الزملاء وهي رائعة ايضا ، من خلال استخدام متباينة برنولي :)

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بصراحة الاسئلة فوق مستواي ولقد غشني كلام الاخ مهند عندما قال عنها انها سهلة

اريد ان اعرف ماذا يعنيه الرمز http://latex.codecogs.com/gif.latex?\300dpi&space;\prod

وما اللذي كان يقصده الاخ عندما كان يقول AM-GM

ولماذا لاتبدو المعادلات واضحة ( الصورة غير واضحة ) في بعض الاحيان

[نورة الشريف]

السلام عليكم لم يبقى سؤال لأجيب عليه ..

لكن شدني كلا الأخ " لا أعرف شيء " أولا كيف سوف نناديك بهذا اللقب ؟؟ اتمنى منك تغييره في أسرع وقت .. لماذا تلقي على نفسك كلمات تقلل من حماستك نحو التعلم .. كلنا لم نكن نفهم ويوما بيوم تعلمنا ..

أم عن سؤالك عن علامة الباي أعلاه فهي تدل علي الضرب المكرر أي مثل السيجما ولكن تختلف في ان السيجما علامة الجمع المكرر بينما الباي الضرب المكرر
أما عن am-gm فهي مجرد قوانين لحل المتباينة وهي من أشهر القوانين ومن أساسيات علم المتباينات وتستطيع معرفة المزيد عنها عبر موضوع الاخ مهند عافاه الله من خلال هذا الرابط وقد شرح فيه ببساطة ووضوح أعتقد أنه سوف يناسبك

http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=50910

والمعادلات جدا واضحة