زولديك
13-09-2010, 20:30
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته , سئلت الاخت "طالبة فقط " السؤال التالي وهو"" اريد ان اعرف كيفية استنتاج قانون مساحة القطاع الزاوي
يعني اريد برهان على القانون "" كان هناك أربع إجابات صحيحة و هي لــمهند الزهراني و الأخ لا اعرف شئ و لي (زولديك) و الاخWeierstrass-Casorati و أما إجابتي و إجابة الاخ لا أعرف شئ فكانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{a}\sqrt{r^2-x^2}dx و هي إجابة صحيحة مئة بالمئة , لكن , انا و الأخ لا اعرف شئ أشتركنا في نفس الفكرة الغلط , و هي انه عندما نستبدل الــx بــhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?a cos(\Theta ) يتحول التكامل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية و هده هي الفكرة الغلط , و لهدا كانت إجابتنا خطأ , فكرة في الحل , فكانت الحلقة المفقودة هي "الجاكوبي" , و لكي اوضح معنى الجاكوبي نبدأ في التالي : ليكن لدينا التكامل الثنائي (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)dydx) و لكي نحوله من تكامل ثنائي بإحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية يكون دلك في النظرية التالية (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dydx=\int_ {\Phi }^{\Psi }\int_{a}^{\rho }f(\rho cos\phi ,\rho sin\phi )Jd\rho d\phi) , حيث الالجاكوبي (J) هو: http://upload.wikimedia.org/math/8/a/b/8abe7379439323987d708a4b9e327978.png ) , الآن لكي نحصل على المساحة تكون الدالة مساوية للوحدة اي http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=1 , و هكدا نستنتج ان المساحة بإحداثيات قطبية هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{\Phi }^{\Psi }\int_{a}^{\rho }\rho d\rho d\phi و كحالة خاصة و هي القطاع الدائري نجعل الزاوية مجهول فنحصل على التالي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0 }^{\Psi }\int_{0}^{\rho }\rho d\rho d\phi =\int_{0}^{\Psi }\rho ^2/2d\phi =\rho ^2 \Psi /2 , الآن أصبح واضح ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho d\rho d\phi =dydx\Rightarrow \int \rho d\rho d\phi=\int dydx\Rightarrow ydx=\rho ^2d\Psi /2 , فإدا ما رجعنا إلى تكاملنا الاول إضافة إلى ما تقدم لنستنتج أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{\rho }\sqrt{\rho ^2-x^2}dx=\int_{0}^{\rho }ydx=\int_{0}^{\Psi }\rho ^2d\Psi /2=\rho ^2\Psi /2. سؤال مهم يطرح نفسه , ما معنى التكامل( http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx ) , لجد هدا التكامل في التالي (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{x=\varphi }\sqrt{\rho ^2-x^2}dx\Rightarrow x= \rho cos\phi \Rightarrow \int_{0}^{x=\varphi }\rho (\sqrt{1-cos\phi ^2})(-\rho sin\phi )d\phi =-\rho ^2\int_{0}^{\rho }sin\phi ^2d\phi =(1/2)\int_{0}^{x=\psi }(1-cos2\phi )d\phi =\varphi -(1/4)sin2\varphi \Rightarrow A=-\rho ^2(\varphi -(1/4)sin2\varphi )) ,هدا القانون هو قانون القطاع الزاوي لكن بإحداثيات ديكارتية ,لنتأكد من دلك , لاحظ انه عندما بتغير الــdx من 0إلى a و هو نصف القطر يكون التكامل السابق قد غطى الربع الأول من الدائرة , الدي مساحته http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^2\pi /4 , لاحظ أنه عندما (http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\rho cos\phi \Rightarrow x=\rho \Rightarrow cos\phi =1\Rightarrow \phi =0or2\pi) أيضا (http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\rho cos\phi \Rightarrow x=0\Rightarrow cos\phi =0\Rightarrow \phi =\pi /2) لنستنتج انه من 0إلى a يكافئ من http://latex.codecogs.com/gif.latex?\pi /2 إلى 0, و هكدا نستنتج ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx=(-a^2/2)\int_{\pi /2}^{0}sin^2\phi d\phi =A(0)-A(\pi /2)\Rightarrow A(0)=-a^2/2(0-sin0)=0, A(\pi /2)=-a^2/2((\pi /2)-sin2(\pi /2))=+a^2\pi /4 و هدا يتوافق مع النتيجة السابقة , و نستطيع اختباره كما نريد , إدا هدا القانون صحيح و لكنه بإحداثيات ديكارتية . صورة اخرى للقانون http://latex.codecogs.com/gif.latex?A(x)=-a^2/2(\phi -(1/2)sin2\phi )\Rightarrow x=acos\phi \Rightarrow cos\phi =x/a\Rightarrow \phi =cos^-1(x/a)\Rightarrow A(x)=-a^2/2(cos^-1(x/a)-(1/2)sin2cos^-1(x/a)) ,"] و هدا هو الأمر الأهم بعد إيجاد قانون القطاع الزاوي بدلالة الزاوية , و هو التعويض عن قيمة الزاوية بما تساويها بدلالة الــx , و اخيرا اقول للأخ لا اعرف شي عندما تستخدم التحويل في التكاملات عليك بالنظر إلى الدوال بنظرة تجريدية خالية من أي شي , فانت عندما استخدمت التحويل في التكامل السابق كنت تظن أن التعويض بهدا الشكل سيحول العنصر التفاضلي للتكامل من حركة إنسحابية إلى دورانية , و دلك بسبب الزاوية الموجودة في التحويل , و هدا خطا , فلو أنك نظرة نظرة مجردة , اي لا زاوية ولا أي شي آخر كل ما هنالك رموز و معادلات , لكنت اصبت عين الصواب , اما في حالة التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية أو كروية او اسطوانية أو أي إحداثيات تريد , فمن الضروري أستخدام الجاكوبي . ملاحظة قانون القطاع الزاوي بدلالة إحداثيات ديكارتية هو: http://latex.codecogs.com/gif.latex?A(x)=-a^2/2(cos^-1(x/a)-(1/2)sin2cos^-1(x/a)) , عدرا على الإطالة لكن كان لابد من إيضاح الأمور , و الحمد لله رب العالمين[/COLOR]
يعني اريد برهان على القانون "" كان هناك أربع إجابات صحيحة و هي لــمهند الزهراني و الأخ لا اعرف شئ و لي (زولديك) و الاخWeierstrass-Casorati و أما إجابتي و إجابة الاخ لا أعرف شئ فكانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{a}\sqrt{r^2-x^2}dx و هي إجابة صحيحة مئة بالمئة , لكن , انا و الأخ لا اعرف شئ أشتركنا في نفس الفكرة الغلط , و هي انه عندما نستبدل الــx بــhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?a cos(\Theta ) يتحول التكامل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية و هده هي الفكرة الغلط , و لهدا كانت إجابتنا خطأ , فكرة في الحل , فكانت الحلقة المفقودة هي "الجاكوبي" , و لكي اوضح معنى الجاكوبي نبدأ في التالي : ليكن لدينا التكامل الثنائي (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)dydx) و لكي نحوله من تكامل ثنائي بإحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية يكون دلك في النظرية التالية (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dydx=\int_ {\Phi }^{\Psi }\int_{a}^{\rho }f(\rho cos\phi ,\rho sin\phi )Jd\rho d\phi) , حيث الالجاكوبي (J) هو: http://upload.wikimedia.org/math/8/a/b/8abe7379439323987d708a4b9e327978.png ) , الآن لكي نحصل على المساحة تكون الدالة مساوية للوحدة اي http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=1 , و هكدا نستنتج ان المساحة بإحداثيات قطبية هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{\Phi }^{\Psi }\int_{a}^{\rho }\rho d\rho d\phi و كحالة خاصة و هي القطاع الدائري نجعل الزاوية مجهول فنحصل على التالي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0 }^{\Psi }\int_{0}^{\rho }\rho d\rho d\phi =\int_{0}^{\Psi }\rho ^2/2d\phi =\rho ^2 \Psi /2 , الآن أصبح واضح ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho d\rho d\phi =dydx\Rightarrow \int \rho d\rho d\phi=\int dydx\Rightarrow ydx=\rho ^2d\Psi /2 , فإدا ما رجعنا إلى تكاملنا الاول إضافة إلى ما تقدم لنستنتج أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{\rho }\sqrt{\rho ^2-x^2}dx=\int_{0}^{\rho }ydx=\int_{0}^{\Psi }\rho ^2d\Psi /2=\rho ^2\Psi /2. سؤال مهم يطرح نفسه , ما معنى التكامل( http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx ) , لجد هدا التكامل في التالي (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{x=\varphi }\sqrt{\rho ^2-x^2}dx\Rightarrow x= \rho cos\phi \Rightarrow \int_{0}^{x=\varphi }\rho (\sqrt{1-cos\phi ^2})(-\rho sin\phi )d\phi =-\rho ^2\int_{0}^{\rho }sin\phi ^2d\phi =(1/2)\int_{0}^{x=\psi }(1-cos2\phi )d\phi =\varphi -(1/4)sin2\varphi \Rightarrow A=-\rho ^2(\varphi -(1/4)sin2\varphi )) ,هدا القانون هو قانون القطاع الزاوي لكن بإحداثيات ديكارتية ,لنتأكد من دلك , لاحظ انه عندما بتغير الــdx من 0إلى a و هو نصف القطر يكون التكامل السابق قد غطى الربع الأول من الدائرة , الدي مساحته http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^2\pi /4 , لاحظ أنه عندما (http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\rho cos\phi \Rightarrow x=\rho \Rightarrow cos\phi =1\Rightarrow \phi =0or2\pi) أيضا (http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\rho cos\phi \Rightarrow x=0\Rightarrow cos\phi =0\Rightarrow \phi =\pi /2) لنستنتج انه من 0إلى a يكافئ من http://latex.codecogs.com/gif.latex?\pi /2 إلى 0, و هكدا نستنتج ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx=(-a^2/2)\int_{\pi /2}^{0}sin^2\phi d\phi =A(0)-A(\pi /2)\Rightarrow A(0)=-a^2/2(0-sin0)=0, A(\pi /2)=-a^2/2((\pi /2)-sin2(\pi /2))=+a^2\pi /4 و هدا يتوافق مع النتيجة السابقة , و نستطيع اختباره كما نريد , إدا هدا القانون صحيح و لكنه بإحداثيات ديكارتية . صورة اخرى للقانون http://latex.codecogs.com/gif.latex?A(x)=-a^2/2(\phi -(1/2)sin2\phi )\Rightarrow x=acos\phi \Rightarrow cos\phi =x/a\Rightarrow \phi =cos^-1(x/a)\Rightarrow A(x)=-a^2/2(cos^-1(x/a)-(1/2)sin2cos^-1(x/a)) ,"] و هدا هو الأمر الأهم بعد إيجاد قانون القطاع الزاوي بدلالة الزاوية , و هو التعويض عن قيمة الزاوية بما تساويها بدلالة الــx , و اخيرا اقول للأخ لا اعرف شي عندما تستخدم التحويل في التكاملات عليك بالنظر إلى الدوال بنظرة تجريدية خالية من أي شي , فانت عندما استخدمت التحويل في التكامل السابق كنت تظن أن التعويض بهدا الشكل سيحول العنصر التفاضلي للتكامل من حركة إنسحابية إلى دورانية , و دلك بسبب الزاوية الموجودة في التحويل , و هدا خطا , فلو أنك نظرة نظرة مجردة , اي لا زاوية ولا أي شي آخر كل ما هنالك رموز و معادلات , لكنت اصبت عين الصواب , اما في حالة التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية أو كروية او اسطوانية أو أي إحداثيات تريد , فمن الضروري أستخدام الجاكوبي . ملاحظة قانون القطاع الزاوي بدلالة إحداثيات ديكارتية هو: http://latex.codecogs.com/gif.latex?A(x)=-a^2/2(cos^-1(x/a)-(1/2)sin2cos^-1(x/a)) , عدرا على الإطالة لكن كان لابد من إيضاح الأمور , و الحمد لله رب العالمين[/COLOR]