what about AM-GM ?

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ...

نحاول من خلال هذا الموضوع البدأ بسلسلة جديدة متعلقة برياضيات الاولمبياد من افكار وقوانين وطرق حل جميلة ....

نبدأ بموضوع الح الكثيرون علي بشرحه وهي متباينة الوسطين الحسابي والهندسي المعممة وطبعا ترأس المطالبين والملحين الاخت بيان :) قلت اخرها خلاص بنزل الموضوع بس سيبوني :laughter01:

بداية سندرس الحالة الخاصة للمتباينة لمتغيرين ونتمرن عليها ومن ثم نعمم الى n عددا ...

بنهاية كل شرح راح احط تمارين وارجو رجاء شديدا ان المتمكن من الموضوع والاساتذة الموجودين هنا ان يكتفوا بالمشاهدة لأن الموضوع مخصص للمبتدئين في المتباينات وهو موضوع لا تعالجه مناهجنا للأسف ...


....................................

لنعرف الوسط الحسابي ( Arithmatic mean ) لعددين موجبين بالصورة التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;AM=\frac{a_1+a_2}{2}

وكذلك لنعرف الوسط الهندسي ( Geometric mean ) لعددين موجبين بالصورة التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;GM=\sqrt{a_1.a_2}

بكل بساطة تربط بين هذين الوسطين علاقة تباين تدعى اختصارا بـ AM-GM وهي كالتالي :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{a_1+a_2}{2}\geq&space;\sqrt{a_1. a_2}

ويحدث التساوي عندما تتساوى المتغيرات ، وهنا اشدد على كون الاعداد موجبة لانه شرط لتطبيق المتباينة ...

تعالوا الآن لنرى كيفية اثبات المتباينة السابقة ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{a_1+a_2}{2}\geq&space;\sqrt{a_1. a_2}\Leftrightarrow&space;a_1+a_2\geq&space;2\sqrt{a_1.a_2}\Le ftrightarrow&space;a_1-2\sqrt{a_1.a_2}+a_2\geq&space;0

الان لنلاحظ أن ما وصلنا اليه هو عبارة عن متطابقة مربع كامل اذا يكافئ

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;a_1-2\sqrt{a_1.a_2}+a_2\geq&space;0\Leftrightarrow&space;\left&space;(\s qrt{a_1}-\sqrt{a_2}&space;\right&space;)^2\geq&space;0

وهي صحيحة دائما لأن أي مربع كامل ضمن الاعداد الحقيقية موجب دائما ...

تعالوا لنأخذ أمثلة على متباينتنا الجميلة ...

مثال (1)

اذا علمت أن x,y اعداد موجبة واكبر من الصفر فأثبت أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq&space;2

الحل :-

تعالوا لنطبق المتباينة السابقة مباشرة وسنرى ماذا سينتج

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq&space;2.\s qrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{y}}=2

كما ترون انها مباشرة وسهلة وجميلة ولنحاول ان نعتاد على المتباينة بالصورة السابقة فبدلا من ان نكتب بكل مرة ان 2 بالمقام ومن ثم نضرب الطرفين ب2 بدلا من ذلك نستعمل الصورة السابقة ...

مثال(2)

لتكن x,y اعداد موجبة فأثبت أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq&space; \frac{2}{xy}
الحل:-

كذلك نطبق المتباينة مباشرة هنا

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq&space; 2.\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}

الان سنعرض تمارين بسيطة وافكارها سهلة نسبيا ، حاول ان تطبق المتباينة اكثر من مرة ومن ثم تجمع او تضرب حسب المتباينة بالسؤال ، ممكن تحط 15 مقدار وتحط واحد منهم بقوس والباقي بقوس فتصير كأنهم عددين فقط لتطبق ما درسته ...

باذن الله سننتظر منكم حلول التمارين وساضع الحلول بنفسي ان لم يتقدم احد للحل غدا باذن الله ...

وممكن نعطي ارشاد بسيط لحل التمرين لمن استعصى عليه الحل ...

وآخر شي نتمنى منكم دعوة بظهر الغيب بالهداية في هذا الشهر الكريم ...

التمارين :-

الاعداد في كافة التمارين التالية اعداد موجبة والمطلوب اثبات هذه المتباينات

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(1)&space;\&space;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\f rac{1}{z}\geq&space;\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{y z}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(2)&space;\&space;x^2+y^2+z^2\geq&space;x\sqrt{y^2 +z^2}+y\sqrt{x^2+z^2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(3)&space;\&space;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge q&space;\frac{4}{x+y}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(4)&space;\&space;\left&space;(&space;x+y&space;\right&space;)\left&space; (&space;y+z\right&space;)\left&space;(&space;x+z\right&space;)\geq&space;8xyz

ملاحظات :-

1- ياليت الحل يكتب باللاتيكس او بخط اليد

2- في البداية سيكون الطريق صعبا ومن ثم راح تصير المتباينات اسهل شي عندكم وهذا عن تجربة شخصية ...

والله الموفق ...

[misoon]

وأخيرآ :a_plain111::s_thumbup:

[مهند الزهراني]

اتمنى مشاركتك معنا اخت ميسون ...

مثال محلول ثالث للتوضيح اكثر ...

اثبت للأعداد الموجبة a,b,c ان المتباينة التالية متحققة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;a^2+b^2+c^2\geq&space;ab+bc+ac

الحل:-

تعالوا نطبق المتباينة لكل عنصرين معا

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{a^2+b^2}{2}\geq&space;\sqrt{a^2b ^2}=ab\Leftrightarrow&space;a^2+b^2\geq&space;2ab&space;\&space;\left&space;(&space;1\ right&space;)

وبالمثل مع باقي العناصر

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;c^2+b^2\geq&space;2cb&space;\&space;\left&space;(&space;2\righ t&space;)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;c^2+a^2\geq&space;2ca&space;\&space;\left&space;(&space;3\righ t&space;)

بجمع الثلاث متباينات والقسمة على 2 تنتج المتباينة المطلوبة ...

[misoon]

لي عودة ..

رح احل التمارين وارجع مع الحل ..

بس عندي سؤال : هل نثبت انها متتالية حسابية او هندسية وبس ولا مع النواتج ايضآ ؟!

[مهند الزهراني]

لي عودة ..

رح احل التمارين وارجع مع الحل ..

بس عندي سؤال : هل نثبت انها متتالية حسابية او هندسية وبس ولا مع النواتج ايضآ ؟!

اصلا مافي داعي للمتتاليات هنا ، طبقي فقط المتباينة الموجودة ، تحرري من قيود المناهج اللي عندك ...

[misoon]

أوك فهمت أستاذ ... جاري الحل ..

[Weierstrass-Casorati]

شكرا لك أخي مهند وجزيت خيرا على ما تقدمه أسأل الله أن يجعله في ميزان حسناتك

[نورة الشريف]

السلام عليكم ..

حلوة الأسئلة كبدااية لكن أتمنى منك أخ مهند أن توضح للأعضاء المتعلمين انه قبل البدء في حل المتباينة بطريقة ما قد يكون هنا بعض العمليات الجبرية التي تسهل لي عملية الحل وتعتبر مفتاحا له كما فس السؤالين الاخيرين أما السؤال الاول على سبيل المثال فلا يحتاج ..

[فرووحة]

رائع أ. مهند ,, الموضوع شدني كثييييييراً من عنوانهـ لأني كنت حابة فعلاً إني أتعلم هالمتباينات وكان هذا مرور سريع فقط لأطلع على الموضوع ويبدو أنه أكثر من رائع فشكراً لكـ وبوركت جهودك ,, صراحة ماحبيت أدخل بدون ما أعقب عالمجهود الرائع هذا ولكن لي عودة لأركز في الشرح أكثر وأحاول الحل معكم فلو سمحتو كرسيا محجوز بانضم للطلاب الي معكم ^^ ..
خالص تقديري .. فرووحة (=

[مهند الزهراني]

شكرا لك أخي مهند وجزيت خيرا على ما تقدمه أسأل الله أن يجعله في ميزان حسناتك

العفو :)

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ..

حلوة الأسئلة كبدااية لكن أتمنى منك أخ مهند أن توضح للأعضاء المتعلمين انه قبل البدء في حل المتباينة بطريقة ما قد يكون هنا بعض العمليات الجبرية التي تسهل لي عملية الحل وتعتبر مفتاحا له كما فس السؤالين الاخيرين أما السؤال الاول على سبيل المثال فلا يحتاج ..

:s_thumbup: :s_thumbup: :s_thumbup:

وممتاز جدا وجود احد اعضاء فريق الاولمبياد هنا ليصحح لي ان اخطات ويسهب في توضيح النقاط غير المفهومة ...

وياليت تبقي تتابعي مواضيعنا هنا باستمرار ...

[مهند الزهراني]

رائع أ. مهند ,, الموضوع شدني كثييييييراً من عنوانهـ لأني كنت حابة فعلاً إني أتعلم هالمتباينات وكان هذا مرور سريع فقط لأطلع على الموضوع ويبدو أنه أكثر من رائع فشكراً لكـ وبوركت جهودك ,, صراحة ماحبيت أدخل بدون ما أعقب عالمجهود الرائع هذا ولكن لي عودة لأركز في الشرح أكثر وأحاول الحل معكم فلو سمحتو كرسيا محجوز بانضم للطلاب الي معكم ^^ ..
خالص تقديري .. فرووحة (=

بسيطة باذن الله تتعلميها وبسرعة وراح تلاقيها بسيطة باذن الله ...

[لا اعرف شيئ]

حاولت

[لا اعرف شيئ]

كمان حاولت

[مهند الزهراني]

حاولت

رائع جدا ، يبدو انك فهمته جيدا ولله الحمد ...

[مهند الزهراني]

كمان حاولت

حل الثالث صحيح اما الرابع فهو للأسف خاطئ ، انت نسيت الجذر التربيعي لما طبقت الثلاث متباينات ، وكمان فيه استخدام خاطئ لعملية التعدي ، حاول مرة ثانية ...

[لا اعرف شيئ]

اشكرك اخي مهند والله حب الرياضيات يزداد في قلبي والفضل هو مواضيعك اشكرك من اعماق قلبي

ارجو الاستمرار في تقديم مثل هذه المواضيع

[مهند الزهراني]

اشكرك اخي مهند والله حب الرياضيات يزداد في قلبي والفضل هو مواضيعك اشكرك من اعماق قلبي

ارجو الاستمرار في تقديم مثل هذه المواضيع

وان شاء الله يزيد حبك لها معنا هنا باذن الله ,,,

سنكمل باذن الله الموضوع الليلة ..

[دلع بنوته]

هذا حلي
بس الفقرة 3 ما عرفت أحلها بالستخدام AM-GM
><
1
http://up.arab-x.com/Aug10/klB12129.jpg

2
http://up.arab-x.com/Aug10/SGc12129.jpg

4
http://up.arab-x.com/Aug10/mnj12129.jpg


مهند الله يعطييك ألف عااااافية
شكرا لك :)
بس ممكن تعطينا مسائل زيادة عنهم :)
أحس اني لسة ما أتقنتها تماام
>يمكن أتأخر في حلهم الين بعد رمضان =)

[مهند الزهراني]

هذا حلي
بس الفقرة 3 ما عرفت أحلها بالستخدام AM-GM
><
1
http://up.arab-x.com/Aug10/klB12129.jpg

2
http://up.arab-x.com/Aug10/SGc12129.jpg

4
http://up.arab-x.com/Aug10/mnj12129.jpg


مهند الله يعطييك ألف عااااافية
شكرا لك :)
بس ممكن تعطينا مسائل زيادة عنهم :)
أحس اني لسة ما أتقنتها تماام
>يمكن أتأخر في حلهم الين بعد رمضان =)

تمام تمام عليك رااائعة بس بقي سؤال واحد فكري فيه ، ممكن تسوي كم عملية جبرية عشان توصلي لصورة مناسبة للحل ...

وان شاء الله التمارين بتجي زي الرز باقي قدامنا تمارين كثير لين ما تتمكني كويس ...

[دلع بنوته]

الفقرة الثالثة عرفت أحلها بواسطة العمليات الجربية ..مو باستخدام AM-GM
اذا حليتها بـ AM-Gm يطلع لي الناتج 2 \ جذر س ص
مو 4 \ س +ص
!

شكرا مهند :)

[مهند الزهراني]

مو لازم كذا تسوي كم حركة يعني مو لازم يطلع لك الجواب مباشرة ...

[نورة الشريف]

:s_thumbup: :s_thumbup: :s_thumbup:

وممتاز جدا وجود احد اعضاء فريق الاولمبياد هنا ليصحح لي ان اخطات ويسهب في توضيح النقاط غير المفهومة ...

وياليت تبقي تتابعي مواضيعنا هنا باستمرار ...

ان شااء الله راح أستمر بإذن الله .. لأن متأكدة اني راح أستفيد وان شااء الله أفيد

[دلع بنوته]

حليتها
نسيت فقرة ما كتبتها
2 جذر 4 \ س + ص
2 × 2 \ س + ص = 4 \ س + ص

http://up.arab-x.com/Aug10/ZBL40660.jpg

؟؟
كيف ؟ صح ولا ؟

[مهند الزهراني]

مو انتي يا بيان رجعتي المتباينة لنفسها كذا وما سويتي شي ولا تنسي ان المقادير اللي استخدمتيها متساوية ومعناها هذي حالة تحقق للتساوي والطرفين هم نفسهم ...

مممممـ حاولي احس انك بتجيبي الحل ...

ترا اول ما تدربت متباينات شفت تقريبا 4 طرق مختلفة لحلها ...

طيب بعطيك Hint

اشتغلي على هذي المتباينة شوي وبتوصلي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;x&plus;y\geq&space;2\sqrt{xy}

سوي كم حركة تربيع و.......

والباقي عليك !!!

[دلع بنوته]

ايه جربت و ربعت
بس بعدين قلت لا مستحيل لأنو بعدين بيصير الناتج هو عبارة عن س^2 + ص^2 مو س + ص
!!

[مهند الزهراني]

لا تفكري كذا

بعد ما تربعي الطرفين اضربي بالمقدار x+y مقسوما على xy بس لا تفكي الاقواس وشوفي وش بيطلع لك ...

وهذا هنت لحل ثاني

اضربي الطرفين في x+y والباقي عليك !!

[مهند الزهراني]

وهذا احد حلول السؤال ...

نوحد المقامات ونضرب الطرفين في http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;xy(x&plus;y) وبالتالي تصبح العلاقة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(x&plus;y)^2\geq&space;4xy وهي صحيحة من AM-GM بعد اخذ الجذر التربيعي للطرفين ...

التمارين الجديدة ...

الاعداد بكافة التمارين التالية موجبة والمطلوب اثبات هذه المتباينات

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(1)&space;\&space;\sqrt{x&plus;\frac{1}{y}}&plus;\sqrt {y&plus;\frac{1}{x}}\geq&space;2\sqrt{2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(2)&space;\&space;if&space;\&space;x&plus;y=1&space;\&space;prove&space;\&space;\left &space;(1&plus;\frac{1}{x}&space;\right&space;)\left&space;(&space;1&plus;\frac{1}{y}&space;\rig ht&space;)\geq&space;9


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(3)\frac{x^2&plus;2}{\sqrt{x^2&plus;1}}\ge q&space;2

أثبت باستخدام متباينة الوسط الحسابي - الهندسي لمتغيرين فقط المتباينة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(4)&space;\&space;\frac{a&plus;b&plus;c&plus;d}{4}\geq&space;\sqr t[4]{abcd}

[مهند الزهراني]

وهذا تمرين بفكرة رااااااائعة

وقبل ما اكتبه ترا في المتباينات يمديك تعوض عن المتغيرات باشياء تستفيد منها يعني ممكن تستبدل x بمقلوبها او بقوس فيه مقدار معين وزي كذا ...

المهم التمرين يقول اثبت هذه المتباينة بخطوة واحدة فقط

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sqrt{ab}\geq&space;\frac{2}{\frac{1}{ a}&plus;\frac{1}{b}}

[نورة الشريف]

مرحبااآآ ••
شكر مقدم لك أخ مهند ,, أسئلة رائعة وبسيطة
http://up.q8ia.com/out.php/i33284_.jpg

ممكن الحل ما يكون مفصل تفصيل دقيق بس يفي بالغرض ..

وأتوقع فيه طريقة ثانية للحل :a_plain111:

[نورة الشريف]

سلاام }}
حل السؤال الثاني :
http://up.q8ia.com/out.php/i33309_.jpg

ما تأكدت من صحته بس انشاء الله يكون صح

[دلع بنوته]

السؤال الأول حليته وبنزل الحل الليلة ان شاء الله ان مداني الوقت
و بحاولأكمل حل الأسئلة الباقي
الثالثة والرابعة لسة ما توصلت لناتج نهائي .. والثانية لسة مافكت فيها =)

.......
أختي نوة الشريف
أين تطبي القاعدة؟
انتي كذا حيتيها بس بدون تطبيق AM-GM ؟

[نورة الشريف]

لا حليتها بـ am - gm بس لأني أترك خطوات كثير أحس مالها داعي
فما توضح المتباينة ..

اذا حليتيها راح تشوفين خطواتي نفس خطواتك

[نورة الشريف]

الحل للسؤال الثالث ..
http://up.q8ia.com/out.php/i33312_.jpg

لكن لم أجد لها حل بالـ am _ gm

[نورة الشريف]

السؤال الرابع هو يمثل الـ am - gm بعينها .. ما الكطلوب منه ولم أفهم قصدك أخ مهند بالمتغيرين ياليت توضح السؤال

[نورة الشريف]

قصدك ان نعتبر 4/ a+b العدد الاول والثاني هو : 4/c+d

اذا كانت هذي فهي مرة سهلة =)

[دلع بنوته]

السؤال الأخير
أنا سويت كذا
قسمتها مثل الاخت نورة
لكن ما وصلت للجذر الرابع !

[فرووحة]

ماشاءالله شادين حيلكم ,, الله معاكمـ وبالتوفيق .. نفسي أحل معاكم بس مشغوووووووووووووولة أتمنى أفضى بأسرع وقت وأبدأ من الصفر وبحل كل التمارين إن شاءالله >> ماشفت ولا حل قبل لا أحل أنا ^^ // أشكرك مهند مرة ثانية جزييييييييييييييييييييييييييييييييييييل الشكر ,, استمرو ^^

[دلع بنوته]

وهذا تمرين بفكرة رااااااائعة

وقبل ما اكتبه ترا في المتباينات يمديك تعوض عن المتغيرات باشياء تستفيد منها يعني ممكن تستبدل x بمقلوبها او بقوس فيه مقدار معين وزي كذا ...

المهم التمرين يقول اثبت هذه المتباينة بخطوة واحدة فقط

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sqrt{ab}\geq&space;\frac{1}{\frac{1}{ a}&plus;\frac{1}{b}}

يطلع لي 2 جذر ab
!!

[مهند الزهراني]

مرحبااآآ ••
شكر مقدم لك أخ مهند ,, أسئلة رائعة وبسيطة
http://up.q8ia.com/out.php/i33284_.jpg

ممكن الحل ما يكون مفصل تفصيل دقيق بس يفي بالغرض ..

وأتوقع فيه طريقة ثانية للحل :a_plain111:

طيب شرايك لو قلت لك انك وقعتي بالفخ ؟

انا ابي اثباتها باستخدام AM-GM لمتغيرين بس

[مهند الزهراني]

سلاام }}
حل السؤال الثاني :
http://up.q8ia.com/out.php/i33309_.jpg

ما تأكدت من صحته بس انشاء الله يكون صح

للأسف ما قدرت افهم الحل ...

[مهند الزهراني]

السؤال الرابع هو يمثل الـ am - gm بعينها .. ما الكطلوب منه ولم أفهم قصدك أخ مهند بالمتغيرين ياليت توضح السؤال

هو السؤال اثبات AM-GM لأربعة متغيرات يعني حالة خاصة من الحالة العامة طيب انا ابيك تثبتيها باستخدام الحالة الخاصة لما n=2 وهذا قصدي ...

[مهند الزهراني]

الحل للسؤال الثالث ..
http://up.q8ia.com/out.php/i33312_.jpg

لكن لم أجد لها حل بالـ am _ gm

فكري كذا شوي وبتوصلي لحلها بمتباينة الوسطين ...

[مهند الزهراني]

قصدك ان نعتبر 4/ a+b العدد الاول والثاني هو : 4/c+d

اذا كانت هذي فهي مرة سهلة =)

ممممممـ مو هذي الفكرة

فكري باستخراج عامل مشترك ومن ثم قسمي والباقي سهل !!!

[مهند الزهراني]

يطلع لي 2 جذر ab
!!

اسف اسف اااسف كان عندي غلط بالسؤال

بعدله الحين بس حطي حلك ( بخطوة وحدة بس )

[مهند الزهراني]

تعديل السؤال الاخير

اثبت المتباينة التالية بخطوة وحدة بس

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sqrt{ab}\geq&space;\frac{2}{\frac{1}{ a}&plus;\frac{1}{b}}

[نورة الشريف]

عندما كتبت لم أجد لها حل بالوسطين ..

حقيقة لم أحاول بل مجرد نظرة وتوقع ..

ولما حاولت وجدت لها الحل وهي سهلة جدا ويعتبر الحل الثالث لنفس المسألة :
http://up.q8ia.com/out.php/i33319_.jpg

[مهند الزهراني]

عندما كتبت لم أجد لها حل بالوسطين ..

حقيقة لم أحاول بل مجرد نظرة وتوقع ..

ولما حاولت وجدت لها الحل وهي سهلة جدا ويعتبر الحل الثالث لنفس المسألة :
http://up.q8ia.com/out.php/i33319_.jpg

صحيح ...

طيب عندي فكرة تخلي لك الحل اسهل ما يمكن ...

اش رأيك لو افترضتي ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;x^2&plus;1=y مو راح تصير مباشرة تماما ؟

[دلع بنوته]

يعني لو ربعنا و أثبتنا بعد التربيع عاااااااادي ؟؟؟!!!

[نورة الشريف]

طيب شرايك لو قلت لك انك وقعتي بالفخ ؟

انا ابي اثباتها باستخدام AM-GM لمتغيرين بس

ما أعتقد اني وقعت في فخ ولا شيء الجواب صحيح .. ماطلبت انت بمتغيرين وبما انك ما طلبت يحق لي أحلها بالطريقة اللي أبيها مادامت صحيحة ,, رااح أشوفها بمتغيرين ..

دقايق ويكون الحل اللي تبيه جااهز
بس الكتابة بتاخذ وقت

[مهند الزهراني]

يعني لو ربعنا و أثبتنا بعد التربيع عاااااااادي ؟؟؟!!!

ما عندك اي مشكلة اشتغلي جبر عادي وبعدين ممكن تستخدمي AM-GM ..

وعلى فكرة دائما كل المتباينات المتقدمة اي بعد هالمرحلة تستخدم طرق جبرية ومن ثم تستخدمي المتباينة ..

[نورة الشريف]

صحيح ...

طيب عندي فكرة تخلي لك الحل اسهل ما يمكن ...

اش رأيك لو افترضتي ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;x^2&plus;1=y مو راح تصير مباشرة تماما ؟
ايه سويتها ما افترضتها y افترضتها m لكن نفس الطريقة .. أخوي شوف حلي السابق شكلك ما انتبهت له

[مهند الزهراني]

ما أعتقد اني وقعت في فخ ولا شيء الجواب صحيح .. ماطلبت انت بمتغيرين وبما انك ما طلبت يحق لي أحلها بالطريقة اللي أبيها مادامت صحيحة ,, رااح أشوفها بمتغيرين ..

دقايق ويكون الحل اللي تبيه جااهز
بس الكتابة بتاخذ وقت

لالالا شكلك ما فهمتيني كويس حلك لا غبار عليه ، لكن اقصد اننا نمشي مع المجموعة وما نتقدم عليهم ..

ولا لو فكرتي راح تلاقي كثير من المتباينات اللي حطيتها ممكن تنحل مثلا باستخدام كوشي - شوارتز ..

[نورة الشريف]

للأسف ما قدرت افهم الحل ...

خلاص راح أكتبه بالتفصيل ان شااء الله

[مهند الزهراني]

تمام عليك ، معليش مع الاستعجال ما انتبهت الا للجزء الاول ..

[نورة الشريف]

لالالا شكلك ما فهمتيني كويس حلك لا غبار عليه ، لكن اقصد اننا نمشي مع المجموعة وما نتقدم عليهم ..

ولا لو فكرتي راح تلاقي كثير من المتباينات اللي حطيتها ممكن تنحل مثلا باستخدام كوشي - شوارتز ..
شوف اللي حليتها باستخدام الوسطين يعني ما طلعت عن اطار الموضوع وللا لو على كذا أكيد رااح نلقى حلول أكثر باستخدام متباينات أخرى ..

أخ مهند يعني في البداية تبي تعلمهم كيف يحلو على أساس متغيرين بس .. طيب هي نفسها ما تغير شي
عالعموم انت أخبر باللي درستهم .. رااح أحلها بمتغيرين ..

[نورة الشريف]

تمام عليك ، معليش مع الاستعجال ما انتبهت الا للجزء الاول ..

نو بروبلم .. " أن تحل مسألة بعشر طرق خير من أن تحل عشر مسائل "
أخ مهند من تذكرك فيه هالمقولة ؟؟ اذا كانت ذاكرتك قوية بتجيبها !!

[مهند الزهراني]

شوف اللي حليتها باستخدام الوسطين يعني ما طلعت عن اطار الموضوع وللا لو على كذا أكيد رااح نلقى حلول أكثر باستخدام متباينات أخرى ..

أخ مهند يعني في البداية تبي تعلمهم كيف يحلو على أساس متغيرين بس .. طيب هي نفسها ما تغير شي
عالعموم انت أخبر باللي درستهم .. رااح أحلها بمتغيرين ..

الفرق يا طويلة العمر ان ترا حتى المعممة مع اللي اخذتيه بالطائف تكون صعبة مو بسهلة !!!

اقصد لأنه بمتغيرين راح نحد طرق الحل وكمان راعي انتي الموضوع مألوف بالنسبة لك وموب بجديد لكن لغيرك اول مرة يشوف مثل هالمواضيع تماما فعشان كذا ...

ولما نتقدم باذن الله راح تشوفي متباينات فيها تحديات جميلة ...

[مهند الزهراني]

نو بروبلم .. " أن تحل مسألة بعشر طرق خير من أن تحل عشر مسائل "
أخ مهند من تذكرك فيه هالمقولة ؟؟ اذا كانت ذاكرتك قوية بتجيبها !!

اذا كا قالها الدكتور الجوعي يقولها مين ؟ :)

[مهند الزهراني]

وعلى فكرة لو شفتي اثبات AM-GM بواسطة كوشي " استقراء كوشي " راح تعرفي انه عممها في اول خطوات الاثبات لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;2^n وبذلك ممكن نستخدم حالة المتغيرين للوصول منها لقيم معينة بشرط ان تكون قوى ل2 باستخدام الحالة الاساسية ..

[نورة الشريف]

الفرق يا طويلة العمر ان ترا حتى المعممة مع اللي اخذتيه بالطائف تكون صعبة مو بسهلة !!!

اقصد لأنه بمتغيرين راح نحد طرق الحل وكمان راعي انتي الموضوع مألوف بالنسبة لك وموب بجديد لكن لغيرك اول مرة يشوف مثل هالمواضيع تماما فعشان كذا ...

ولما نتقدم باذن الله راح تشوفي متباينات فيها تحديات جميلة ...

ما أدري بس أحس انها مع متغيرات أكثر أسهل .. " اختلاف وجهات نظر " بس اتوقع معك حق
لأني الصعب عندي سهل والسهل عندي صعب مو صااحية ..

[نورة الشريف]

اذا كا قالها الدكتور الجوعي يقولها مين ؟ :)

بطل :s_thumbup:

[نورة الشريف]

وعلى فكرة لو شفتي اثبات AM-GM بواسطة كوشي " استقراء كوشي " راح تعرفي انه عممها في اول خطوات الاثبات لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;2^n وبذلك ممكن نستخدم حالة المتغيرين للوصول منها لقيم معينة بشرط ان تكون قوى ل2 باستخدام الحالة الاساسية ..

كلاام صحيح وما في أدنى شك ..
كنت أحسب انك شارح كل شي لهم يعني يوم شفت التفاعل عبالي انهم فاهمين
خاصة اني ما قريت الشرح عشان أعرف
شكراا عالمنااقشة

[نورة الشريف]

تعديل السؤال الاخير

اثبت المتباينة التالية بخطوة وحدة بس

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sqrt{ab}\geq&space;\frac{2}{\frac{1}{ a}&plus;\frac{1}{b}}

سهلة مرررة ..
فعلا بخطووة وااحدة :
http://up.q8ia.com/out.php/i33355_mjk.jpg

[دلع بنوته]

عذرا الحلول سريعة جدا جدااا >على فكرة هذا الحل الأصلي اللي حليته
و لم يسعفني الوقت أني أكتبهم بالحبر أو أرتبهم
>ترى مكتوبين بالرصااص بس دخلتهم بالسكنر وصاروا مو واضحين وعدلت على الألوان على خفيف يعني بالفوتوشوب

المهم
هذا حل السؤال الأخير
http://up.arab-x.com/Aug10/a5C40966.jpg
في البداية حليته مثل الأخت نورة ..لكن الوقت وما يسوي
حاولت أدور حل آخر ..لقيت حل آخر ولكن بخطوتين
الأولى هي الرفع للأس -1 وبعدين راح تنعكس علامة التباين
و الخطوب الثانية ضرب الطرفين في العدد 2 و بس

........
وهذا حل السؤال الأول و الثاني
http://up.arab-x.com/Aug10/HSS40966.jpg

الله يعينك مو واضح و زحمة ووو
المهم يفي بالغرض

باقي الثالث والرابع لسة ما توصلت لحل

شكرا مهند :)

[دلع بنوته]

في حل السؤال الأخير
في السطر الثاني بتشوف على اليسار علامة × مو واضحة مرة و في جنبها شي
هذي ×2 بس ما وضحت لأنها بالرصاص
وفي نفس الخطوة المقام ما قبل التباين فيه قسمة على 2
وبس الباقي واضح
=)

[دلع بنوته]

حل التمرين الثالث


http://up.arab-x.com/Aug10/fAK79771.jpg (http://up.arab-x.com/)

باقي لي بس التمرين الرابع
=)

[نورة الشريف]

عذرا الحلول سريعة جدا جدااا
د :)
فعلا حليته بسرعة وما عطيت غيري فرصة .. عشاان كذا ماراح أكتب مرة ثاانية انشااء الله
ورااح أروح لمواضيع ثانية فيها صعووبة .. مشكووورة على صرااحتك :a_plain111:

[دلع بنوته]

لااااااااااا

وربي مووقصدي كذااااااا

قصدي أني أنا حلييت المسائل ع السريع ولسة مافكرت فيهم كويس ولا حاولت أجيب حل ثاني لهم
وربي موكذا قصدي

آسفة ..:)

بس أنا مستعجلة اليوم وما عندي وقت فـ أجي أكتب كلمة و اطلع و امسك الورقة أحل شي ع السرييع وانزله واقووم
ههههههه

حلوولك رائعة ..ننتظر بقية حلولك هنا =)

[نورة الشريف]

لااااااااااا

وربي مووقصدي كذااااااا

قصدي أني أنا حلييت المسائل ع السريع ولسة مافكرت فيهم كويس ولا حاولت أجيب حل ثاني لهم
وربي موكذا قصدي

آسفة ..:)

بس أنا مستعجلة اليوم وما عندي وقت فـ أجي أكتب كلمة و اطلع و امسك الورقة أحل شي ع السرييع وانزله واقووم
ههههههه

حلوولك رائعة ..ننتظر بقية حلولك هنا =)

تسلمين حبيبتي وسوري لأني فهمتك غلط بس على كل أنا ناوية أخلي الموضوع لكم لأن هالاشياء دارستها وفاهمتها فالاحق لكم انتوا وأبدا لا تتوقعين اني اذا طلعت بيكون بسببك لأن هذا اللي انا ناويته من قبل ما اقرا ردك ..
ولو فيه شيء ما فهمته ماراح اتردد ادخل واسأل او أحاول أجااوب ..

تحيتي :)

[دلع بنوته]

شكرا لتفهمتك أختي العزيزة =)

بس ارجوك تابعي حل الأسئلة خاصة في الفترة الجاية
لأني ماراح أكون موجودة
والحماس صاير حلو و ما ودي يخترب الحمااس
=)

[مهند الزهراني]

سهلة مرررة ..
فعلا بخطووة وااحدة :
http://up.q8ia.com/out.php/i33355_mjk.jpg

:s_thumbup: :s_thumbup: :s_thumbup:

[مهند الزهراني]

عذرا الحلول سريعة جدا جدااا >على فكرة هذا الحل الأصلي اللي حليته
و لم يسعفني الوقت أني أكتبهم بالحبر أو أرتبهم
>ترى مكتوبين بالرصااص بس دخلتهم بالسكنر وصاروا مو واضحين وعدلت على الألوان على خفيف يعني بالفوتوشوب

المهم
هذا حل السؤال الأخير
http://up.arab-x.com/Aug10/a5C40966.jpg
في البداية حليته مثل الأخت نورة ..لكن الوقت وما يسوي
حاولت أدور حل آخر ..لقيت حل آخر ولكن بخطوتين
الأولى هي الرفع للأس -1 وبعدين راح تنعكس علامة التباين
و الخطوب الثانية ضرب الطرفين في العدد 2 و بس

........
وهذا حل السؤال الأول و الثاني
http://up.arab-x.com/Aug10/HSS40966.jpg

الله يعينك مو واضح و زحمة ووو
المهم يفي بالغرض

باقي الثالث والرابع لسة ما توصلت لحل

شكرا مهند :)

الاخير واضح ومضبوط ...

للأسف الاول والثاني ما قدرت افهم الحل ابدا ...

[مهند الزهراني]

حل التمرين الثالث


http://up.arab-x.com/Aug10/fAK79771.jpg (http://up.arab-x.com/)

باقي لي بس التمرين الرابع
=)

رااااااااائعة :s_thumbup:

[مهند الزهراني]

تمارين جديدة لاكمال الموضوع ...

تمرينين وبحاول ابحث عن تمارين جديدة وبعدها ننتقل للصورة المعممة للمتباينة باذن الله عزوجل ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(1&space;\right&space;)&space;\&space;x^4&plus;y^4&plus;8\ge q&space;8xy

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(2&space;\right&space;)&space;\&space;\left&space;(&space;\fra c{1}{a}&plus;\frac{1}{b}&space;\right&space;)\left&space;(&space;a&plus;b&space;\right&space;)\g eq&space;4

[نورة الشريف]

السلام عليكم .. اعتقد ان المسألة الاولى فكرتها جعل الطرف الايسر كهذا :
(x+4)+(y+4) ...على شكل متغيرين ويبدو ان هناك حلا اخر ايضا بمتغيرين,, كما وجدت لها حل جدا بسيط بالمعممة ويعتمد على انه لو جعلناهل اربعة حدود x+y+4+4 وسيظهر الحل بشكل مباشر وبسيط ..

*أما السؤال الثاني : بالمتغيرين سيكون الحل معتمدا على أن نفك القوسي لنحصل على عملية جمع حتى نستطيع تحقيق الam و وبعد الفك نضيف -2 الى كلا الطرفين ونطبق الوسطين الذي سيكون مباشرا وواضحا جدا ..
وكذلك تحل بالمعممة : لو اعتبرناها أربعة حدود بعد الفك طبعا .. وهي : 1+1+(a\b) +( b\a) وحينها سيكون العدد تحت الجذر حاصل ضربهم والذي يعطيني واحد .. جدا وااضحة وبسيطة ..

سأترك التفصيل لأعضاء منتدانا الغالي ...

أشكرك مهند على هذه التماارين .. وسعدت كذلك بأنك أخيرا قررت شرح المعممة التي سوف تحل مشااكل كثيرة .. ووفقك الله ..

تحيتي .. نورة ..

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم

السؤال الاول

[لا اعرف شيئ]

السؤال الثاني

[دقدقه]

لقد مات الموضوع .. =(

[مهند الزهراني]

تم اكمال الشرح هنا

http://www.yzeeed.com/vb/showthread.php?t=110832