العدد النيبري e

[لا اعرف شيئ]

نعلم ان
http://www.up-king.com/almaciat/e7q61blftltxf1e7vhf3.bmp (http://www.up-king.com/)

اذا كيف بأمكاني ان احصل على e بمعنى اخر كيف بأمكاني ان احصر قيمتها واثبت انها اقل من العدد 3
ارجو التفاعل

[لا اعرف شيئ]

اين انتم

[الصادق]

نعلم ان
http://www.up-king.com/almaciat/e7q61blftltxf1e7vhf3.bmp (http://www.up-king.com/)

اذا كيف بأمكاني ان احصل على e بمعنى اخر كيف بأمكاني ان احصر قيمتها واثبت انها اقل من العدد 3
ارجو التفاعل

يمكننا ان نبرهن بالاستقراء الرياضي الحقيقة التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\2^{n}\leq(n+1)!\\
البرهان:
بتعويض قيم لـ n هي 1 و2 و3 نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\2^{1}=2=2!\\\\%202^2=4%3C3!\ \\\%202^3=8%3C4!\\

الان نفترض ان المتباينة صحيحة لعدد n
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\2^{n}\leq(n+1)!\\
وبالتالي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%202^{n+1}=2\times2^n\leq%202(n+1 )!\leq(n+2)(n+1)!=(n+2)!
وهذا يبرهن صحة المتباينة لعدد n+1

انتهى البرهان

[الصادق]

الان اعتبر المتتابعة التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20S_n=\left(1+\frac{1}{n}%20\rig ht%20)^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ \cdots+\frac{1}{n!}

التي يمكن ان نبرهن انها متزايدة واكبر من 2 على النحو التالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\%20S_1=\left(1+\frac{1}{1}%2 0\right%20)^1=1+\frac{1}{1!}=2\\\\%20S_2=\left(1+\ frac{1}{2}%20\right%20)^2=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}=S_1+\frac{1}{2}>S_1\\\\%20S_3=\left(1+\frac{1}{3}%20\right%20)^3=1 +\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}=S_2+\frac{ 1}{3!}>S_2
الان لاحظ ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\%20S_{n+1}=\left(1+\frac{1}{ n+1}%20\right%20)^{n+1}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2! }+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)! }\\\\%20S_{n+1}=S_n+\frac{1}{(n+1)!}\\\\%20\Righta rrow%20S_{n+1}%3ES_n%20\\

وهذا يبرهن (لعدد n اكبر من الواحد) ان المتتابعة متزايدة و اكبر من 2
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%202\leq%20S_1%3CS_2%3CS_3%3C\cdo ts%20%3CS_n%3CS_{n+1}%3C\cdots
الان نريد ان بره انها محدودة من الاعلى اي انها اقل من قيمة عليا ما

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20S_n=\left(1+\frac{1}{n}%20\rig ht%20)^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ \cdots+\frac{1}{n!}

في المشاركة السابقة قد برهن ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\2^{n}\leq(n+1)!\\

اي ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20n!\geq%202^{n-1}

ومنها نجد ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%201!=%202^{0},\qquad%202!=%202^1 ,%20\qquad%203!%3E2^2,\qquad%204!%3E%202^3,\qquad% 20\cdots%20\qquad%20,n!\geq%202^{n-1}
و عليه فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20S_n=\left(1+\frac{1}{n}%20\rig ht%20)^n%3C1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{ 2^3}+\cdots%20+\frac{1}{2^{n-1}}
و الان لدينا متوالية هندسية حدها الاول 1 و اساسها نصف و بتعويض مجموع المتوالية الهندسية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\S_n=\left(1+\frac{1}{n}%20\r ight%20)^n%3C1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1 }{2^3}+\cdots%20+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\\\\%20S_n=\left(1+\frac{1}{n}%20\righ t%20)^n%3C1+2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=3-\frac{1}{2^n}

وبحساب النهاية عند n تؤول الى مالانهاية نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\%20e=\lim_{n\to%20\infty}S_n =%20\lim_{n\to%20\infty}\left(1+\frac{1}{n}%20\rig ht%20)^n%3C%20\lim_{n\to%20\infty}\left(%203-\frac{1}{2^n}\right%20)=3\\\\%20\therefore%202%3Ce %3C3

هذا والله تعالى اعلم

[الصادق]

اريد ان انبه بانني كتبت المتتابعة بصورة خاطئة (ولم اتمكن من تعديل المشاركتي ) و الصحيح هو
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\S_n&=&\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+1+\frac{1}{2!}\left (1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}%20\right%20)\left(1-\frac{2}{n}%20\right%20)+\frac{1}{4!}\left(1-\frac{1}{n}%20\right%20)\left(1-\frac{2}{n}%20\right%20)\left(1-\frac{3}{n}%20\right%20)&+&\cdots\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}%20\right%20)\left(1-\frac{2}{n}%20\right%20)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}%20\right%20)

هذا لا يؤثر على البرهان السابق و فقط علينا في كل خطوة من خطوات الحل ان نستبدل المتتابعة الخاطئة بالصورة الصحيحة اعلاه

[لا اعرف شيئ]

حياك الله يا اخي الصادق ناديتك فاجبتني بارك الله فيك وبامثالك من الكرام

[زولديك]

اخي الصادق , هلا تبرهن لي "اختبار التكامل" فضلا لا امرا