استفسار من كتاب بموضوع النهايات

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[لا اعرف شيئ]

وهذه صورة اخرى

[لا اعرف شيئ]

قرأت بحث النهايات من احد الكتب وسحبت صورة تعريفين مع امثله

لكن عندي بعض الأستفسارات

السؤال الذي جال في بالي كثيرا لماذا لم نأخذ في التعريف الاول ان س>ب حيث ان ب عدد صحيح

يعني لماذا في التعريف اخذنا انه يجب ان تكون قيم س موجبه تماما

كذلك الامر في التعريف الثاني لماذا اخذنا انه يجب ان تكون قيم س سالبه تماما ولم ناخذ ب عدد صحيح

يعني ما المانع ان يكون ب عدد صحيح وليس موجبا تماما في الاول او سالبا تماما في الثاني


وعندي بعد ما تجاوبوني على هذه الاسئله سؤال اخر في المثال

ولكم جزيل الشكر

[مهند الزهراني]

اعذرني أخي بموضوع النهايات لا أعرف سوى ما هو في مقررات الثانوية ، تعريف كوشي للنهاية قرأته سابقا وطبقت عليه مسائل وهو تقريبا يحل كافة مسائل النهايات بعد صعوبة ، لكن ربما الان لا يحضرني الكثير منه ، انتظر الاساتذة الكرام هنا ليفيدوننا ...

[Weierstrass-Casorati]

قرأت بحث النهايات من احد الكتب وسحبت صورة تعريفين مع امثله

لكن عندي بعض الأستفسارات

السؤال الذي جال في بالي كثيرا لماذا لم نأخذ في التعريف الاول ان س>ب حيث ان ب عدد صحيح

يعني لماذا في التعريف اخذنا انه يجب ان تكون قيم س موجبه تماما

كذلك الامر في التعريف الثاني لماذا اخذنا انه يجب ان تكون قيم س سالبه تماما ولم ناخذ ب عدد صحيح

يعني ما المانع ان يكون ب عدد صحيح وليس موجبا تماما في الاول او سالبا تماما في الثاني


وعندي بعد ما تجاوبوني على هذه الاسئله سؤال اخر في المثال

ولكم جزيل الشكر

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أخي الكريم، لا أظن أن التعريف يضع ب عدد موجب في الحالة الأولى وسالب في الحالة الثانية كشرط
ولكن التعريف الأول في حالة بحث النهاية عندما تقترب س من اللانهاية الموجبة يقول
أنه لكل هـ > 0 إذا وجدت ب> 0 بحيث تحقق الشرط المذكور في التعريف (وهو أن |تا (س) - جـ | < هـ لكل س> ب) كان للدالة نهاية تساوي جـ

وفي حالة بحث النهاية عندما تقترب س من اللانهاية السالبة فإنه اذا وجدت ب < 0 بحيث تحقق الشرط المذكور في التعريف (وهو أن |تا (س) - ء | < هـ لكل س< ب) كان للدالة نهاية تساوي ء

وأتمنى أن يوضح الرسم

الحالة الأولى:
اعتبر دالة ما ولتكن تا(س) ولها نهاية تساوي جـ عندما تتجه س إلى اليمين (اللانهاية الموجبة)

http://dc02.arabsh.com/i/01909/0lucr393lxng.jpg

فالتعريف يقول أن نهاية تا(س) عندما تقترب س من اللانهاية الموجبة هي جـ إذا وفقط كان:
لكل هـ > 0 يوجد ب > 0 بحيث |تا (س) - جـ | < هـ عندما س> ب


الحالة الثانية:
اعتبر دالة ما، لها نهاية تساوي ء عندما تتجه س إلى اليسار (اللانهاية السالبة)

http://dc02.arabsh.com/i/01909/on8zv2nien2g.jpg

فالتعريف يقول أن نهاية تا(س) عندما تقترب س من اللانهاية الموجبة هي ء إذا وفقط كان:
لكل هـ > 0 يوجد ب < 0 بحيث |تا (س) - ء | < هـ عندما س< ب

هذا ما فهمته والله أعلم
وفي انتظار الاساتذة للتعليق والتوضيح

[عقروب الفيزياء]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بالنسبة للاخ Weierstrass-Casorati اشكرك على المجهود و على الرسوم التوضيحية لكنها ليست دقيقة كفايه
اعتقد ان السبب هو
ان كلامك يا اخي ( لا اعرف شيئ ) الذي قلته صحيح عندما يكون هـ والذي يمثل نصف قطر الجوار الذي مركزه نهاية التابع
ليس صغيرا يعني لو انك كبرت قيمة الجوار لكنا لاحظنا ان س اخذت قيم سالبه بالنسبه للتعريف الاول وقيم موجبه بالنسبة للتعريف الثاني ( يعني راح تفكيرك لبعيد وما اخذت كلام انو هـ صغيرة :laughter01:)

لكن من التعريف وجدنا انه قال ( عدد موجب هـ مهما صغر ) وهنا بالتأكيد ستكون قيمة س قيمة موجبة تماما بالتعريف الاول و س سالبه تماما في التعريف الثاني لان قيمة الجوار سوف تكون صغيرة

[Weierstrass-Casorati]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بالنسبة للاخ Weierstrass-Casorati اشكرك على المجهود و على الرسوم التوضيحية لكنها ليست دقيقة كفايه
اعتقد ان السبب هو
ان كلامك يا اخي ( لا اعرف شيئ ) الذي قلته صحيح عندما يكون هـ والذي يمثل نصف قطر الجوار الذي مركزه نهاية التابع
ليس صغيرا يعني لو انك كبرت قيمة الجوار لكنا لاحظنا ان س اخذت قيم سالبه بالنسبه للتعريف الاول وقيم موجبه بالنسبة للتعريف الثاني ( يعني راح تفكيرك لبعيد وما اخذت كلام انو هـ صغيرة :laughter01:)

لكن من التعريف وجدنا انه قال ( عدد موجب هـ مهما صغر ) وهنا بالتأكيد ستكون قيمة س قيمة موجبة تماما بالتعريف الاول و س سالبه تماما في التعريف الثاني لان قيمة الجوار سوف تكون صغيرة

معك حق أخي عقروب الفيزياء ولكن التعريف سيظل صحيحا لكل هـ>0 "سواء كانت صغيرة أم كبيرة" بشرط أن تكون القيمة المطلقة لفرق تا(س) و جـ أقل من هـ لكل قيم س>ب
فقوله في التعريف مهما صغر لا يعني بالضرورة أن التعريف لا يجري على الحالات التي تكون فيها هـ كبيرة وهذا واضح عندما قال لكل هـ>0 بدون تحديد، وهذا بالطبع ما دامت الدالة تسمح بذلك فأحيانا نضطر لاعتبار هـ>0 صغير

[عقروب الفيزياء]

طيب اخي سأكون معك اذا اقنعتني انت بعدم صحة ما يحدث هنا

ليكن لدينا التابع تا(س) خطه البياني (ى) لاحظ انه عندما كبرت قيمة نصف قطر الجوار ه اللذي مركزه النهاية جـ اصبحت هنالك اعداد سالبه س وتحقق ان س > ب بحيث انه عندما تسعى س الى المالانهايه الموجبة يسعى التابع الى العدد جـ فما هو تفسيرك

[Weierstrass-Casorati]

طيب اخي سأكون معك اذا اقنعتني انت بعدم صحة ما يحدث هنا

ليكن لدينا التابع تا(س) خطه البياني (ى) لاحظ انه عندما كبرت قيمة نصف قطر الجوار ه اللذي مركزه النهاية جـ اصبحت هنالك اعداد سالبه س وتحقق ان س > ب بحيث انه عندما تسعى س الى المالانهايه الموجبة يسعى التابع الى العدد جـ فما هو تفسيرك

أخي عقروب الفيزياء أسعدني تجاوبك السريع وحقيقة استفدت من كلامك كثيرا وأتمنى أن تتحملني حتى أفهم هذا الموضوع المهم الذي طرحه أخي لا أعرف شيء
فحقيقة أن التعريف يتضمن ب>0 في الحالة الأولى وب<0 في الحالة الثانية موجود في كل المراجع وهو ما أراه صحيح والسبب
أن في هذه المثال الذي ذكرته أنت يوجد ب<0 تحقق الشرط وكلامك صحيح
ولاحظ أني لم أقل أن التعريف يتحقق لكل هـ>0 صغيرة أو كبيرة "دائما" ، ولكن قلت بشرط... وقد تحقق الشرط هنا فكان التعريف صحيح لـ ب السالبة

ولكن بما أن التعريف عام لجميع الدوال فلو اعتبرنا مثلا هذه الدالة فلا يمكن أن نجعل هـ كبيرة للدرجة التي تجعل ب<0 لأن الشرط في التعريف لن يتحقق لكل قيم س>ب1 مثلا وهذا ما قصدته عندما قلت ما دامت الدالة تسمح بذلك

http://dc03.arabsh.com/i/01914/cu5kg1ry18zo.jpg

ما أقصده أنه في جميع الحالات التي يكون فيها لـ تا(س) نهاية تساوي جـ عندما تؤول س إلى اللانهاية الموجبة توجد ب>0 تحقق التعريف ولكن لا يشترط أن تكون هناك ب<0 تحقق التعريف (ربما تكون موجودة كما في المثال الذي ذكرته انت وقد لا تكون موجودة كما في هذا المثال)
ولهذا لم يذكر التعريف ب السالبة

[لا اعرف شيئ]

الاخ Weierstrass-Casorati لماذا لا نستطيع ان نا خذ قيمة هـ كبيرة في مثالك الذي ذكرته انت

دوما تصر على رسم هـ صغيرة يعني لوكان نصف قطر الجوار من مكان الخط الذي انا
رسمته بعد تعديلي على مثالك اين ستكون المشكلة
وستكون هنالك قيم سالبة تحقق الشرط حسب الشكل

[Weierstrass-Casorati]

الاخ Weierstrass-Casorati لماذا لا نستطيع ان نا خذ قيمة هـ كبيرة في مثالك الذي ذكرته انت

دوما تصر على رسم هـ صغيرة يعني لوكان نصف قطر الجوار من مكان الخط الذي انا
رسمته بعد تعديلي على مثالك اين ستكون المشكلة
وستكون هنالك قيم سالبة تحقق الشرط حسب الشكل

نعم ستكون هناك قيم سالبة تحقق الشرط حسب ما رسمته
ولكني أحببت أن أوضح فقط أنه ما دام للدالة نهاية عندما تؤول س إلى الللانهاية فقد تجد (وليس دائما) قيمة سالبة لـ ب تحقق التعريف ولكن ستجد دائماً قيمة موجبة تحققه ولهذا اعتبر التعريف أن ب>0

[لا اعرف شيئ]

هل هذا يعني انه في المسألة اذا نتج بالاخير ان س > ( قيمه سالبه )
سيكون ذلك صحيحا ويكون التابع يسعى الى قيمة جـ

عندي سؤال اخر في المثال الاول لماذا اعتبر انه بما ان س تسعى الى اللانهاية الموجبة فأن س-1 ذات قيمة موجبه
بالتالي تكون قيمتها المطلقة تساويها ؟؟؟؟؟

[Weierstrass-Casorati]

أخي لا اعرف شئ لقد قلبت مثالي السابق ضدي :D
وأتمنى أن لا تفعل المثل مع هذا المثال أيضاً
http://dc06.arabsh.com/i/01916/ucx5a41otisx.jpg


هل هذا يعني انه في المسألة اذا نتج بالاخير ان س > ( قيمه سالبه )
سيكون ذلك صحيحا ويكون التابع يسعى الى قيمة جـ


أظن أن هذا صحيح كما هو الحال في المثال الذي ذكره أخي عقروب الفيزياء في المشاركة الثامنة
حيث كان هناك نهاية للدالة تساوي جـ لأنه لـ ب السالبة تحقق أنه لكل س>ب ... | تا(س) -جـ | < هـ

[عقروب الفيزياء]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الاخ ( لا اعرف شيئ ) اعتقد انك لم تقلب المثال الذي اعطاه الاخ Casorati وسأقول السبب

صحيح انك اوجدت قيم سالبه تحقق انه اذا اصطنعنا عندها جوار معين كان الفرق | س – جـ | < هـ

محققا لكنك نسيت انت والاخ Casorati في هذا المثال بأنه توجد اعداد موجبة بعد العدد ب1 الذي

اخذته انت لا تحقق الفرق السابق | س – جـ | < هـ

وكمثال على ذلك خذ الجوار الذي اخذته انا الذي نصف قطره هـ حيث اخذت النقطة ب2 لا حظ وجود

نقط تنتمي للتابع ولا تحقق الشرط

يعني الخلاصة انه يجب ان لانكتفي بجوار واحد

لانه قال في التعريف اياً كانت هـ > 0

اذا انا اتفق مع الاخ Casorati في انه يجب بالقول ( دامت الداله تسمح بذلك ) يعني بدءاً من نقطة معينه ب نحن نختارها ونقوم في كل مرة بزيادة قيمة ب فأن كان الشرط دوما محقق | س – جـ | < هـ

سيكون التابع يسعى الى جـ

[تغريـد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

عند الحديث عن النهاية لدالة عندما تؤول س إلى ما لا نهاية
نحن بحاجة لبعض التعديلات على التعريف
لأننا إذا بدأنا بنصف قطر جوار حول النهاية و لتكن b فإننا نحتاج إيجاد نصف قطر لجوار حول ما تؤول إليه س
و هذه الإشكالية هنا تقتضي تغييرا في التعريف لأن المالانهاية ليست عدد ختى نستطيع تعريف جوار حولها

و لحل الإشكالية لنرجع إلى المقصود بالنهاية
إننا نريد معرفة سلوك الدالة كلما كبرت قيمة س هل تقترب الدالة إلى قيمة معينة
لذا سنبدأ كالعادة بنصف قطر جوار حول النهاية المفترضة و لتكن b فإننا يجب أن نجد قيمة Mستكون كل صور الدالة لقيم س الأكبر منM (ما يقوم مقام جوار المالانهاية ) موجودة في
جوار النهابة b مهما كان نصف قطر الجوار r صغيرا

أرجو أن تكون الصورة واضحة الآن

يمكنك تخيل ماذا يجب أن نفعل عندما تؤول س إلى سالب مالانهاية