متباينة بسيطة

[الموهوب66]

أثبت أن



http://store3.up-00.com/Oct10/RDG07696.jpg (http://www.up-00.com/)


بالتفصيل

[زولديك]

أثبت أن



http://store3.up-00.com/Oct10/RDG07696.jpg (http://www.up-00.com/)


بالتفصيل

البرهان

بسم الله الرحمن الرحيم

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\ sqrt{b}})=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ a+b}}{\sqrt{b}}=\sqrt{1+\frac{a}{b}}+\sqrt{1+\frac {b}{a}}=\sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }} , و بدراسة أصغر قيمة ياخدها http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{\Psi } نجد انها الواحد الصحيح , و هكدا نستنتج ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Psi =1 \Rightarrow \sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}=\sqrt{1+1}+\sqrt{1+\frac{1}{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{ 2}=2\sqrt{2} حيث هده هي اقل قيمة , بالتالية نجد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}=\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b} })\geq 2\sqrt{2}}

[مهند الزهراني]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sqrt{a+b}\left&space;(&space;\frac{1}{\sqrt {a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}&space;\right&space;)\geq&space;\frac{\sqrt{a +b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\geq&space;2\s qrt{\frac{a+b}{\sqrt{ab}}}\geq&space;2\sqrt{2}

بعد تطبيق متباينة الوسطين التي تنص على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;x,y\in&space;\mathbb{R}^+\Leftrightarr ow&space;\frac{x+y}{2}\geq&space;\sqrt{xy}

[زولديك]

عفوا برهاني خاطئ