مساعدة في النهايات

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم

اريد معرفة كيفية ايجاد النهايتين التاليتين

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\, lim\left | x \right | \\\, x\overset{<}{\rightarrow}5



http://latex.codecogs.com/gif.latex?\, lim\left | x \right | \\\, x\overset{>}{\rightarrow}5

[مهند الزهراني]

أخي لم يتضح لي وجود رمز أكبر من أو أصغر من ؟ هل للدلالة على النهاية من اليمين او اليسار ؟

[لا اعرف شيئ]

نعم يا مهند الرموز < > هي للدلالة على النهايه من اليمين واليسار على الترتيب

الفكرة حسب ما اعرف تكمن في ان |ْX| ستكون اما -x او +x وهذا ما اريد ان اعرفه بالنسبة لكل تمرين

ما هي الفكرة التي تجعلنا نقوم بتعويض -x او +x بدل |ْX| ؟؟؟؟؟؟؟؟

[Weierstrass-Casorati]

ما هي الفكرة التي تجعلنا نقوم بتعويض -x او +x بدل |ْX| ؟؟؟؟؟؟؟؟

من تعريف دالة المقياس

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\left%20|%20x%20\right%20|=\lef t\{\begin{matrix}%20x%20&&&x\geq%200%20\\%20-x%20&&&x%3C%200%20\end{matrix}\right.

[لا اعرف شيئ]

طيب كيف تسخر هذا التعريف في خدمة ايجاد هذه النهاية

[Weierstrass-Casorati]

لحساب http://latex.codecogs.com/gif.latex?\underset{x\to%205}{\lim}\left%20|%20x%2 0\right%20| يكفي أن نبحث النهاية اليمنى فقط لأن قاعدة تعريف الدالة لا تتغير على يمين أو يسار http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=5

ومن تعريف دالة المقياس http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20|x|=x لكل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x\geq%200

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\underset{x\to%205^}{\lim}|x|=\ underset{x\to%205^+}{\lim}|x|=|5|=5

والنهاية اليسرى تساويها http://latex.codecogs.com/gif.latex?\underset{x\to%205^-}{\lim}|x|=5

[لا اعرف شيئ]

افهم من حديثك انك اعتبرت بأن|x| هي x
بالنسبة للنهاية من اليسار يعني انا شايف انك اهملت القيم السالبة التى كانت ل x واخذت القيم من
]0 , 5 [ هل هذا هو قصدك

[Weierstrass-Casorati]

افهم من حديثك انك اعتبرت بأن|x| هي x
بالنسبة للنهاية من اليسار يعني انا شايف انك اهملت القيم السالبة التى كانت ل x واخذت القيم من
]0 , 5 [ هل هذا هو قصدك

أظن هذا لأننا ننظر إلى x عندما تقترب من 5 من جهة اليسار
وفي الحقيقة لا أجد سبب لحساب النهاية اليسرى أصلا :confused:
لكان الأمر سيتغير إذا كان ما داخل المقياس |x - 5| ففي هذه الحالة بعد إعادة تعريف دالة المقياس ستتغير قاعدة تعريف الدالة على يمين ويسار 5 وحينها سيتحتم حساب النهاية اليمنى واليسرى

[تغريـد]

أشكرك أخي الكريم لا أعرف شيء على طرح هذا السؤال

و أشكر الأخوة الذين تفضلوا بالإجابه على جهودهم الرائعة و المشكورة حقيقة

لنتذكر أخي الكريم أولا

ما معني إيجاد النهاية

إن إيجاد النهاية لدالة ما عند نقطة a يعني

إلى أين تتجه الدالة كلما اقتربنا من القيمة a سواء من اليمين أو اليسار

بمعنى هل كلما اقتربنا من النقطة a هل صور الدالة تقترب من قيمة وحيده ثابته


أي ما سلوك الدالة حول النقطة a

فإذا كان هذا الاقتراب كان من الجهة اليمنى فإننا نبدأ من عدد أكير من a و نبدأ بالحركة نزولا باتجاه a
و ملاحظة قيم الدالة المقابلة هل تقترب من قيمة ثابتة فإذا كان الأمر كذلك فنحن نتحدث عن وجود النهاية من اليمين

و عليه نعني بالنهاية من اليمين هو كيف تسلك الدالة كلما اقتربنا من النقطة a من جهة اليمين

فإذا كان هذا الاقتراب كان من الجهة اليسرى فنبدأ من عدد أصغر من a و بندأ بالحركة صعودا باتجاه a
و ملاحظة قيم الدالة المقابلة هل تقترب من قيمة ثابتة فإذا كان الأمر كذلك فنحن نتحدث عن وجود النهاية من اليمين

إذن نحن نعني بالنهاية من اليسار هو كيف تسلك الدالة كلما اقتربنا من النقطة a من جهة اليسار

و
نحن في النهاية نهتم لسلوك الدالة في الجوارات مهما صغرت فلو كان سلوك الدالة عند a من اليمين يؤول إلى النهاية b في جوار صغير جدا فهذا كافي للقول بإن النهاية من اليمين هي b بالفعل.



لذا حين نتحدث عن نهاية دالة المقياس عند النقطة 5

فإننا نهتم بسلوك الدالة حول العدد 5 و لسنا معنيين بسلوك الدالة بعيدا عن العدد 5

لذا نحن بالتأكيد في مسألتنا لسنا معنيون بالأعداد السالبة

و النهاية من اليسار يعني فقط البحث عن يسار النقطة a في إي جوار مهما صغر نصف قطره

لذا نحن نختاره بالصورة التي تجعل التعامل مع المسألة أسهل

أرجو أن يكون كلامي واضحا و يمكن إذا كان مفهوما الرجوع للمسألة الآخرى و التفكير بها مجددا

أما إذا لم يكن كلامي مفهوما فأرجو ان تبينوا لي

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم اختي تغريد وشكرا لمشاركتك القيمة
اريد ان استفسر منكي هل ان كلامك هذا هوتفسير لسؤال بموضوعي السابق ( استفسارمن كتاب بموضوع النهايات )

على الرابطhttp://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=51062

عندما سألت (لماذا اعتبر انه بما ان س تسعى الى اللانهاية الموجبة فأن س-1 ذات قيمة موجبه
بالتالي تكون قيمتها المطلقة تساويها ؟؟؟؟؟ )

ارجو ان تعودي للمشاركة رقم 12
وان لم يكن ذلك فما هو تفسيرك

[Weierstrass-Casorati]

بلى واضح جدا شكراً لك اختي الكريمة تغريد على الشرح والتوضيح الرائع
وبارك الله فيك وجزاك كل خير

[تغريـد]

شكرا لك أخي الكريم Weierstrass-Casorati
جزاك الله كل خير و وفقك لما يحب و يرضى

أخي الكريم لا أعلم شيء أرجو أن يكون جواب سؤالك هنا قد وصلك الآن
و أن لديك الآن فكرة جيدة عن معنى النهاية
فذلك السبيل الوحيد لتخطي العقبات التي يمكن أن تطرأ

لنعيد ما قلناه لصورة أخرى
لنفهم ما يعنيه التعريف الرياضي

يقال أن نهاية الدالة عند النقطة a هي b
إذا كان لكل جوار حول النقطة b بنصف قطر r نستطيع أن نجد جوار حول النقطة a نصف قطره sبحيث تكون

كل صور عناصر الجوار للنقطة a (فيما عدا a نفسها) واقعة ضمن
الجوار حول b بنصف القطر r

أرجو أن يكون هذا واضحا
و النقطة المهمة هنا أننا نبدأ بالجوار حول b و هذا الجواريتم اختياره عشوائيا بدون شروط أما الجوار حول a فيكفي أن نجد جوار واحد يحقق الشرط لتحقق التعريف

يجب ان يكون مفهوم النهاية واضحا قبل الخوض في أي تفاصيل أخرى


و لنرجع إلى السؤال في الصفحة الأخرى هناك
و لنتذكر يجب أن نفهم النهايات حول النقاط بشكل جيد قبل الحديث عن النهايات عند المالانهاية
لأن الفكرة لن تختلف و لكن نحن بحاجة لعدة تعديلات

فهل الأمور واضحة

[لا اعرف شيئ]

اسف اخت تغريد يبدو اني ضعت قليلا فأرجو ان توضحي انتي قلتي

((( النقطة المهمة هنا أننا نبدأ بالجوار حول b و هذا الجواريتم اختياره عشوائيا بدون شروط))))لا اعتقد انه بالامكان ان نأخذ الجوار حول b بدون شروط تعرفي انه يجب ان نأخذ الجوار حول b محققاً
للشرط |x – b| < r

وقلتي ايضاً

((((أما الجوار حول a فيكفي أن نجد جوار واحد يحقق الشرط لتحقق التعريف))))
ان كنتي تقصدين انه يكفي ان نجد جوارا واحد حول a بالنسبه لكل جوار حول b فهذا مفهوم

طيب هنا انا لا اعتقد انه يمكن ان تجدي اكثر من جوار واحد لان نصف القطر s ونصف القطر b مرتبطين معا أي مقترنين معاً فمقابل كل جوار b اكيد سيتواجد جوار واحد s لا اكثر

[لا اعرف شيئ]

عفوا اقصد بالشرط |x – b| < r

الشرط http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left&space;|x&space;\right&space;-b|<&space;r

[تغريـد]

اسف اخت تغريد يبدو اني ضعت قليلا فأرجو ان توضحي انتي قلتي

((( النقطة المهمة هنا أننا نبدأ بالجوار حول b و هذا الجواريتم اختياره عشوائيا بدون شروط))))لا اعتقد انه بالامكان ان نأخذ الجوار حول b بدون شروط تعرفي انه يجب ان نأخذ الجوار حول b محققاً
للشرط |x – b| < r


حسنا أخي هذا ليس شرطا و إنما هذا تعريف الجوار نفسه أقصد بدون شروط أي أن نصف قطر الجوار ليس عليه شروط بمعني أن التعريف يجب أن ينطبق لكل نصف قطر جوار ممكن مهما كبر أو صغر
(و طبعا يزداد الأمر صعوبة كلما صغر نصف القطر)


وقلتي ايضاً

((((أما الجوار حول a فيكفي أن نجد جوار واحد يحقق الشرط لتحقق التعريف))))
ان كنتي تقصدين انه يكفي ان نجد جوارا واحد حول a بالنسبه لكل جوار حول b فهذا مفهوم


هذا جيد


طيب هنا انا لا اعتقد انه يمكن ان تجدي اكثر من جوار واحد لان نصف القطر s ونصف القطر b مرتبطين معا أي مقترنين معاً فمقابل كل جوار b اكيد سيتواجد جوار واحد s لا اكثر


كلام جميل و لكن تذكر أنه إذا كان جوار نصف قطره s حول a صالح فإن أي جوار نصف قطره أقل من s سيكون أيضا صالح

فكر معي لماذا

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم
الاخت تغريد قلتي انه إذا كان جوار نصف قطره s حول a صالح فإن أي جوار نصف قطره أقل من s سيكون أيضا صالح

( هل يا ترى لانه عندما سوف تسعى x الى العدد a سيكون ذلك بشكل متزايد تماما او متناقص تماما او متزايد ومتناقص معا يقابل انه سوف تتزايد الدالة تماما اوتتناقص تماما او تتزايد وتتناقص معا الى العدد b )
بصراحة وصلت حدود استيعابي الى هنا فقط

هل ماقلتيه يا اختي يطبق على هذه الحاله فقط ام جميع الحالات (عندما تسعى x الى اللانهاية الموجبة او السالبه )

[تغريـد]

السلام عليكم
الاخت تغريد قلتي انه
( هل يا ترى لانه عندما سوف تسعى x الى العدد a سيكون ذلك بشكل متزايد تماما او متناقص تماما او متزايد ومتناقص معا يقابل انه سوف تتزايد الدالة تماما اوتتناقص تماما او تتزايد وتتناقص معا الى العدد b )
بصراحة وصلت حدود استيعابي الى هنا فقط

هل ماقلتيه يا اختي يطبق على هذه الحاله فقط ام جميع الحالات (عندما تسعى x الى اللانهاية الموجبة او السالبه )

جواب السؤال الأول لا ليس هذا هو السبب فليس هناك ما يدعو إلى هذا الارتباط التام بين قيم x و y
لمجرد أن الدالة لها نهاية

إن السبب يكمن في التعريف

طالما أنك تدرك أننا نبدأ بأي جوار حول النهاية b و ليكن نصف قطره r
ثم نبحث على جوار حول a
بحيث كل صور الجوار حول a يجب أن تكون داخل الجوار حولb

النقطة المهمة هنا في كلمة كل السابقة
تخيل أن كل قيم x داخل الجوار عبارة عن أسهم
و أن الدالة هي الرامي و وظيفتها هي إلقاء تلك الأسهم نحو الهدف و الذي هو الجوار حول b

و كما تعلم كلما زادت مساحة الهدف كانت المهمة أسهل و تصعب المهمة كلما صغرت مساحة الهدف
و كما تعلم كلما كان الجوار ذا نصف قطر كبير يصيح الجوار كبيرا و يصبح من السهل أن تكون صور كل عناصر الجوار حول a داخله
و لكن المهمة تصعب عندما تكون r صغيرة لذا التعريف يقول مهما صغرت

نقطة أخري تخيل أننا أخذنا حول النهاية b جوار نصف قطره r
و
وجدنا حول a جوار نصف قطره s
(حسب تعريف النهاية )كل صوره داخل الجوار حولb

و تخيل أننا أخذنا جوار آخر حول a ذا نصف قطر أصغر t
ما الذي سيحدث

لاحظ أن الجوار حول a ذا نصف القطر t (الجوار الأول) سيكون محتوى ضمن الجوار ذا نصف القطر s (الجوار الثاني)
و بالتالي كل عناصرالجوار الأول ستكون عناصر في الجوار الثاني

فإذا كانت عناصر الجوار الثاني كلها لها صور في جوار b (حسب تعريف النهاية )
فإن هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني

هذا كل ما في الأمر

أرجو أن تكون الصورة قد وضحت

إن كان هناك خلل فأرجو أن تعطيني انطباعك حول معنى الجوار عمليا في مخيلتك

دعنا نترك حالات الملانهاية جانبا الآن حتى تثبت الفكرة العامة للنهايات

[لا اعرف شيئ]

الاخت تغريد المشكلة عندي ليست في فهم معنى الجوار اتمنى ان تفهميها من سياق الكلام
سأبدأ الحديث من هنا وهذا الفرض الذي كنت اعتمد عليه في مناقشتي لك ( نحن اخذنا جوار واحد حول النهاية b
ذي نصف قطر وليكن عدد ثابت r وليس لنا علاقة بأي جوار لا قبله ولا بعده وحقق هذا الجوار المراد بحيث كانت جميع صور المتحول x الموجودة في الجوار ذي النصف قطر a واقعة في الجوار ذي النصف قطر r (
انتي قلتي
الجوار حول a ذا نصف القطر t (الجوار الأول) سيكون محتوى ضمن الجوار ذا نصف القطر s (الجوار الثاني)
و بالتالي كل عناصرالجوار الأول ستكون عناصر في الجوار الثاني

فإذا كانت عناصر الجوار الثاني كلها لها صور في جوار b (حسب تعريف النهاية )
فإن هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني


هل تعتقدين ان كلامك هذا صحيح ان لم يكن التابع متزايد تماما او متناقص تماما بدأ من نقطة معينة
ارجو ان تتمعني عندما قلتي ((هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني))
لا تنسي هنا ان الجوار ينقص نصف قطره بالتالي هنالك احتمالية ( ان لم يكن التابع متزايد تماما او متناقص تماما )
ان تكون هنالك بعض نقط التابع خارج هذا الجوار مثلا ان كان التابع متزايد وبعدها يتناقص وبالمقابل سيكون نصف القطر يصغر وسوف تكون هذه النقاط المتناقصة خارج الجوار
اتمنى ان يكون الالتباس عندي في الموضوع قد وضح لك
(هل يا ترى عندما تسعى x الى a وتكون النهاية هي b لن نصادف مثل هذه التوابع )
اترك الجواب لك

[لا اعرف شيئ]

بحيث كانت جميع صور المتحول x الموجودة في الجوار ذي النصف قطر a

اقصد ان صور المتحول x الموجود في الجوار


هل يا ترى عندما تسعى x الى a وتكون النهاية هي b لن نصادف مثل هذه التوابع

اقصد مثل هذه المنحنيات

[الصادق]

طيب كيف تسخر هذا التعريف في خدمة ايجاد هذه النهاية

اخي الكريم "لا اعرف شيئ" دعنا نأخذ مثال عملي لتطبق عليه المفاهيم التي جاءت في المشاركات القيمة لأختي الكريمة تغريد

إذا كان لديك الدالة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;f(x)=\frac{(x-5)|x|}{x}\qquad\qquad(1)

وطرح عليك السؤال: ماذا يحدث لهذه الدالة عندما تقترب x من الصفر؟
سوف نحاول هنا ان نجيب على هذا السؤال من خلال ثلاثة طرق

1- المدخل العددي. املء الجدول التالي


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\left|\begin{matrix}&space;\\&space;\\&space;\\&space;\\ &space;\\&space;\\&space;\end{matrix}\right.&space;\left.\begin{matrix}&space;\h line&space;&x&space;&&space;\\&space;\hline&space;&0.1&space;\\&space;\hline&space;&0.01&space;\\&space;\hline&space;&0.001&space;\\&space;\hline&space;&0.0001&space;\\&space;\hline&space;&\rm&space;your\;&space;choice&space;\\&space;\hline&space;\end{matrix}\right|&space;\b egin{matrix}&space;\hline&space;&f(x)&space;&&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;\end{matrix}&space;\begin{Vmatrix}&space;\hlin e&space;&x&space;&&space;\\&space;\hline&space;&-0.1&space;\\&space;\hline&space;&-0.01&space;\\&space;\hline&space;&-0.001&space;\\&space;\hline&space;&-0.0001&space;\\&space;\hline&space;&\rm&space;your\;&space;choice&space;\\&space;\hline&space;\end{Vmatrix}&space;\begin{m atrix}&space;\hline&space;&f(x)&space;&&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;&...&space;\\&space;\hline&space;\end{matrix}&space;\left.\begin{matrix}&space;\\ &space;\\&space;\\&space;\\&space;\\&space;\\&space;\end{matrix}\right|

الان استناداً على البيانات في الجدول اعلاه مامعنى كل من
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\lim_{x\to&space;0^{&plus;}}f(x)
و
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\lim_{x\to&space;0^{-}}f(x)

2- المدخل الجبري.
استخدم
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;|x|=\left\{\begin{matrix}&space;x&space;&&space;\rm&space;if&space;&&space;x\geq0\\&space;\\&space;-x&space;&&space;\rm&space;if&space;&&space;x<&space;0&space;\end{matrix}\right.\qquad&space;\qquad&space;(2)

لتعبر عن الدالة في صورة مشابهة . اي لكي تتخلص من علامة القيمة المطلقة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;f(x)=\left\{\begin{matrix}&space;...?&space;&&space;\rm&space;if&space;&&space;x\geq0\\&space;\\&space;...?&space;&&space;\rm&space;if&space;&&space;x<&space;0&space;\end{matrix}\right.\qquad&space;\qquad&space;(3)

أ-ماهو السطر في العلاقة السابقة الذي سوف تستخدمه عند http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;x\to&space;0^{&plus;} ؟ ثم أوجد قيمة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\lim_{x\to&space;0^{&plus;}}f(x)
من العلاقة (3)

بـ - ماهو السطر في العلاقة السابقة الذي سوف تستخدمه عند http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;x\to&space;0^{&-} ؟ ثم أوجد قيمة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\lim_{x\to&space;0^{-}}f(x)
من العلاقة (3)

3-المدخل البياني.
ارسم رسم بياني لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?y=f(x).لتسهيل هذه المهمة استخدم العلاقة (3) .
من خلال النظر الى الرسم البياني ماهي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\lim_{x\to&space;0^{&plus;}}f(x)
و ماهي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\lim_{x\to&space;0^{-}}f(x)

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم
اخي الصادق انا فهمت منذ البداية السؤال الذي طرحته اناحول النهاية من اليمين واليسار

لكن اتمنى ان تشاركنا النقاش من حيث وصلنا في الاخير توجد فكرة هامة اتمنى ان توضحوها لي

( في الملف المرفق حلي لسؤالك )

اكرر اتمنى ان تشاركنا النقاش

[لا اعرف شيئ]

راح حط الرسم برا الملف

[الصادق]

حياكم الله اخي الكريم "لا اعرف شئ"
اولاً : جميع الحلول المثال صحيحة تماماً
اذن ارى ان الاشكال ليس في حساب النهاية وانما في طريقة اقتراب المتغير من نقطة حساب النهاية واقتراب الدالة من قيمة النهاية

دعنا نضع مسميات نتتفق عليها حتى لاتختلط علينا الامور
اذا كان عند x تقترب من a فان f تقترب من قيمة النهاية L
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\rm&space;\lim_{x\to&space;a}&space;f(x)=L

فان جوار النقطة a هو الدائرة التي نصف قطرها s كما جاء في مشاركة اختي الكريمة تغريد
اي ان :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\rm&space;s=|x-a|
وجوار قيمة النهاية هو
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\rm&space;\delta=|f(x)-L|

هل يا ترى لانه عندما سوف تسعى x الى العدد a سيكون ذلك بشكل متزايد تماما او متناقص تماما او متزايد ومتناقص معا يقابل انه سوف تتزايد الدالة تماما اوتتناقص تماما او تتزايد وتتناقص معا الى العددb

اذن ما المقصود بالتعبير " بشكل متزايد تماما او متناقص تماما"؟ هل تقصد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\rm&space;\delta=s
دائماً وفي جميع الحالات؟
على العموم اقول ان دلتا تعتمد على s ولكن ليس بالضرورة ان تكون دلتا مساوية دائماً وابداً لـ s

إذا كان جوار نصف قطره s حول a صالح فإن أي جوار نصف قطره أقل من s سيكون أيضا صالح
لاحظ ان في الجدول الايسر في المثال لقد اخترنا s=0.1 ووجدنا قيمة النهاية -5 و لكن كان يمكن ان نختار s=0.05 ونصل لنفس قيمة النهاية-5. هذا هو المعنى المقصود في الاقتباس

هل ماقلتيه يا اختي يطبق على هذه الحاله فقط ام جميع الحالات (عندما تسعى x الى اللانهاية الموجبة او السالبه )
اعتقد انه ينطبق على جميع الحالات. اما المالانهاية فانه يمكنك ان تغير المتغير الى مقلوبه فعنما يقترب المتغير x من المالانهاية فان مقلوبه يقترب من الصفر بالضرورة

هذا والله اعلم

[تغريـد]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
يسعدني كثيرا أخي الكريم الصادق لتواجدك معنا بارك الله فيك

أخي الكريم لا أعلم شيء
دعني أقول
إن الكلام الذي قلته في المشاركة المقتبسة التالية كلام جميل


الاخت تغريد المشكلة عندي ليست في فهم معنى الجوار اتمنى ان تفهميها من سياق الكلام
سأبدأ الحديث من هنا وهذا الفرض الذي كنت اعتمد عليه في مناقشتي لك ( نحن اخذنا جوار واحد حول النهاية b
ذي نصف قطر وليكن عدد ثابت r وليس لنا علاقة بأي جوار لا قبله ولا بعده وحقق هذا الجوار المراد بحيث كانت جميع صور المتحول x الموجودة في الجوار ذي النصف قطر a واقعة في الجوار ذي النصف قطر r (
انتي قلتي

هل تعتقدين ان كلامك هذا صحيح ان لم يكن التابع متزايد تماما او متناقص تماما بدأ من نقطة معينة
ارجو ان تتمعني عندما قلتي ((هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني))
لا تنسي هنا ان الجوار ينقص نصف قطره بالتالي هنالك احتمالية ( ان لم يكن التابع متزايد تماما او متناقص تماما )
ان تكون هنالك بعض نقط التابع خارج هذا الجوار مثلا ان كان التابع متزايد وبعدها يتناقص وبالمقابل سيكون نصف القطر يصغر وسوف تكون هذه النقاط المتناقصة خارج الجوار
اتمنى ان يكون الالتباس عندي في الموضوع قد وضح لك
(هل يا ترى عندما تسعى x الى a وتكون النهاية هي b لن نصادف مثل هذه التوابع )
اترك الجواب لك

و لكنه للأسف بعيد عن الواقع و لا يصمد تجريبيا

ستفهم تماما ما أقول عندما تحاول أن تتمثل ما تقول أنت تجريبيا من خلال رسم دالة ما و تتحقق مما قلناه أنا و أنت
و ستعلم زبدة الأمر حين تحاول ان تأتي بمثال تحقق الحالة التي ذكرتها في المشاركة المقتبسة
ستجد أن الكثير مما ذكرته لا معنى له

و إن كنت اصر أريدك أن تعطيني مفهومك عن الجوار بدون التعبير الرياضي
ما هي المجموعة التي تمثل جوار a بنصف قطر s

أرجو أن تجيبني

[لا اعرف شيئ]

طيب اخت تغريد

[تغريـد]

ممتاز أخي الكريم لا أعلم شيء

الآن نريد مثالا يتحقق فيه قولك

( نحن اخذنا جوار واحد حول النهاية b
ذي نصف قطر وليكن عدد ثابت r وليس لنا علاقة بأي جوار لا قبله ولا بعده وحقق هذا الجوار المراد بحيث كانت جميع صور المتحول x الموجودة في الجوار ذي النصف قطر a واقعة في الجوار ذي النصف قطر r (

ارجو ان تتمعني عندما قلتي ((هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني))
لا تنسي هنا ان الجوار ينقص نصف قطره بالتالي هنالك احتمالية ( ان لم يكن التابع متزايد تماما او متناقص تماما )
ان تكون هنالك بعض نقط التابع خارج هذا الجوار مثلا ان كان التابع متزايد وبعدها يتناقص وبالمقابل سيكون نصف القطر يصغر وسوف تكون هذه النقاط المتناقصة خارج الجوار



هل ما تقوله بالفعل ممكن الحدوث؟؟؟

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم اختي تغريد

اظن انه لابد من حسم النقاش من خلال الرسم
طيب ليكن لدينا التابع (y = f(x تأملي بالمنحني البياني ولاحظي اني اخذت جوار اول حول النهاية b ذي نصف قطر r واقترن هذا الجوار بالجوار ذي نصف القطر s1 لاحظي جميع النقط x الواقعة في الجوار s1 صورها واقعة في الجوار r
طيب الان لناخذ جوارا اخرا حول b وليكن ذي نصف قطر t واقترن هذا الجوار بالجوار ذي نصف القطر s2 على سبيل المثال لا الحصر
اريد ان اسأل نفسي سؤال هل نقاط الجوار ذي نصف القطر s2 صالحة بالنسبة للجوار ذي اللون الاحمر r
الجواب بالتاكيد نعم

اما سؤالي هل هي صالحة بالنسبة للجوارحول b ذي نصف القطر t فالجواب بالتاكيد لا
اذكرك بما قلتي انتي فقط للمقارنة (إذا كان جوار نصف قطره s حول a صالح فإن أي جوار نصف قطره أقل من s سيكون أيضا صالح)

طيب نحن اخذنا جوارا اخرا s2 نصف قطره اقل من s1 لاحظي هو غير صالح بالنسبه للجوار t
(لانه لاحظي السهم المكتوب عليه هنا ) لانه توجد العديد العديد من النقاط الواقعة خارج الجوار t

هذا انا ما فهمته حول كلمة صالح


اما ان كان قصدك انتي بكلمة ( صالح ) الشكل التالي

اذا كان جوار نصف قطره s حول a صالح فإن أي جوار نصف قطره أقل من s سيكون أيضا صالح بالنسبة لنفس الجوار حول النهاية b (كما ذكرت باول الكلام )
فعندها يكون كلامك صحيح وهو عندها سيكون اصلا من البديهيات


اتمنى ان يكون الرسم والشرح قد بينا لك وجهة نظري والالتباس

[تغريـد]

حسنا أخي الكريم لا بأس
أعتقد أن الأمور واضحة الآن

[لا اعرف شيئ]

طيب اخت تغريد سأستغل فرصة وجودك الان

فارجو ان تكملي النقاش في الموضوع الاول

ذي الرابط http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=51062

اريد منك جواب نهائي حول تساؤلي الاول في الموضوع السابق لكي تترسخ الفكرة في ذهني


لماذا اخذ في التعريف ان ب> 0 في التعريف الاول و - ب < 0 في التعريف الثاني ( طبعا مشكورة جهود الاخ Casorati والاخ عقروب )
مع ان التعريف لن يكون في هذه الحاله شامل
ومازلت اعتقد ومن وجهة نظري انه كان من الافضل لو قال ان س> ب في التعريف الاول
وس < ب في التعريف الثاني حيث ان ب عدد حقيقي


من جهة اخرى
هل ان جواب سؤالي حول انه (لماذا اعتبر انه بما ان س تسعى الى اللانهاية الموجبة فأن س-1 ذات قيمة موجبه))
هو انه بأمكاننا ان نهمل القيم السالبه ل x ونأخذ نصف قطر جوار حول اللانهايه يكون حاوي على القيم الموجبه فقط

[تغريـد]

طيب اخت تغريد سأستغل فرصة وجودك الان

فارجو ان تكملي النقاش في الموضوع الاول

ذي الرابط http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=51062

اريد منك جواب نهائي حول تساؤلي الاول في الموضوع السابق لكي تترسخ الفكرة في ذهني


لماذا اخذ في التعريف ان ب> 0 في التعريف الاول و - ب < 0 في التعريف الثاني ( طبعا مشكورة جهود الاخ Casorati والاخ عقروب )
مع ان التعريف لن يكون في هذه الحاله شامل
ومازلت اعتقد ومن وجهة نظري انه كان من الافضل لو قال ان س> ب في التعريف الاول
وس < ب في التعريف الثاني حيث ان ب عدد حقيقي


من جهة اخرى
هل ان جواب سؤالي حول انه (لماذا اعتبر انه بما ان س تسعى الى اللانهاية الموجبة فأن س-1 ذات قيمة موجبه))
هو انه بأمكاننا ان نهمل القيم السالبه ل x ونأخذ نصف قطر جوار حول اللانهايه يكون حاوي على القيم الموجبه فقط

آسفة أخي الكريم لم انتبه للسؤال في حينه

التعريف المذكور هناك صحيح و هذا لا يمنع أن تعريفك صحيح أيضا
الحقيقة أن التعريفان متكافئان فكل منهما يؤدي للآخر
يمكنك أن تتحقق من هذا بنفسك

[لا اعرف شيئ]

شكرك جزيلا يا اخت تغريد
لكن ماذا عن السؤال
(لماذا اعتبر انه بما ان س تسعى الى اللانهاية الموجبة فأن س-1 ذات قيمة موجبه وقيمته المطلقة تساويه ))
هو انه بأمكاننا ان نهمل القيم السالبه لـ س ونأخذ نصف قطر جوار حول اللانهايه يكون حاوي على القيم الموجبه فقط

[الصادق]

http://www.phys4arab.net/vb/attachment.php?attachmentid=9894&stc=1&d=1283066059

لايمكن للدالة ان تتغير على هذا النحو خلال الجوار الصغير جداً الذي يفترض في الاساس ان تكون فيه نقطة النهاية a قريبة بشكل كافي من x

[لا اعرف شيئ]

حياك الله اخي الصادق

بالنسبة لكلامك اكيد هو صحيح لكن هذا المثال جدلي لجوار محقق للتعريف وليس قريب كفاية
وحاولت من خلاله ان ازيل الالتباس الحاصل عندي في كلام الاخت تغريد




طيب انت قلت
لايمكن للدالة ان تتغير على هذا النحو خلال الجوار الصغير جداً الذي يفترض في الاساس ان تكون فيه نقطة النهاية a قريبة بشكل كافي من x

طيب اريد ان اسألك سؤال كيف ستتغير الداله ان لم يكن تغيرها على ذلك النحو
انا اقول بالتاكيد هي ستكون اما في حالة تزايد تام او حالة تناقص تام وهذا ما حاولت ان اوضحه في مشاركاتي السابقة

[تغريـد]

شكرك جزيلا يا اخت تغريد
لكن ماذا عن السؤال
(لماذا اعتبر انه بما ان س تسعى الى اللانهاية الموجبة فأن س-1 ذات قيمة موجبه وقيمته المطلقة تساويه ))
هو انه بأمكاننا ان نهمل القيم السالبه لـ س ونأخذ نصف قطر جوار حول اللانهايه يكون حاوي على القيم الموجبه فقط

آسفة و لكني لم أوفق في معرفة متى تم هذا أرجو أن تحدد لي متي تم استخدام ذلك أكيد ليس في إي من التعريفين
أما بالنسبة للأمثلة أرجو أن تحدد بدقة في المثال الأول أم الثاني و في أي خطوة

و في كل حال ما ذكرته من سبب صحيح و هو من باب التسهيل على الطلاب
و لكن من الأدق القول- إذا كانت س تؤول إلى مالانهاية-
عندما أكبر من صفر
أو لتكن س أكبر من 1 أو أي عدد موجب نختاره بحيث يسهل التعامل مع الدالة سواء كانت قيمة مطلقة أو دالة تربيعية أو ...
ثم نكمل الحل
و طبعا السبب هو ما ذكرته


ثم نكمل الحل

[تغريـد]

شكرك جزيلا يا اخت تغريد
لكن ماذا عن السؤال
(لماذا اعتبر انه بما ان س تسعى الى اللانهاية الموجبة فأن س-1 ذات قيمة موجبه وقيمته المطلقة تساويه ))
هو انه بأمكاننا ان نهمل القيم السالبه لـ س ونأخذ نصف قطر جوار حول اللانهايه يكون حاوي على القيم الموجبه فقط

آسفة و لكني لم أوفق في معرفة متى تم هذا أرجو أن تحدد لي متي تم استخدام ذلك أكيد ليس في إي من التعريفين
أما بالنسبة للأمثلة أرجو أن تحدد بدقة في المثال الأول أم الثاني و في أي خطوة

و في كل حال ما ذكرته من سبب صحيح و هو من باب التسهيل على الطلاب
و لكن من الأدق القول- إذا كانت س تؤول إلى مالانهاية-
عندما تكون س أكبر من صفر
أو لتكن س أكبر من 1 أو أي عدد موجب نختاره بحيث يسهل التعامل مع الدالة سواء كانت قيمة مطلقة أو دالة تربيعية أو ...
ثم نكمل الحل
و طبعا السبب هو ما ذكرته

[تغريـد]

http://www.phys4arab.net/vb/attachment.php?attachmentid=9894&stc=1&d=1283066059

لايمكن للدالة ان تتغير على هذا النحو خلال الجوار الصغير جداً الذي يفترض في الاساس ان تكون فيه نقطة النهاية a قريبة بشكل كافي من x

أخي الكريم الصادق لم أفهم وجه الاعتراض على الدالة في الرسم

إذا كان بسبب الدائرة الصغيرة المقابلة للقيمة a المتغير س فهي تعبير متفق عليه في الرسم و نقصد به أن الدالة غير معرفة عند النقطة a لوحدها و لكنها تسلك سلوكها الواضح من تسلسل الرسم فيما عدا ذلك ؟

إن كان الأمر غير ذلك أرجو ان توضح لي ؟
و لك خالص الشكر

[لا اعرف شيئ]

اختي تغريد السؤال هنا

[الصادق]

حياك الله اخي الصادق

بالنسبة لكلامك اكيد هو صحيح لكن هذا المثال جدلي لجوار محقق للتعريف وليس قريب كفاية
وحاولت من خلاله ان ازيل الالتباس الحاصل عندي في كلام الاخت تغريد




طيب انت قلت
لايمكن للدالة ان تتغير على هذا النحو خلال الجوار الصغير جداً الذي يفترض في الاساس ان تكون فيه نقطة النهاية a قريبة بشكل كافي من x

طيب اريد ان اسألك سؤال كيف ستتغير الداله ان لم يكن تغيرها على ذلك النحو
انا اقول بالتاكيد هي ستكون اما في حالة تزايد تام او حالة تناقص تام وهذا ما حاولت ان اوضحه في مشاركاتي السابقة

طالما انه ليس قريب كفاية فهو غير محقق للتعريف ...
لاحظ في المسالة الذي طرحتها عليك ، ان نهاية الدالة من اليسار لا تساوي نهاية الدالة من اليمين لذلك فان نهاية الدالة عند النقطة صفر غير موجودة وذلك لان الدالة قد تغيرت من -5 الة 5 خلال جوار النقطة صفر.

نقول انه توجد نهاية للدالة (f(x عند نقطة a وهي تساوي L اذا واذا كان فقط لكل فترة صغيرة حول النهاية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;(L-\delta,L&plus;\delta) توجد فترة صغيرة حول النقطة a ولتكن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;(a-s,a&plus;s) بحيث ان كل قيم (f(x موجودة في الفترة الاولى حول L مع امكانية استثناء النقطة a نفسها.
اذن هذا يعني ببساطة ان للدالة (f(x نهاية عند نقطة مُعينة a ، إذا كان لديك قيمة لـ x قريبة جداً من a ، فان الدالة تبقى قريبة جدا من قيمة معينة L.
وهكذا فان تعريف النهاية يستلزم عدم تغير سلوك الدالة خلال الجوار الصغير جداً

اما قولك "حالة تزايد تام او حالة تناقص تام" لم افهمه لذا طرحت عليك السؤال في مشاركتي السابقة لهذه المشاركة لتوضح لي المعنى المقصود ...

وعلى كل حال فان الدالة تتزايد اذا ازدادت مشتقتها الاولى عند الانتقال من نقطة الى نقطة مجاورة تالية لها. اذن وجود التزايد يتطلب وجود المشتقة الاولى عند النقطة و وجود المشتقة يستلزم وجود النهاية عند النقطة وتحقق الاستمرارية، لذلك فان تعريف وجود النهاية لا يستدعي مفهوم التزايد والتناقص للدالة اصلاً.

هذا والله تعالى اعلم

[تغريـد]

اختي تغريد السؤال هنا

نعم أخي الكريم كما قلت سابقا
و لكن
الأدق الافتراض هنا أن س أكبر من واحد (لأن هذا بعض ما بستدعيه الاقتراب من المالانهاية )
و من ثم نكمل الحل

[الصادق]

أخي الكريم الصادق لم أفهم وجه الاعتراض على الدالة في الرسم

إذا كان بسبب الدائرة الصغيرة المقابلة للقيمة a المتغير س فهي تعبير متفق عليه في الرسم و نقصد به أن الدالة غير معرفة عند النقطة a لوحدها و لكنها تسلك سلوكها الواضح من تسلسل الرسم فيما عدا ذلك ؟

إن كان الأمر غير ذلك أرجو ان توضح لي ؟
و لك خالص الشكر

حياك الله اختي الكريمة تغريد
ان وجه الاعتراض هو ان خلال الجوار s في الرسم توجد نهايات عظمي وصغرى للدالة لان الجوار النقطة من المفترض ان يقرب approximate النقطة وهذا غير متحقق في الرسم

هذا والله اعلم

[تغريـد]

حياك الله اختي الكريمة تغريد
ان وجه الاعتراض هو ان خلال الجوار s في الرسم توجد نهايات عظمي وصغرى للدالة لان الجوار النقطة من المفترض ان يقرب approximate النقطة وهذا غير متحقق في الرسم

هذا والله اعلم

أشكرك أخي الكريم الصادق على التوضيح

و لكن أعتقد أن هذه الإشكالية لا تمنع وجود النهاية
و لا تمنع صحة الجوار ذا نصف القطر s
و ذلك لأن s يكون اختيارها تبعا ل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta و التي هي هنا
كبيرة بدرجة أنه رغم أن اختيارنا جوار كبير نسبيا حوى نقاط نهاية عظمي و صغرى للدالة
إلا أنه كان كافيا لأن تكون جميع قيم الدالة لهذا الجوار فيه

و لكن هذا لا يمنع إمكانية اختيار جوار أصغر بحيث تكون تلك النهايات غير موجودة فيه

و هذا بالطبع ما يستوجبه الأمر في خال اختيار http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta بشكل أصغر و أصغر


و كأن الجوار http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta هو العين التي تنظر للدالة فإن كانت قدرتها على التمييز ضعيفة
فلن تأبه لوجود ذلك السلوك غير المنتظم للدالة في الجوار

و طبعا هذا لا يمنع صحة التعريف لأن يتحدث عن كل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta ممكنة


من جهة أخرى هناك دوال أخي الكريم لها نهاية عند نقطة معينة
و رغم ذلك لاي جوار ممكن حول تلك النقطة هناك عدد غير منتهي من
نقاط النهاية العظمى و الصغرى للدالة داخله مهما صغر ذلك الجوار

و من امثلة ذلك الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x sin(x^{-1})
عند النقطة صفر
http://en.wikibooks.org/w/index.php?title=File:Xsin1_x.PNG&filetimestamp=20060611070806


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Xsin1_x.PNG/250px-Xsin1_x.PNG

و الموقع التالي يتناول هذه الدالة
http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Limits/An_Introduction_to_Limits

وفقك الله أخي الكريم الصادق لما يحب و يرضى

[الصادق]

بارك الله فيك اختي الكريمة تغريد على الشرح والتوضيح الرائعيين

النقطة التي كنت اتحدث حولها هي ان جوار a يقترب كفاية sufficiently near اما جوار النهاية فهو قريب اعتباطياً arbitrarily near
ووجود النهايات العظمى والصغرى (الاهتزازات) المنتظمة يعني ان النهاية غير موجودة لان قيمة النهاية لاتستقر عند النقطة او بشكل اخر فان النهاية غير محدودة unbounded
فمثلاً الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\sin&space;\frac{1}{x} ليس لها نهاية عند النقطة x=0 والسبب هو تذبذب الدالة غير المحدود
واذا اخترنا جوار حول النهاية delta=1/2 وافترضنا ان النهاية موجودة وتساوي قيمة ثابتة معينة c فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;|\sin&space;\frac{1}{x}-c|<\frac{1}{2}

ويمكن ان نختار نقتطين
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;x_1=\frac{1}{(2n&plus;\frac{1}{2})\pi },\qquad&space;x_2=\frac{1}{(2n-\frac{1}{2})\pi}
لنحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;\sin&space;\frac{1}{x_1}=\sin(2n&plus;\f rac{1}{2})\pi=1\\&space;\sin&space;\frac{1}{x_2}=\sin(2n-\frac{1}{2})\pi=-1
اذن فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_1}-c|=|1-c|<\frac{1}{2}\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_2}-c|=|1&plus;c|<\frac{1}{2}\\
مما يقود الى التناقض التالي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;2=|1-c&plus;1&plus;c|\leq||1-c|&plus;|1&plus;c|=\frac{1}{2}&plus;\frac{1}{2}=1\Rightarrow&space;2<1
وتناقض يبرهن ان النهاية غير موجودة

ولكن اذا قمنا باختيار جوار كبير حول النهاية و ليكن مثلاً delta=2 فلن نصل الى حالة التناقض. و بتكرار الخطوات السابقة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;|\sin&space;\frac{1}{x}-c|%3C2
و
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_1}-c|=|1-c|%3C2\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_2}-c|=|1&plus;c|%3C2\\
وهكذا فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;2=|1-c&plus;1&plus;c|\leq||1-c|&plus;|1&plus;c|=2&plus;2=4\Rightarrow&space;2%3C4

وعليه فان هذا الجوار غير مناسب ويجب ان نختار جوار اصغر منه
اذن لحساب النهاية نحن نسعى للاقتراب من النهاية فيمكن ان نبدأ بجوار كبير ولكن يبجب ان نسعى لنقترب من النهاية والا فلن نعرف وجود النهاية من عدمه وكما قلت اختي الكريمة فان الجوار يشبه عدسة المنظار التي ننظر بها للنهاية و لكن حساب النهاية هو ضبط العدسة بالاقتراب من النهاية

اخيراً اريد ان اقول تعليقاً على الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20\sin(x^{-1})
اذا كانت الاهتزازات تتناقص ارتفاعتها من جانبي نقطة النهاية كلما سعينا نحو نقطة النهاية فاننا نتوقع ارتفاع يساوي الصفر عند نقطة النهاية وعليه فان النهاية موجودة و تساوي الصفر وحساب النهاية يتم عن تطريق تضيق الخناق على الدالة باستخدام دوال معلومة السلوك تحصر الدالة (الساندوش)

اذن اعتراضي كان يكمن في المقارنة بين اختيار جوار يقرب النقطة والوصول للنهاية عن طريق الاقتراب اكثر واكثر من نقطة النهاية و بين اختيار جوار كبير S_1 لدراسة سلوك الدالة من دون الاقتراب من الدالة و القول بان الدالة تتناقص او تتزايد خلال هذا الجوار. ربما ان وجهة نظري غير صحيحة حول هذه النقطة او انني لم افهم المغزى الذي كان يرمي له اخي الكريم "لا اعرف شئ".

بارك الله فيك اختي الكريمة تغريد على هذا النقاش الرائع المثمر جداً
وزادك الله علماً وحكمة وفقك الله لما يحب و يرضى

[تغريـد]

بارك الله فيك اختي الكريمة تغريد على الشرح والتوضيح الرائعيين

النقطة التي كنت اتحدث حولها هي ان جوار a يقترب كفاية sufficiently near اما جوار النهاية فهو قريب اعتباطياً arbitrarily near
ووجود النهايات العظمى والصغرى (الاهتزازات) المنتظمة يعني ان النهاية غير موجودة لان قيمة النهاية لاتستقر عند النقطة او بشكل اخر فان النهاية غير محدودة unbounded
فمثلاً الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\sin&space;\frac{1}{x} ليس لها نهاية عند النقطة x=0 والسبب هو تذبذب الدالة غير المحدود
واذا اخترنا جوار حول النهاية delta=1/2 وافترضنا ان النهاية موجودة وتساوي قيمة ثابتة معينة c فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;|\sin&space;\frac{1}{x}-c|<\frac{1}{2}

ويمكن ان نختار نقتطين
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;x_1=\frac{1}{(2n&plus;\frac{1}{2})\pi },\qquad&space;x_2=\frac{1}{(2n-\frac{1}{2})\pi}
لنحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;\sin&space;\frac{1}{x_1}=\sin(2n&plus;\f rac{1}{2})\pi=1\\&space;\sin&space;\frac{1}{x_2}=\sin(2n-\frac{1}{2})\pi=-1
اذن فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_1}-c|=|1-c|<\frac{1}{2}\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_2}-c|=|1&plus;c|<\frac{1}{2}\\
مما يقود الى التناقض التالي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;2=|1-c&plus;1&plus;c|\leq||1-c|&plus;|1&plus;c|=\frac{1}{2}&plus;\frac{1}{2}=1\Rightarrow&space;2<1
وتناقض يبرهن ان النهاية غير موجودة

ولكن اذا قمنا باختيار جوار كبير حول النهاية و ليكن مثلاً delta=2 فلن نصل الى حالة التناقض. و بتكرار الخطوات السابقة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;|\sin&space;\frac{1}{x}-c|%3C2
و
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_1}-c|=|1-c|%3C2\\&space;|\sin&space;\frac{1}{x_2}-c|=|1&plus;c|%3C2\\
وهكذا فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\\&space;2=|1-c&plus;1&plus;c|\leq||1-c|&plus;|1&plus;c|=2&plus;2=4\Rightarrow&space;2%3C4

وعليه فان هذا الجوار غير مناسب ويجب ان نختار جوار اصغر منه
اذن لحساب النهاية نحن نسعى للاقتراب من النهاية فيمكن ان نبدأ بجوار كبير ولكن يبجب ان نسعى لنقترب من النهاية والا فلن نعرف وجود النهاية من عدمه وكما قلت اختي الكريمة فان الجوار يشبه عدسة المنظار التي ننظر بها للنهاية و لكن حساب النهاية هو ضبط العدسة بالاقتراب من النهاية

اخيراً اريد ان اقول تعليقاً على الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20\sin(x^{-1})
اذا كانت الاهتزازات تتناقص ارتفاعتها من جانبي نقطة النهاية كلما سعينا نحو نقطة النهاية فاننا نتوقع ارتفاع يساوي الصفر عند نقطة النهاية وعليه فان النهاية موجودة و تساوي الصفر وحساب النهاية يتم عن تطريق تضيق الخناق على الدالة باستخدام دوال معلومة السلوك تحصر الدالة (الساندوش)

اذن اعتراضي كان يكمن في المقارنة بين اختيار جوار يقرب النقطة والوصول للنهاية عن طريق الاقتراب اكثر واكثر من نقطة النهاية و بين اختيار جوار كبير S_1 لدراسة سلوك الدالة من دون الاقتراب من الدالة و القول بان الدالة تتناقص او تتزايد خلال هذا الجوار. ربما ان وجهة نظري غير صحيحة حول هذه النقطة او انني لم افهم المغزى الذي كان يرمي له اخي الكريم "لا اعرف شئ".

بارك الله فيك اختي الكريمة تغريد على هذا النقاش الرائع المثمر جداً
وزادك الله علماً وحكمة وفقك الله لما يحب و يرضى





بارك الله فيك أخي الكريم الصادق
فمن غرس حب العلم في نفسه يطرب دوما لسماع المعلومة الجميلة و النقاش المثمر.
(أو كما كان يقول أخي و أستاذي المتفيزق)

نعم أخي الكريم إذا أردنا حساب النهاية يجب ضبط العدسة بالاقتراب من النهاية بصورة لا نهائية

أما اختيار ذلك الجوار s فيما سبق من نقاش
فلم يكن لحساب ذات النهاية
و إنما كان تعاملا مع جزئية من تعريف النهاية عند تثبيت نصف قطر جوار r حول النهاية b
كما كان في المثال الموضح بالرسم.
و كنت أهدف من خلاله تأكيد المنطق الرياضي لجزئية من عبارات التعريف
لأنه في كثير من الأحيان يحدث خلط في تلك النقطة

نعم أخي الكريم توضيحك بالنسبة للدوال http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20\sin(x^{-1})
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\sin(x^{-1})
دقيق تماما

و كذلك يمكن استخدام التعريف في إثبات وجود النهاية للدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20\sin(x^{-1})
.
وفقك الله أخي الكريم لما فيه خير الدنيا و الآخرة و أنعم عليك بعفوه و عافيته و رضاه

[تغريـد]

أخي الكريم لا أعلم شيء
أثارت انتباهي مشاركة أخي الكريم الصادق السابقة لنقطة قد تكون السبب في تصورك
أن الدالة يجب أن تكون تزايدية أو تناقصية

و ربما كنت تقصد أنها ستكون إما تزايدية أو تناقصية
في جوار ما بنصف قطر محدد عن اليمين
وكذلك حال الأمر من اليسار

و ذلك لأن مقتضى التعريف يتطلب أننا كلما صغرنا الجوار r حول النهاية b
فإن الجوار s حول x سوف يصغر
وبالتالي يتوقع ان الدالة لو بدأت من نقطة في الجوار بقيمة أقل من النهاية
فلا بد أنها تسلك سلوكا تزايديا حتى تصل لتلك النهاية
و لو أنها بدأت من نقطة أكبر فلا بد أن تسلك سلوكا تناقصيا حتى تصل للنهاية

و هذا الكلام في كثير من الحالات صحيح
إلا أنه لا يصلح أن يكون حالة عامة
لأن هناك أمثلة تكون الدالة فيها متذبذبة تسلك سلوكا متأرجح تزايديا تناقصيا
و لكنها في ذات الوقت تؤؤول لتلك النهاية
كما نرى في الحركة الحلزونية فالحركة في ظاهرها دورانية
و لكنها تنتهي في اتجاه محور الدوران

أو كما في المثال
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20\sin(x^{-1})

المشار إليه في المشاركات السابقة
فلا يوجد جوار مهما حاولنا تكون فيه الدالة
إما تزايدية فقط أو تناقصية فقط سواء يمين أو يسار النقطة صفر

و الله تعالى أعلم
بارك الله فيك و وفقك

[الصادق]

أما اختيار ذلك الجوار s فيما سبق من نقاش
فلم يكن لحساب ذات النهاية
و إنما كان تعاملا مع جزئية من تعريف النهاية عند تثبيت نصف قطر جوار r حول النهاية b
كما كان في المثال الموضح بالرسم.
و كنت أهدف من خلاله تأكيد المنطق الرياضي لجزئية من عبارات التعريف
لأنه في كثير من الأحيان يحدث خلط في تلك النقطة

لم اكن متابع للنقاش بتفاصيله ومن العجلة لم اقرأ جميع المشاركات و اكتفيت بردود اخي "لا اعلم شئ" الموجه لي فقط حتى ابر بوعد قطعته بالمشاركة في الموضوع . لذا اعتذر لك اخي "لا اعلم شئ" على سوء التفهم من جانبي وارجو منك اخي ان لا تسقط ردودي على كل الاسئلة التي طُرحت في المناقشة

اختي الكريمة تغريد
بارك الله فيك وجزاك الله خير الجزاء على هذا النقاش الرائع وزادك الله من نوره وافاض عليك من العلم والمعرفة ونفعنا بعلمك ان شاء الله ووفقك الله لما يحب و يرضى

اخي الكريم "لا اعلم شئ
بارك الله فيك اخي و زادك الله من نوره وافاض عليك من العلم والمعرفة ووفقك الله لما يحب و يرضى