قانون(low) دي موافر

[زولديك]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم,,,

برهن قانون (low) دي موافر بطريقتين مختلفتين
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} { z^{n}=\left | z \right |^{n}(cos(n\Psi ))+isin(n\Psi )=(\left | z \right |(cos(n\Psi )+isin(n\Psi )))^{n}}}rf
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpg

بالتوفيق,,,:s_thumbup:

[زولديك]

وين ما في حد

[مهند الزهراني]

بداية أفضل الصياغة المعممة لقانون ديموافر

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\prod_{k=1}^{n}z_k=\prod_{k=1}^{ n}r_k\left&space;(&space;\cos&space;\sum_{k=1}^{n}\theta&space;_k+i\sin\su m_{k=1}^{n}\theta&space;_k&space;\right&space;)

حيث

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;z_m=r_m(\cos&space;\theta_m+i\sin&space;\the ta&space;_m)&space;\&space;,&space;\&space;\forall&space;m\in&space;\left&space;\{&space;1,2,...,n&space;\righ t&space;\}

وان شاء الله اذا قدرت باحط برهان بالرد التالي ...

[مهند الزهراني]

نثبتها باستخدام الاستقراء الرياضي ...

عند n=1 الصيغة واضحة وهي الصيغة المثلثية لعدد مركب ..

نفرض صحة العلاقة عند n=k أي نفرض أن العلاقة التالية صحيحة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;z^k=r^k(\cos&space;kx+i\sin&space;kx):r=\lef t&space;|&space;z&space;\right&space;|

الان يجب أن نثبت صحة العلاقة عند n=k+1 كالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;z^{k+1}=z^k.z=r^{k+1}\left&space;[&space;\left&space;(&space;\cos&space;kx&space;\cos&space;x-\sin&space;kx&space;\sin&space;x&space;\right&space;)&space;\right+i\left&space;(&space;\sin&space;kx&space;\c os&space;x+\cos&space;kx&space;\sin&space;x&space;\right&space;)&space;]

وبالاستفادة من قوانين حساب المثلثات لما بين القوسين نستنتج أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;z^{k+1}=r^{k+1}\left&space;(&space;\cos&space;(k+1 )x&space;+i\sin&space;(k+1)x\right&space;)

" ملاحظة : الطريقة السابقة في الاثبات تثبت العلاقة عند قيم n الطبيعية فقط "

[زولديك]

نثبتها باستخدام الاستقراء الرياضي ...

عند n=1 الصيغة واضحة وهي الصيغة المثلثية لعدد مركب ..

نفرض صحة العلاقة عند n=k أي نفرض أن العلاقة التالية صحيحة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;z^k=r^k(\cos&space;kx+i\sin&space;kx):r=\lef t&space;|&space;z&space;\right&space;|

الان يجب أن نثبت صحة العلاقة عند n=k+1 كالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;z^{k+1}=z^k.z=r^{k+1}\left&space;[&space;\left&space;(&space;\cos&space;kx&space;\cos&space;x-\sin&space;kx&space;\sin&space;x&space;\right&space;)&space;\right+i\left&space;(&space;\sin&space;kx&space;\c os&space;x+\cos&space;kx&space;\sin&space;x&space;\right&space;)&space;]

وبالاستفادة من قوانين حساب المثلثات لما بين القوسين نستنتج أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;z^{k+1}=r^{k+1}\left&space;(&space;\cos&space;(k+1 )x&space;+i\sin&space;(k+1)x\right&space;)

" ملاحظة : الطريقة السابقة في الاثبات تثبت العلاقة عند قيم n الطبيعية فقط "

طيب و كيف نعمم البرهان ؟. لو قدرت تعمم , يصير عندي 3 براهين لقانون دي موافر :a_plain111: , انتظر تعميمك ,انتظرك على خير عزيزي مهند :s_thumbup:

[زولديك]

مهند وينك