توضيحات حول الأرقام المعنوية

[إبراهيم مرغوب]

( أصل هذه المشاركة محاضرة قدمتها لمجموعة من المعلمين والمعلمات عبر الإنترنت
وطلبوا مني مزيداً من التوضيح حول المادة العلمية المتعلقة بالأرقام المعنوية )

وإنني بهذه المشاركة البسيطة أحاول أن أرد شيئاً من الجميل لهذا المنتدى الرائع والنفيس.



الأرقام المعنوية Significant Figures ليست أرقاماً جديدة إنما تمثل أرقاماً نتجت عن قياس شيء ما.

فإذا استخدمنا المسطرة لقياس طول الكتاب، ووجدنا أن طول الكتاب 23 سم،
فهل يعني ذلك أننا نستطيع أن نجزم أن طول الكتاب 23 سم بالضبط دون زيادة ملم أو نقصان ملم؟؟
لكن لو حددنا أن طول الكتاب 23.000 سم، فإننا بذلك نجزم أن طول الكتاب 23 سم بالضبط دون زيادة ملم أو نقصان ملم.
ومن ذلك يتضح أن هناك فرقاً بين 23 سم و 23.000 سم.

ولفهم الأرقام المعنوية نستعرض بعض القواعد فيما يلي:

[إبراهيم مرغوب]

قواعد تحديد عدد الأرقام المعنوية

القــــــــــاعدة 1
كل الأرقام الصحيحة غير الصفر هي أرقام معنوية

وهذه هي الأرقام:
1,2,3,4,5,6,7,8,9

فالعدد (483) به ثلاثة أرقام معنوية 4,8,3

والعدد(64.34) به أربعة أرقام معنوية: 6,4,3,4


القــــــــــاعدة 2
الأصفار بين الأرقام غير الصفرية هي أرقام معنوية

فالعدد (6.0309) به خمسة أرقام معنوية 6,0,3,0,9

والعدد(907) به ثلاثة أرقام معنوية 9,0,7



القــــــــــاعدة 3
الأصفار على يمين الفاصلة العشرية وتكون في نهاية العدد هي أرقام معنوية
نلاحظ في هذه القاعدة شرطان لاعتبار الصفر رقما معنويا:
أن يكون في نهاية العدد على اليمين
وأن يحتوي العدد على الفاصلة العشرية

فالعدد (0.0000780) به ثلاثة أرقام معنوية 7,8,0

والعدد(6.30) به ثلاثة أرقام معنوية 6,3,0


القــــــــــاعدة 4
الأصفار على يسار العدد وقبل الأرقام هي أرقام غير معنوية

فالعدد (0.0000233) به ثلاثة أرقام معنوية 2,3,3
ولا نعتبر الأصفار التي على اليسار أرقاماً معنوية

والعدد(0.8) به رقم معنوي واحد 8

والعدد(0.04) به رقم معنوي واحد 4


القــــــــــاعدة 5
الأصفار الواقعة على يمين العدد الصحيح الذي لا يحوي علامة عشرية قد تعتبر معنوية وقد تعتبر كلها أو بعضها غير معنوية.

وسوف تتضح هذه القاعدة أكثر من خلال مثال سأقدمه بعد قاعدة القسمة والضرب في الأرقام المعنوية

فالعدد(200) قد يكون به رقم معنوي واحد 2
وقد يكون به رقمين معنويين 2,0
وقد يكون به ثلاثة أرقام معنوية 2,0,0

ولإزالة الغموض هل هذه الأصفار لتحديد موضع العلامة العشرية أم هي أرقام معنوية يفضل أن تتم الكتابة باستخدام الرمز العلمي Scientific notation

العدد (4500 ) تتم كتابته على النحو التالي:
4.5x103 ليدل على أنه يحوي رقمين معنويين
4.50x103 ليدل على أنه يحوي ثلاثة أرقام معنوية
4.500x103 ليدل على أنه يحوي أربعة أرقام معنوية

[إبراهيم مرغوب]

قواعد التقريب في الأرقام المعنوية
التقريب يكون إلى منزلة معينة أو إلى عدد معين من الأرقام المعنوية.
وذلك يعني أن نسقط رقماً والأرقام التي تليه.
وهذا الرقم الذي نسقطه إما أن يكون:
أقل من خمسة، أو أكثر من خمسة، أو خمسة.
وفيما يلي نتعرف على ماذا يتم للأرقام المعنوية في هذه الحالات:

الرقم الذي نود إسقاطه أصغر من 5 :
يسقط وتسقط الأرقام التي تليه ويترك الرقم الأخير بدون تغيير

فالعدد (56.43678) مقرب إلى ثلاثة أرقام معنوية يصبح 56.4


الرقم الذي نود إسقاطه أكبر من 5 :
يسقط وتسقط الأرقام التي تليه ويضاف للرقم الأخير واحد

فالعدد (7368) مقرب إلى ثلاثة أرقام معنوية يصبح 7370


الرقم الذي نود إسقاطه هو 5 لكنه متبوع برقم غير صفري:
يسقط وتسقط الأرقام التي تليه ويضاف للرقم الأخير واحد

فالعدد (2453) مقرب إلى رقمين معنويين يصبح 2500
والعدد (351) مقرب إلى رقم معنوي واحد يصبح 400


الرقم المراد إسقاطه هو 5 لكنه متبوع بصفر أو لا يتبعه أي أرقام أخرى:
يسقط وتسقط الأرقام التي تليه ويضاف للرقم الأخير واحد إذا كان فردياً ، ويترك بدون تغيير إذا كان زوجياً

فالعدد (2750) مقرب إلى رقمين معنويين يصبح 2800
والعدد (2850) مقرب إلى رقمين معنويين يصبح 2800

 

[إبراهيم مرغوب]

العمليات الرياضية على الأرقام المعنوية

قاعدة الجمـع و الطـرح
عـند جمـع أو طـرح الأعـداد فإن عدد مواضع الأرقام العشرية في النتيجـة النهائية يساوي أقل عدد من مواضع الأرقام العشرية في أي حد.
أي لن يكون الناتج أكثر دقة من دقة الأعداد الداخلة في عملية الجمع أو الطرح.


في العملية التالية 18.743 cm + 2.00 cm يكون الناتج باستخدام الآلة الحاسبة هو 20.743
ولكن باعتبار قاعدة الجمع والطرح للأرقام المعنوية نجد ما يلي:
العدد18.743 وبغض النظر عن عدد الأرقام المعنوية فيه إلا أنه يحتوي بعد الفاصلة العشرية على ثلاثة أرقام معنوية.
بينما العدد 2.00 وبغض النظر عن عدد الأرقام المعنوية فيه فإنه يحتوي بعد الفاصلة العشرية على رقمين معنويين.
فالعدد 18.743 أكثر دقة من العدد 2.00
ولذلك لن يكون الناتج أكثر دقة من أي عدد داخل في عملية الجمع أو الطرح.
فالناتج بالآلة الحاسبة 20.743 يحتوي على ثلاثة أرقام معنوية بعد الفاصلة العشرية ولكننا نكتفي فقط برقمين معنويين بعد الفاصلة العشرية ويصبح بذلك الجواب المعقول والمقبول هو:
20.74 cm


ولنطبق الشرح السابق على الأمثلة التالية:
في العملية التالية 58.3 cm + 34 cm يكون الناتج باستخدام الآلة الحاسبة هو 92.3
ولكن وفق قاعدة الجمع والطرح للأرقام المعنوية يكون الناتج المقبول 92 cm


وفي الطرح 17.9 cm - 2.467 cm يكون الناتج بالآلة الحاسبة 15.433
ولكن وفق قاعدة الجمع والطرح للأرقام المعنوية يكون الناتج المقبول 15.4 cm


وكذلك في العملية 15.78 A - 11.7 A يكون الناتج بالآلة الحاسبة 4.08
ولكن وفق قاعدة الجمع والطرح للأرقام المعنوية يكون الناتج المقبول 4.1A

[إبراهيم مرغوب]

قاعدة الضرب و القسمة
عـدد الأرقـام المعنـوية في حاصـل الضـرب وخـارج القسمـة يجب أن يسـاوي عـدد الأرقام المعنوية لأقل قيمة في الأعـداد المضـروبة أو المقسـومة
أي لن تكون عدد الأرقام المعنوية في الناتج أكثر من عددها في الأعداد الداخلة في الضرب أو القسمة.


في عملية الضرب التالية 352 m x 1.6 m يكون الناتج باستخدام الآلة الحاسبة هو 563.2
ولكن باعتبار قاعدة الضرب والقسمة نجد ما يلي:
العدد 352 يحتوي على ثلاثة أرقام معنوية
بينما العدد 1.6يحتوي على رقمين معنويين
بغض النظر عن الفاصلة العشرية فإنها لا تهمنا في الضرب والقسمة لتحديد الأرقام المعنوية في الناتج.
ولذلك لن يكون الناتج محتويا على عدد من الأرقام المعنوية أكثر من عدد الأرقام المعنوية للأعداد الداخلة في عملية الضرب
أي سيكون الناتج به رقمين معنويين فقط
560 m2

ولنطبق الشرح السابق على الأمثلة التالية:
في العملية التالية: 2412 m x 327 m يكون الناتج بالآلة الحاسبة 788724
ولكن وفق قاعدة الضرب والقسمة للأرقام المعنوية يكون الناتج المقبول 789000 m2


في العملية التالية: 24.0 m / 3.0 m يكون الناتج بالآلة الحاسبة 8
ولكن وفق قاعدة الضرب والقسمة للأرقام المعنوية يكون الناتج المقبول 8.0


في العملية التالية: 63254 m / 778 m يكون الناتج بالآلة الحاسبة 81.3033419
ولكن وفق قاعدة الضرب والقسمة للأرقام المعنوية يكون الناتج المقبول 81.3

وأختم بهذا المثال الذي أظن أنه يحل الإشكال في القاعدة 5 في تحديد عدد الأرقام المعنوية والتي بينت أن الأصفار الواقعة على يمين العدد الصحيح الذي لا يحوي علامة عشرية قد تعتبر معنوية وقد تعتبر كلها أو بعضها غير معنوية.

فلننظر إلى عمليات القسمة التالية:
نعلم مبدئياً وقبل الحل أن ناتج عملية القسمة التالية:
12000 kg / 2 kg
يجب أن يحتوي على رقم معنوي واحد فقط.

و أن ناتج عملية القسمة التالية:
108000 kg / 18 kg
يجب أن يحتوي على رقمين معنويين فقط.

وأن ناتج عملية القسمة التالية:
1,950,000 kg / 325 kg
يجب أن يحتوي على ثلاثة أرقام معنوية فقط.

وأن ناتج عملية القسمة التالية:
7,404,000 kg / 1234 kg
يجب أن يحتوي على أربعة أرقام معنوية فقط.

ولكننا نجد أن الإجابة في جميع الحالات السابقة هو 6000

وهنا تظهر أهمية التعبير باستخدام الرمز العلمي Scientific notation حيث سنمثل إجابة العمليات الأربع السابقة كالتالي:
6x103 لتدل على أن الجواب هو 6000
ولكنه يحتوي على رقم معنوي واحد فقط.
6.0x103 لتدل على أن الجواب هو 6000
ولكنه يحتوي على رقمين معنويين فقط.
6.00x103 لتدل على أن الجواب هو 6000
ولكنه يحتوي على ثلاثة أرقام معنوية فقط.
6.000x103 لتدل على أن الجواب هو 6000
ولكنه يحتوي على أربعة أرقام معنوية فقط.



هذا ما أحببت أن أشارككم به.

والله يحفظكم.

[الجمرية]

شرفتنا ياأستاذ إبراهيم في المنتدى
مشكور وبارك الله في جهودك,وجزاك خيرا

[بنت العقيدة]

جزاك الله خيرا على هذا الشرح الواضح والمفيد ولكن لدي سؤال :

6.0x103 لتدل على أن الجواب هو 6000
ولكنه يحتوي على رقمين معنويين فقط.

في العبارة السابقة العشرة المرفوعة إلى أس ألا تحسب رقما معنويا لوحدها ..
أرجو توضيح هذه الجزئية بالتفصيل ......

[*بيان*]

شرفتنا أستاذنا في المنتدى
جزاك الله خير ويسر أمرك وزادك علما

صراحة استفدنا كثيرا مما قدمت وزال اللبس المتعلق بالأرقام المعنوية

[النور...]

أفدتنا يااستاذ جزاك الله الفردوس الأعلى من الجنة

[كلي جراح]

جزاك الله خير

[*بيان*]

للرفع
رفع الله شأنكم

[يزيد الحلو]

جزاك الله خيرا

[amsm]

كلام جميل شكراً استاذ ابراهيم ,
لكن إلى الآن لا أجد هناك أهمية لتعلم طالب الأول ثانوي لهذا الدرس الرياضي وان كان ولا بد فيوضع في مادة الرياضيات , انا كمعلم لي عقل أفكر به وأعلم ماهو مفيد وما هو أقل فائدة ويعتبر مشتت لذهن الطالب , لن أخوض في أمور رياضية تشتت الطالب وهي ليست بتلك الأهمية الفيزيائية وهذا المنهج ليس قرآن منزل بل يعتريه من الخطأ البشري لذلك يجب علي كمعلم أن أعطي طلابي المادة العلمية الأساسية وكذلك المعلومات الإضافية إلا إذا رأيت أنها تشتت الطالب ولا تجلب كثير فائدة

[*الزعيم*]

يا حيا الله الأستاذ ابراهيم....
بيض الله وجهك شرح رااائع....
جعله الله في ميزان حسناتك...
ولا تحرمنا من طلتك...

[ناصر اللحياني]

حيّاك الله أستاذنا وحبيبنا إبراهيم ... سعيد جدا بمصافتك للملتقى بهذه التوضيحات .
ونكرر شكرك على ما أتحفتنا به في الدورة .

[الهداية]

لك جزيل الشكر والتقدير

[kym]

شكرا جزيلا استاذي على الدورة وعلى هذه المشاركه
وضحت لي الارقام المعنوية التي لم اكن اعرف عنها سابقا شي
اشكرك مرررره اخرى على الشرح الوافي
وغفر لك ولوالديك

[إبراهيم مرغوب]

شرفتنا ياأستاذ إبراهيم في المنتدى
مشكور وبارك الله في جهودك,وجزاك خيرا

لي الشرف وأشكر لك ترحيبك
بارك الله فيك

[إبراهيم مرغوب]

جزاك الله خيرا على هذا الشرح الواضح والمفيد ولكن لدي سؤال :

6.0x103 لتدل على أن الجواب هو 6000
ولكنه يحتوي على رقمين معنويين فقط.

في العبارة السابقة العشرة المرفوعة إلى أس ألا تحسب رقما معنويا لوحدها ..
أرجو توضيح هذه الجزئية بالتفصيل ......


الثلاثة في الأس ليست رقما
بل هي دلالة على وجود ثلاثة أصفار أمام الرقم
والأصفار على اليمين لا تعتبر في كل الأحوال أرقاما معنويا
ولكي ندلل على أن الرقم 6000 به رقم معنوي هو الستة وكذلك الصفر الأول اضطررنا لكتابته بهذا الشكل 6.0x103

أرجو أن أكون قد وفقت للإجابة على استفسارك أختي الفاضلة

[ام النووووون]

بارك الله فيك

وجزاك خيرا كثيرا
:::

[بنت العقيدة]

أرجو أن أكون قد وفقت للإجابة على استفسارك أختي الفاضلة

جزاك الله خير

[روزز]

السلام عليكم :
إلى الأستاذ إبراهيم حفظك الله
ما شاء الله تبارك الله كان شرح جداً وافي
ولكن عندي سؤال :
كيف أدرب الطلاب على استخدام الأرقام
المعنوية في حساب المحصلة في منهج الصف
الثاني ثانوي ؟؟ وشكراً .

[شماس]

جزاكم الله خيرا على جهودكم