تحتاج تفكير ...

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ...

فكروا في اثبات هذي المتباينة بدون استخدام المتباينات المعيارية ( متباينة الوسطين - كوشي - ... )

فقط باستخدام خاصية معروفة في الاعداد الحقيقة ( ضمن مناهج الثانوي ) ...

أثبت المتباينة التالية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1 )(d^2+d+1)}{abcd}\geq&space;81

" مربع اي عدد حقيقي أكبر من ..... "

:D:D:D

[نورة الشريف]

والله شكل السؤال حلو وممتع .. بس الله يهديك ما حطيته غير اليوم .. كآن حطيته أمس الخميس فااضين ..

بإذن الله راجعة مع السؤال الجميل هذاا ..

[زولديك]

بسم الله الرحمن الرحيم

ما ادري وش تقصد بتلميحك على الثانوي (لأني ما درست ثانوي) اكن هده محاولة لعلى و عسى

نكتب المقدار على الصورة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{(a^{2}+a+1)}{a}.\frac{b^{2}+b+1}{b }.\frac{(c^{2}+c+1)}{c}.\frac{(d^{2}+d+1)}{d} ,

الآن نعمد إلى دراسة حد من الحدود بعد وضعه على الصورة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{(a^{2}+a+1)}{a}=(a+1+\frac{1}{a})= 1+(a+(\frac{1}{a})) الىن ندرس اقل قيمة ياخدها الحد الدي بين القوسين "بدون تفصيلات"و دلك بغستخدام التفاضل و دراسة القيم العظمى و الضغرى , لنج أن القيمة الضغرى لهدا الحد هي 2 , و هكدا نستنتج ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{(a^{2}+a+1)}{a}=(a+1+\frac{1}{a})= 1+(a+(\frac{1}{a}))\geq 1+(2)\geq 3 , و حيث ان القيمة الضغرى تتحقق عندما يأخد a القيمة (1) نستنتج ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{(a^{2}+a+1)}{a}.\frac{b^{2}+b+1}{b }.\frac{(c^{2}+c+1)}{c}.\frac{(d^{2}+d+1)}{d}\geq \frac{3.3.3.3}{1.1.1.1}=81

[زولديك]

عدرا على الاخطاء الطباعية "بس مستعجل لاح يسبقني على الإجابة":D:D:D:D

[نورة الشريف]

بسم الله الرحمن الرحيم ... الحل بدون تفصيل لأني شوي مشغولة فاعذرني ..
1-http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;a+\frac{1}{a}\geq&space;2 .. ويمكن اثباتها بالوسطين ..

2- الطرف الأيسر للمتباينة بعد التفكيك يتحول الى :http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;(a+\frac{1}{a}+1)(b+1+\frac{1}{b} )(c+1+\frac{1}{c})(d+1+\frac{1}{d})

نعوض عن أصغر شي ممكن نعوض فيه اللي هو 2 مأخوذ من الخطوة الأولى ..
ولو عوضنا .. راح تساوي 3×3×3×3 = 81 .. هذا في حالة المساواة .. اذن أي قيمة تطلع أكبر من 2 ونعوض فيها راح يطلع عدد أكبر من 81 ...

بس سؤال .. وين ماخذينها في الثانوي ؟ ومن وين جاء تربيع أي عدد حقيقي ؟؟

شكرا أخي مهند ع المسألة ...

[نورة الشريف]

أخي مهند ..
فكروا في اثبات هذي المتباينة بدون استخدام المتباينات المعيارية ( متباينة الوسطين - كوشي - ... )


قصدك ما أدخل في الحل متباينة الوسطين نهائيا .. لأني تطرقت لها في الخطوة الأولى ..
اذا كان مثل ما قلت .. راح أثبتها بطريقة ثانية ..

[زولديك]

مهند وينك

[زولديك]

حلي واضح ولا لأ عزيزي مهند

[زولديك]

بسم الله الرحمن الرحيم ... الحل بدون تفصيل لأني شوي مشغولة فاعذرني ..
1-http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;a+\frac{1}{a}\geq&space;2 .. ويمكن اثباتها بالوسطين ..

2- الطرف الأيسر للمتباينة بعد التفكيك يتحول الى :http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;(a+\frac{1}{a}+1)(b+1+\frac{1}{b} )(c+1+\frac{1}{c})(d+1+\frac{1}{d})

نعوض عن أصغر شي ممكن نعوض فيه اللي هو 2 مأخوذ من الخطوة الأولى ..
ولو عوضنا .. راح تساوي 3×3×3×3 = 81 .. هذا في حالة المساواة .. اذن أي قيمة تطلع أكبر من 2 ونعوض فيها راح يطلع عدد أكبر من 81 ...

بس سؤال .. وين ماخذينها في الثانوي ؟ ومن وين جاء تربيع أي عدد حقيقي ؟؟

شكرا أخي مهند ع المسألة ...

السلام عليكم اخيتي نورة :a_plain111:, بس حبيت اسالك في حالة برهانك هدا كيف نستنتج قيمة حاصل الضرب abcd في مقام المتباينة ,

[نورة الشريف]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته أخي .. والله ما فهمت سؤالك .. يعني ايش نستفيد اذا استنتجنا قيمة حاصل الضرب abcd في مقام المتباينة ؟
ع العموم راح أحط الحل بالتفصيل ..
الطرف الأيسر =http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\frac{(a^2+a+1)}{a}.\frac{(b^2+b +1)}{b}.\frac{(c^2&space;+c+1)}{c}.\frac{(d^2+d+1)}{ d}

نأخذ الكسر الأول :http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;\frac{(a^2+a+1)}{a}=a+\frac{1}{a }+1

وهكذا بالبقية ..

طالما أن الحد الأول على الصورة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;a+\frac{1}{a}+1
فنحن بحاجة الى أصغر قيمة ممكنة لــhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;a+\frac{1}{a} أصغر قيمة يمكن أن أجدها اذا حققت المتباينة المساواة مع احد الأعداد ..
أطبق عليها متباينة Am -Gm ..
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;a+\frac{1}{a}&space;\geq&space;2\sqrt{a.\fra c{1}{a}}=2
أصغر قيمة ممكن أن يأخذها هي 2 ..
لذلك أعوض عن كل حد بـ 2 +1 = 3 .. وذلك لأحصل على أصغر قيمة .. في حالة كانت أصغر قيمة = 81 اذن فالاثبات صحيح
..
لو عوضنا بـ 3 .. تصبح 3.3.3.3 =81 ..
اذن الاثبات صحيح ..

..

[زولديك]

مدري وش فيك معصبة , على العموم سؤال بس مشان الفائدة , بس مهند وينه يا جماعة , اختفى

[نورة الشريف]

لا والله لا معصبة ولا شي .. اي أخوي مهند مختفي من زماان ..

[زولديك]

طيب , نورة حلي صحيح ولا لأ

[نورة الشريف]

والله يا أخي انا لا أستطيع الحكم على حلك لأن هذه مسؤلية أخي مهند فلا يحق لي أن أحل محله .. مالك غير ان تنتظره ..

[زولديك]

بسلموا على الدوق الرفيع

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

بداية كل الحلول التي طرحت صحيحة ، وهناك طريقتين اخريين لم يتم التطرق لها وساعرضها بالرد التالي ...

[مهند الزهراني]

اخواني الكرام هذه الفكرة الاولى البسيطة ويمكننا الانتقال بنفس الطريقة لكل مجهول

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(a-1)^2\geq&space;0\Leftrightarrow&space;a^2+1\geq&space;2a\Leftrightar row&space;a^2+a+1\geq&space;3a
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(b-1)^2\geq&space;0\Leftrightarrow&space;b^2+1\geq&space;2b\Leftrightar row&space;b^2+b+1\geq&space;3b
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(c-1)^2\geq&space;0\Leftrightarrow&space;c^2+1\geq&space;2c\Leftrightar row&space;c^2+c+1\geq&space;3c
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(d-1)^2\geq&space;0\Leftrightarrow&space;d^2+1\geq&space;2d\Leftrightar row&space;d^2+d+1\geq&space;3d

بضرب المتباينات الاربعة السابقة ببعضها

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)(d^2+ d+1)\geq&space;81abcd

وهي مكافئة للمتباينة السابقة ..

،،،

من ناحية اخرى يمكن الحصول على نفس المتباينات السابقة كالتالي من متباينة تدعى متباينة الوسطين AM-GM

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;a_1,a_2,...,a_n\in&space;\mathbb{R}^+\ Rightarrow&space;\frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n}\geq&space;\left&space;( &space;\prod_{k=1}^{n}a_k&space;\right&space;)^{\frac{1}{n}}

وما كنت أقصده في البداية هو الفكرة الاولى ،،

موفقين ...

[زولديك]

اجل , قضينا

[زولديك]

أخي مهند ..


قصدك ما أدخل في الحل متباينة الوسطين نهائيا .. لأني تطرقت لها في الخطوة الأولى ..
اذا كان مثل ما قلت .. راح أثبتها بطريقة ثانية ..

اخيتي نورة , ننتظر برهانك الثاني "لا تعصبي مشان الفائدة بس:s_thumbup:"