سؤال في مبادئ الجبر ارجو الحل

[غنوة بحار]

بسم الله الرحمن الرحيم
عندي كم سؤال في مبادئ الجبر مو عارفه احله
ياليت تتفضلوا علي بالحل وشكرا مقدما
ياليت بأسرع وقت لان بكره المحاضره
<< طراره وتتشرط

السؤال الأول :-
اذا كانت (*,G) زمرة بحيث a^2=e لكل a ينتمي الى G أثبت ان G زمرة ابدالية
بحيث ان e العنصر الحايد

السؤال الثاني :-
بفرض ان G زمرة فإن G ابدالية اذا وفقط اذا كان (ab)^-1 = a^-1 b^-1
لكل a,b ينتمي الى G

السؤال الثالث :-
هل G مع العملية المعرفة عليها تكون زمرة ؟ بمثال
1- G= الاعداد النسبية ، a*b = a+b+3
2- G = بحيث ان r نتمي الى الاعداد النسبيه ولا يساوي الصفر
a*b=ab/3
3- G = بحيث ان r نتمي الى الاعداد النسبيه ولا يساوي الصفر
a*b=a+b+ab

السؤال الرابع :-
بفرض G زمرة فإن G ابدالية اذا وفقط اذا (xy)^n = x^n Y^n
بثللاث اعداد صحيحة متتالية x,y تنتمي الى G


عذرا ع الاطالة
اللي تقدروا عليه انا راضيه :a_plain111:

[غنوة بحار]

اب
.
.
.

[الصادق]

حل السؤال الاول
اذا كان كل من a و b ينتمي الى G فان ab ايضاً ينتمي الى G (خاصية الاغلاق) و هكذا يتحقق شرط الزمرة المُعطى في السؤال
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^2=e%20\qquad%20b^2=e%20\qqua d%20(ab)^2=e

وهكذا فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;e=(ab)^2=abab
بضرب الطرفين من جهة اليسار في a ومن جهة اليمين في b
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20aeb=aababb=a^2bab^2
ولكن طالما ان a^2=e و b^2=e و e عنصر محايد يحقق ae=a فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\%20ab=ebae=ba\\%20\therefore %20ab=ba%20\qquad\qquad%20\qquad%20\square
وبالتالي فان G زمرة ابدالية
والله اعلم

[الصادق]

حل السؤال الثاني
مُعطى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\qquad(1)

اولاً: نريد ان نبرهن ان الزمرة G اذا حققت الشرط اعلاه فانها زمرة ابدالية
من تعريف معكوس العنصر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20a^{-1}a=aa^{-1}=e
فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20(ab)^{-1}(ab)=e
وعليه فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\(ab)^{-1}(ab)=e\\%20a^{-1}b^{-1}(ab)=e
بضرب طرفي المعادلة الاخيرة من جهة اليسار في a
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\aa^{-1}b^{-1}(ab)=ae\\%20eb^{-1}ab=ae
حيث استخدمنا تعريف معكوس العنصر في السطر الثاني. و الان طالما ان e هو العنصر المحايد فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\%20eb^{-1}ab=ae\\%20b^{-1}ab=e\\
بضرب طرفي المعادلة الاخيرة في b من جهة اليسار نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\%20bb^{-1}ab=be\\%20eab=be\\%20\\%20\Rightarrow%20ab=ba
وهذا يبرهن ان تحقق الشرط (1) يقود الى ان G زمرة ابدالية

ثانياً: نريد ان نبرهن ان الزمرة الابدالية تحقق الشرط (1)
اذن دعنا نفترض ان G زمرة ابدالية ولتكن a و b عناصر في G
ودعنا نحسب مايلي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(b^{-1}b)a^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e
حيث استخدمنا الخاصية التجميعية و تعريف العنصر المحايد e
و طالما ان نانج حاصل ضرب العنصرين اعلاه يساوي العنصر المحايد فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
وبما ان G زمرة ابدالية فانها تحقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1} اي ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\\(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}\\\\%20\Rightarrow%20(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}
وهذا يبرهن انه اذا كانت G زمرة الابدالية فانها تحقق الشرط (1)
من اولاً و ثانياً فان G ابدالية اذا كانو اذا كان فقط الشرط متحققاً (1) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\square

والله اعلم

[الصادق]

حل السؤال الثالث مباشر جداً و كل ماعليك عمله هو التأكد من تحقق شروط الزمرة الاربعة (الاغلاق التجميع العنصر المحايد والمعكوس)
اما السؤال الرابع فحله مشابه لفكرة حل السؤال الثاني
ارجو ان تحاول حل هذه الاسئلة بنفسك واذا وجدت صعوبة فلا تتردد في طلب المساعدة

وبالله التوفيق