معادلة قوية

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

معادلة دالية تحتاج تفكير ...

أوجد كل الدوال

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f&space;:&space;\mathbb{R}^+\cup&space;\left&space;\{&space;0&space; \right&space;\}\rightarrow&space;\mathbb{R}^+\cup&space;\left&space;\{&space;0&space;\ right&space;\}

التي تحقق الخواص التالية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f(2)=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f(x)\neq&space;0&space;\&space;\forall&space;x\in&space;[0,2)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f(x+y)=f(xf(y))f(y)&space;\&space;\forall&space;x, y\in&space;\mathbb{R}^+\cup&space;\left&space;\{&space;0&space;\right&space;\}

[مهند الزهراني]

:emot30_astonishe: :emot30_astonishe: :emot30_astonishe:

[زولديك]

وش فيك!!!!!!!, وش رايك مهند تعطيني كم محاضرة عن الداليات و إن شاء الله أجيب الحل

[xaashii]

سابحث في هذه المسالة واسأل الله ان ان اجد الحل

[مهند الزهراني]

وش فيك!!!!!!!, وش رايك مهند تعطيني كم محاضرة عن الداليات و إن شاء الله أجيب الحل

تدري ، معادلات الدوال ما اخذنا فيها غير محاضرة وحدة بس ! وعلى اساسيات ! والباقي احنا نبحث

وندور عنه من الكتب والمراجع وتقريبا كلها من النت وبالانجليزية كمان !

شد حيلك في الكتب اللي اعطيتك اياها وحتقدر تحل مثل ما تحل في التحليل الرياضي :)

[مرجانه]

مهند تعرف الايجابه

اذا تعرفها

ماعليك امر نزلها

[الصادق]

تلميح: قم بتعويض y=2 ...ماذا تستنتج ؟
قم بتعويض x=0 من هنا هل يمكنك حساب f(0)؟
هل لديك معلومات كافية لحساب قيمة وحيدة لـ f(1)؟ ان لم يكن هذا هو الحال فما هي القيم التي يمكن ان تحققها ؟

[عاشق التحدي]

اناأتوقع حلها من الدرجة السابعة:words_cut::i_angry_steaming:

[nuha1423]

سلمت يداك مهند

وبانتظار حلولكم

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

معادلة دالية تحتاج تفكير ...

أوجد كل الدوال

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f&space;:&space;\mathbb{R}^+\cup&space;\left&space;\{&space;0&space; \right&space;\}\rightarrow&space;\mathbb{R}^+\cup&space;\left&space;\{&space;0&space;\ right&space;\}

التي تحقق الخواص التالية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f(2)=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f(x)\neq&space;0&space;\&space;\forall&space;x\in&space;[0,2)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;f(x+y)=f(xf(y))f(y)&space;\&space;\forall&space;x, y\in&space;\mathbb{R}^+\cup&space;\left&space;\{&space;0&space;\right&space;\}

أولا : لاحظ أنه لكل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x\in&space;[0,\infty)

فإنه من الخاصية الثالثة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(x+2)=f(xf(2))f(2)=0

من الخاصية الأولى

وبالتالي فان قيمة الدالة = 0 لكل قيم x أكبر من او تساوي 2

ثانيا

لكل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;y_0\in&space;(0,2] فإن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;0=f(2)=f((2-y_0)+y_0)=f((2-y_0)f(y_0))f(y_0)

وبالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f((2-y_0)f(y_0))=0\Rightarrow&space;(2-y_0)f(y_0)\geq&space;2\Rightarrow&space;f(y_0)\geq&space;\frac{2}{2-y_0}

الان ما نريده هو اثبات ان حالة المساواة هي فقط المتحققة وأكبر من خاطئة

ولنصل الى ذلك نفرض أن أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(y_0)>&space;\frac{2}{2-y_0}

وبالتالي يمكننا ايجاد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;y_0<y_1<2 fpde j;,k

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(y_0)=\frac{2}{2-y_1}

الان اختر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x_1=2-y_1

وبالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(x_1f(y_0))=f\left&space;(&space;(2-y_1).\frac{2}{2-y_1}&space;\right&space;)=f(2)=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\Rightarrow&space;f(x_1&plus;y_0)=f(x_1f( y_0))f(y_0)=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\Rightarrow&space;x_1&plus;y_0\geq&space;2

وهو تناقض

وبالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(y)=\frac{2}{2-y}&space;\&space;\forall&space;y\in&space;[0,2)

وبالتالي الدالة التي تحقق الشروط أعلاه هي فقط

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(x)=\left\{\begin{matrix}&space;0&space;\ &space;\&space;\forallx\geq&space;2&space;&&space;\\&space;\frac{2}{2-x}&space;\&space;0\leq&space;x<2&space;&&space;\end{matrix}\right.