مسائل دالة بيتا

[اسومي]

ارجو المساعدة في حل هذه المسائل يااخوتي مع الشكر والتقدير

[اسومي]

دوال خاصة

[زولديك]

السلام عليكم , لازم الحلول تكون بإستخدام دالة بيتا؟
طيب التكامل الأول حدودو مو واضحة
و الثكامل الـــ6 دالةالتكامل مو واضحة

[زولديك]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int \frac{y}{(1+y)^{2}}dy}



http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} y=s-1\Rightarrow dy=ds\therefore \int \frac{y^{2}}{(1+y)^{2}}dy\Rightarrow \int \frac{(s-1)^{2}}{s^{2}}ds=\int ds-2\int \frac{1}{s}ds+\int \frac{1}{s^{2}}ds={\color{red} s-2ln(s)-s^{-1}+C\Rightarrow (y+1)-2ln(y+1)-(y+1)^{-1}+C}}

و الاول خلصت منو بس وقفت عند http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red} \Gamma (\frac{1}{3})}


الباقي إن شاء الله

[اسومي]

شكرا
حدود التكامل الاول هي من صفر الى خمسة
والاخير من صفر الى المالانهاية
شكرا لتعاونكم
انا في الانتظار

[زولديك]

عزيزي "أسومي" انا أول مرة اتعامل مع دالة بيتا , مشان هيك ماني متمرس , مشكلتي مع دالة جاما ما عرفتي اطلع بعض القيم مثل الثلث و الربع و المضاعفات لهما :a_plain111:

[زولديك]

والاخير من صفر الى المالانهاية


كنت بدي الدالة , الدالة التي تحت علامة التكامل شو هية:a_plain111:

[مرجانه]

كنت بدي الدالة , الدالة التي تحت علامة التكامل شو هية

عذرا ع اللقافه
بس اعتقد انها tan
بتابع حلك زولديك
بالتوفيق .

[اسومي]

قيم الجاما ثلث وربع وغيرها تجدها في الجداول في نهايات كتب الرياضيات الفيزياوية او يمكن استخراجها مباشرة من الحاسبة العلمية

[اسومي]

في المرفقات ملف يفيدك

[زولديك]

عذرا ع اللقافه





الله يسامحك:k_crying: :k_crying: :k_crying:

[مرجانه]

زولديك

اي فقره حليت

[زولديك]

قيم الجاما ثلث وربع وغيرها تجدها في الجداول في نهايات كتب الرياضيات الفيزياوية او يمكن استخراجها مباشرة من الحاسبة العلمية

انا راح اطلع التكاملات بدلالة جاما إن شاء الله و الباقي عليك لني ما عندي حاسبة علمية او جداول فيزيائية
التكامل الاول



http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int_{0}^{5}x^{\frac{-1}{3}}.(5-x)^{\frac{16}{3}}dx}


بالتعويض عن x بـــــ5s نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red} x=5s\Rightarrow dx=5ds}({\color{blue} and)x=0\Rightarrow s=0(and)x=5\Rightarrow s=1} ليؤول التكامل إلى الصيغة


http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int_{0}^{1}(5S)^{\frac{-1}{3}}(5-5S)^{\frac{16}{3}}dS=(5^{\frac{-1}{3}}.5^{\frac{16}{3}})\int_{0}^{1}S^{\frac{2}{3}-1}(1-S)^{\frac{19}{3}-1}dS=5^{\frac{15}{3}}\beta (\frac{2}{3},\frac{19}{3})=5^{\frac{15}{3}}\frac{\ Gamma (\frac{2}{3})\Gamma (\frac{19}{3})}{\Gamma \frac{21}{3}}}



التكامل الثاني


http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{4}}dx\because x=s^{\frac{1}{4}}\Rightarrow dx=\frac{1}{4}s^{\frac{1}{4}-1}({\color{red} and)}x^{4}=s} ليصبح التكامل على الصيغة


http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{4}}dx}\Rightarrow {\color{red} \frac{1}{4}\int_{0}^{1}s^{\frac{1}{4}-1}(1-s)^{\frac{3}{2}-1}ds=\frac{1}{4}}{\color{blue} \beta (\frac{1}{4},\frac{3}{2})=\frac{1}{4}}\frac{\Gamma (\frac{1}{4})\Gamma (\frac{3}{2})}{\Gamma (\frac{1}{4}+\frac{3}{2})}



التكامل الثالث

واضح انه بإستخدام فك الكسور نجد ان التكامل معتل و يسعى إلى مالانهاية .

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int_{1}^{3}\frac{dx}{(x-1).(3-x)}}={\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(x-1)}+\frac{1}{2} \int_{1}^{3}\frac{dx}{(3-x)}}




لنجد التكامل الأول

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(1x-1)}}{\color{blue} =\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{1+\varepsilon }^{3}\frac{dx}{(x-1)}=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}[ln(2)-ln(\varepsilon )]}{\color{red} \rightarrow \infty } و الثاني على نفس المنوال


http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red} \frac{1}{2}\int_{1}^{3}\frac{dx}{(3-x)}}{\color{blue} =\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{1+\varepsilon }^{3}\frac{dx}{(3-x)}=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}[ln(\varepsilon )-ln(2 )]}{\color{red} }{\color{red} \rightarrow \infty}




التكامل الرابع



http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{3}}}=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}s^{\frac{1}{3}-1}(1-s)^{\frac{1}{2}-1}ds=\frac{1}{3}\beta (\frac{1}{3},\frac{1}{2})=\frac{1}{3}\frac{\Gamma (\frac{1}{3})\Gamma (\frac{1}{2})}{\Gamma (\frac{1}{3}+\frac{1}{2})}}



التكامل الخامس



http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red} \int_{-1}^{+1}(1+x)^{\frac{7}{2}}.(1-x)^{\frac{9}{2}}dx}


و بإفتراض ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=s-1\Rightarrow x=-1\Leftrightarrow s=0(and)x=+1\Leftrightarrow s=2\Rightarrow {\color{red} \int_{0}^{2}(1+s-1)^{\frac{7}{2}}.(1-s+1)^{\frac{9}{2}}ds}{\color{blue} ={\color{red} \int_{0}^{2}(s)^{\frac{7}{2}}.(2-s)^{\frac{9}{2}}dx}} من جديد نفرض ان s=2z لينتج لدينا


http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} s=2z\therefore s=0\Leftrightarrow z=0(and)s=2\Leftrightarrow z=1}\because s=2z\Rightarrow ds=2dz و منه يصبح التكامل على الصيغة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} 2\int_{0}^{1}(2z)^{\frac{7}{2}}(2-2z)^{\frac{9}{2}}dz=2.2^{\frac{7}{2}}.2^{\frac{9}{ 2}}\int_{0}^{1}z^{\frac{9}{2}-1}(1-z)^{\frac{11}{2}-1}dz=2^{9}\beta (\frac{9}{2},\frac{11}{2})=2^{9}\frac{\Gamma (\frac{9}{2})\Gamma (\frac{11}{2})}{\Gamma (\frac{9}{2}+\frac{11}{2})}}


التكامل السادس "اممم امهلني شوي"

و التكامل الاخير موجود في الاعلى

[زولديك]

مرجانة اكيد الدالة هي tan

[مرجانه]

مرحبا

زولديك انت حال التكامل الاخير ع اساس ان البسط y
بس قي السؤال y تربيع

ما شاء الله عليك اعتمدت في حلك ع العلاقة الخاصة بين بيتا وجاما

وبالنسبة للنواتج الاخيره سهل انك تستنتجها

يعني مثلا جاما 8 = مضروب الـ، 7
وجاما ( 8+3) = مضروب العشره عذرا ع اللقافه

اقصد فيها نفسي ( انا )
داخله عرض بينكم

[زولديك]

مرحبا

زولديك انت حال التكامل الاخير ع اساس ان البسط y
بس قي السؤال y تربيع






أوجد تكامل


http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int \frac{y^{2}dy}{(1+y)^{2}}}

الحل


http://latex.codecogs.com/gif.latex?y=s-1\Rightarrow ds=dy\Rightarrow \int \frac{(s-1)^{2}=s^{2}-2s+1}{(s)^{2}}ds=\int ds-2\int \frac{1}{s}ds+\int \frac{1}{s^{2}}ds=s-2ln(s)-s^{-1}+C=(y+1)-2ln(y+1)-(y+1)^{-1}+C

[اسومي]

انا لا أعرف كيف اشكرك حقاً بارك الله فيك وبجهودك .
اما دالة التكامل السادس فهي
tan ثيتا دي ثيتا

[اسومي]

بالتعويض عن x بـــــ5s نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{red} x=5s\Rightarrow dx=5ds}({\color{blue} and)x=0\Rightarrow s=0(and)x=5\Rightarrow s=1} [/CENTER] ليؤول التكامل إلى الصيغة


http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \int_{0}^{1}(5S)^{\frac{-1}{3}}(5-5S)^{\frac{16}{3}}dS=(5^{\frac{-1}{3}}.5^{\frac{16}{3}})\int_{0}^{1}S^{\frac{2}{3}-1}(1-S)^{\frac{19}{3}-1}dS=5^{\frac{15}{3}}\beta (\frac{2}{3},\frac{19}{3})=5^{\frac{15}{3}}\frac{\ Gamma (\frac{2}{3})\Gamma (\frac{19}{3})}{\Gamma \frac{21}{3}}}



التكامل 1 لم تعوض عن dx ب خمسة دي اس بل اكتفيت ب دي اس فقط
اما التكامل السابع فهو يحل بصيغة من صيغ دالة بيتا
مع الشكر والتقدير

[زولديك]

التكامل 1 لم تعوض عن dx ب خمسة دي اس بل اكتفيت ب دي اس فقط
اما التكامل السابع فهو يحل بصيغة من صيغ دالة بيتا
مع الشكر والتقدير

كويس انتبهت , طيب بدك احلو بصيغة بيتا

[زولديك]

التكامل الاخير غير محدود كيف نحلو بطريقة بيتا

[اسومي]

التكامل الاخير حدوده من صفر الى المالانهاية

[زولديك]

التكامل الاخير حدوده من صفر الى المالانهاية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{\infty }\frac{y^{2}}{(1+y)^{2}}dy=\int_{0}^{\infty }[1-\frac{1}{1+y}]^{2}dy=\int_{0}^{1}s^{-1-1}(1-s)^{3-1}ds= \beta (-1,3)=\frac{\Gamma (-1)\Gamma (3)}{\Gamma (2)}=\frac{\Gamma (-1)2\Gamma (2)}{\Gamma (2)}=2\Gamma (-1)