Titu Lemma

[مهند الزهراني]

بسم الله الرحمن الرحيم ...

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

ربما جوع ما قبل الافطار اوقد بذهني فكرة هذا الموضوع :laughter01:

عموما ما يعرف بتمهيدية تيتو او حقيقة تيتو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;T_2&space;\&space;\textrm{Lemma} ليست سوى شكل آخر عملي جدا من متباينة كوشي - شوارتز ، ويعود الفضل لتيتو في ابراز أهمية تلك المتباينة وهذا في كتابه http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;Mathematicl&space;\&space;Olympiad&space;\&space;Treasur es ، علما بأن هذا المسمى لم يكن موجودا بالكتب القديمة...

.................................................. .....................................


رياضيا ، متباينة كوشي - بنجاكوفسكي - شوارتز هي تنص على أنه للأعداد الحقيقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;a_1,a_2,...,a_n&space;\&space;\&space;\&space;\&space;b_1,b_2, ...,b_n فان المتباينة التالية متحققة دائما

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(&space;a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\ri ght&space;)\left&space;(&space;b_1^2+b_2^2+...+b_n^2&space;\right&space;)\geq&space;\l eft&space;(&space;a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n&space;\right&space;)^2

الآن لنختر التعويض التالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;a_i=\frac{x_i}{y_i},b_i=y_i

ومنه تصبح المتباينة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(&space;\frac{x_1^2}{y_1^2}+\fra c{x_2^2}{y_2^2}+...+\frac{x_n^2}{y_n^2}&space;\right&space;)\l eft&space;(&space;y_1^2+y_2^2+...+y_n^2&space;\right&space;)\geq&space;\left&space;(&space;x _1+x_2+...+x_n&space;\right&space;)^2

وبقسمة الطرفين على http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;y_1^2+y_2^2+...+y_n^2 لا تتغير اشارة المتباينة لأن المقدار موجب وبالتالي تصبح المتباينة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(&space;\frac{x_1^2}{y_1^2}+\fra c{x_2^2}{y_2^2}+...+\frac{x_n^2}{y_n^2}&space;\right&space;)\g eq&space;\frac{\left&space;(&space;x_1+x_2+...+x_n&space;\right&space;)^2}{y_1^2 +y_2^2+...+y_n^2}&space;\&space;\left&space;(&space;T_2&space;\&space;\textrm{Lemma}\r ight&space;)

وهي الصورة النهائية لحقيقة تيتو ...

مع مراعاة أنه يشترط ان تكون الاعداد بالمقام موجبة ...

وربما نلتقي مرة أخرى مع تمارين على الموضوع ...

ودمتم ،،،

[نورة الشريف]

شكرا على هذا الشرح الوافي فيما يتعلق في كل من حقيقة تيتو ومتباينة كوشي .. والتي تعتبر الحل الاسهل لكثير من المتباينات .. كذلك انه في بعض المتباينات نحتاج الى كل من am - gm ولكي نكمل نحتاج الى تيتو لذلك هي في النهاية متباينات تكمل بعضها أو تكتفي بذاتها ..

أشكرك على هذا الموضوع الرائع والذي هو حقيقة مفيد ..

[Weierstrass-Casorati]

شكرا جزيلا لك أخي مهند على الموضوع المتميز
وبورك في جوع ما قبل الإفطار الذي يوقد في الذهن مثل هذه الأفكار
ننتظر المزيد من هذه المتباينات الرائعة

[مهند الزهراني]

تماااااااااااااارين

الاعداد بكافة التمارين التالية موجبة والمطلوب اثبات هذه المتباينات

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(1&space;\right&space;)&space;\&space;\frac{2}{a+b }+\frac{2}{c+a}+\frac{2}{b+c}\geq&space;\frac{9}{a+b+ c}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(2&space;\right&space;)&space;\&space;8\left&space;(a^4+ b^4&space;\right&space;)\geq&space;\left&space;(&space;a+b\right&space;)^4

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(3&space;\right&space;)&space;\frac{x}{ay+bz }+\frac{y}{ax+bz}+\frac{z}{ax+by}\geq&space;\frac{3}{a+b }

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left&space;(4&space;\right&space;)&space;\&space;\frac{a^2+b^ 2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge q&space;a+b+c

هناك تمارين أخرى لكن نكتفي بالموجود ، بالتوفيق ...

[Weierstrass-Casorati]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\\%20{\color{red}%20(1)}\,%20\f rac{2}{a+b}+\frac{2}{c+a}+\frac{2}{b+c}\geq%20\fra c{(3\sqrt{2})^2}{2(a+b+c)}=\frac{9}{a+b+c}\\%20\\% 20\\%20{\color{red}%20(2)}\,a^2+b^2\geq%20\frac{(a +b)^2}{2}\Rightarrow%20(a^2+b^2)^2%20\geq\frac{(a+ b)^4}{4}\\%20\\%20a^4+b^4\geq\frac{(a^2+b^2)^2}{2} \\%20\\%20a^4+b^4\geq%20\frac{(a+b)^4}{8}\\%20\\%2 08\left&space;(a^4+b^4&space;\right&space;)\geq&space;\left&space;(&space;a+b\right&space;)^ 4%20\\%20\\%20{\color{red}%20(4)}\frac{a^2}{a+b}+\ frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq%20\frac{(a+b+c) ^2}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}(a+b+c)...(1)\\%20\\%20\f rac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\geq% 20\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}(a+b+c)... (2)\\%20\\%20(1)+(2)\Rightarrow%20\frac{a^2+b^2}{a +b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\geq&space;a+ b+c

[مهند الزهراني]

رائع وهناك تمارين أخرى سأضعها غدا باذنه عزوجل ...

[نورة الشريف]

السلاام عليكم .. ما شاء الله كل شي حله ابرااهيم يعني ما في شي باقي احله ..
بس السؤال الاول له بعد طريقة ثانية ,, اسفة راح اكتب عادي بدون ليتك فتحمل أخوي مهند ..
a^4 + b^4 >( a^2 + b^2)^2
وبعد كذا ..
= (2 / { 2/ 2^(a+b)} < الطرف الايمن ..
8/{ 4^(a+b) }=
}{ ihهاذان القوسان أقصد بهما شاملان لكل الكسر ^^
أتأسف على كتابتي السيئة ..

[لا اعرف شيئ]

طيب ماهو حل السؤال الثالث بصراحة تعذبت كثيرا ولم اجد له حل

[Weierstrass-Casorati]

صحيح السؤال الثالث أصعبهم وما عرفت أحله بـ Titu's lemma فقط لكن استخدمت AM-GM

باستخدام حقيقة أن

http://dc07.arabsh.com/i/01960/ypt1hfx8xtni.png

ويمكن اثباتها بتطبيق AM-GM
http://dc10.arabsh.com/i/01960/6669jejex6fc.png

وبالجمع
http://dc07.arabsh.com/i/01960/wn9ayldxlker.png

وبالتالي

http://dc04.arabsh.com/i/01960/qlah3uokr2pw.png

وبتطبيق Titu's Lemma
http://dc02.arabsh.com/i/01960/nl6zn80atodv.png

[الهَياء]

.
.

بآرك الله في جهودك مُهند ~

.
.

[لودي*]

بورك فيكم

وكثر الله من أمثالكم

[إشراقة]

بارك الله فيك أخي مهند..

ياااليت لو تكمل الموضوع ...بارك الله فيك...
.
.
.
لكم الشكر

[نورة الشريف]

اختي اشراقة .. أخونا مهند الحين عنده كورس بالرياضيات , فصعب يكمل الموضوع ,, دعواتنا له بالتوفيق ..

[زولديك]

الله يوفقه و ييسر أمره

[إشراقة]

اختي اشراقة .. أخونا مهند الحين عنده كورس بالرياضيات , فصعب يكمل الموضوع ,, دعواتنا له بالتوفيق ..

آآآآمين
أتمنى له التوفيق..:a_plain111:

مشكورةأختي نورة على التنبيه..