برهان تحليلي

[زولديك]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته , احببت ان أقدم هذا البرهان التحليل على ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} 1^{0}=1} , و ذلك لأنه قد عارض البعض على صحته , فهلا يناقش



نظرية " http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} 1^{0}=1} "


البرهان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[x^{\frac{1}{n}}-1]}\because {\color{red} x=1\Rightarrow }{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0}\therefore {\color{red} \lim_{n\rightarrow \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1=]=0\Leftrightarrow 1^{0}=1}


أما البرهان على النظرية المعممة و التي تنص على ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} x^{0}=1}

فقد قدمته فيما سبق في موضوع "مساعدة" لأختي طالبة فقط

http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=53462&page=4


و أقدم هنا الفكرة التي اعتمدت عليها في البراهين و هي كالآتي

طبعا من التعريف نجد أن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} x^{a-1}=x.x...x_{a-1}}{\color{blue} \Leftrightarrow x.x...x_{a-1}.\frac{x}{x}=x.x...x_{a}.\frac{1}{x}=\frac{x^{a} }{x}} و بتكرار ما سبق عددا من المرات قدره b نجد ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} x^{a-b}}{\color{blue}=\frac{x^{a}}{x^{b}}} بحيث كلا من a and b أعداد طبيعية اما باقي الأستنتاجات فهي في الرابط في الاعلى

هذا و بالله التوفيق,,,,:s_thumbup:

[زولديك]

و أقدم هنا الفكرة التي اعتمدت عليها في البراهين و هي كالآتي

طبعا من التعريف نجد أن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} x^{a-1}=x.x...x_{a-1}}{\color{blue} \Leftrightarrow x.x...x_{a-1}.\frac{x}{x}=x.x...x_{a}.\frac{1}{x}=\frac{x^{a} }{x}} و بتكرار ما سبق عددا من المرات قدره b نجد ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} x^{a-b}}{\color{blue}=\frac{x^{a}}{x^{b}}} بحيث كلا من a and b أعداد طبيعية



هنا كحالة خاصة و ذلك عندما a=b نستنتج ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} x^{a-a}=\frac{x^{a}}{x^{a}}\Leftrightarrow x^{0}=1}

[الصادق]

البرهان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\%20\sum_{1}^{n%20\to%20\infty%20}[x^{\frac{1}{n}}-1]}\\ \rm because%20%20\; x=1\Rightarrow%20}%20\sum_{1}^{n%20\to%20\infty%20 }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0}\\ \therefore%20{%20\lim_{n\rightarrow%20\infty%20}[1^{\frac{1}{n}}-1]=0\Leftrightarrow%201^{0}=1}
شكراً لك اخي الكريم زولديك، ولكني لم فهم خطوات برهانك لانني لم اقف على مبرر لاستبدالك للمجموع بقيمة النهاية عند n تؤول الى مالانهاية؟ فارجو ان توضح هذه النقطة بشئ من التفصيل
ايضاً في السطر الثاني كيف حصلت على مجموع يساوي الصفر ؟

ولدي ملاحظة صغيرة بخصوص الكتابة بالاتيكس:
1-اذا اردت يمكنك ان تستخدم \\ لتبدأ سطر جديد حتى لاتكتب اكثر من معادلة في نفس السطر
2-عند كتابة نص داخل المعادلة استخدم {}text\ (لاحظ ان كلمة because لم تظهر عندك لانك كتبتها بعد علامة \ )

تحياتي

[زولديك]

شكراً لك اخي الكريم زولديك، ولكني لم فهم خطوات برهانك لانني لم اقف على مبرر لاستبدالك للمجموع بقيمة النهاية عند n تؤول الى مالانهاية؟ فارجو ان توضح هذه النقطة بشئ من التفصيل

ولدي ملاحظة صغيرة بخصوص الكتابة بالاتيكس:
1-اذا اردت يمكنك ان تستخدم \\ لتبدأ سطر جديد حتى لاتكتب اكثر من معادلة في نفس السطر
2-عند كتابة نص داخل المعادلة استخدم {}text\ (لاحظت ان كلمة because لم تظهر عندك لانك كتبها بعد علامة \ )

تحياتي

لتكن لدينا المتسلسلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[x^{\frac{1}{n}}-1]=(x-1)+(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{\sqrt{x}}-1)+....}


الآن كحالة خاصة و ذلك عندما x=1 نستنج ان المتسلسلة تؤول إلى الصيغة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(\sqrt{\sqrt{1}}-1)+....}=0 أي أن المتسلسلة لها مجموع , و ذلك يعني ان المتسلسلة تقاربية عندما x=1 و لكن كون المتسلسلة تقاربية ذلك يعني بالضرورة كون المتتابعة الخاصة بالمتسلسلة تؤول إلى الصفر أي ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1=0]} و من هذا الأخير نستنج ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue}\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}-1=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=1\therefore 1^{0}=1} و سبب توقفي عند

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=?} هو عدم معرفتي لقيمة هذه النهاية , و لكنها "أي قيمة النهاية"أصبحت معادلة بمجهول واحد و من ثم نتجت قيمتها

[الصادق]

لتكن لدينا المتسلسلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[x^{\frac{1}{n}}-1]=(x-1)+(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{\sqrt{x}}-1)+....}


الآن كحالة خاصة و ذلك عندما x=1 نستنج ان المتسلسلة تؤول إلى الصيغة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(\sqrt{\sqrt{1}}-1)+....}=0 أي أن المتسلسلة لها مجموع , و ذلك يعني ان المتسلسلة تقاربية عندما x=1 و لكن كون المتسلسلة تقاربية ذلك يعني بالضرورة كون المتتابعة الخاصة بالمتسلسلة تؤول إلى الصفر أي ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1=0]} و من هذا الأخير نستنج ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue}\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}-1=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=1\therefore 1^{0}=1} و سبب توقفي عند

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \lim_{n \to \infty }1^{\frac{1}{n}}=?} هو عدم معرفتي لقيمة هذه النهاية , و لكنها "أي قيمة النهاية"أصبحت معادلة بمجهول واحد و من ثم نتجت قيمتها

اظنك تقصد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots
ولكن انت تريد ان تبرهن ان 1 مرفوع للقوة صفر يساوي 1 وهنا انت استخدمت ما تريد برهانه في خطوات الحل
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots\stackrel{?}{=}0
ايضاً لاحظ ما الذي يمنع من الاجراء التالي :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)=1-(1-\sqrt{1})-(1-1^{\frac{1}{3}})-\cdots-(1-1^{\frac{1}{n}})-\cdots\stackrel{?}{=}1
اي دمج الحد الثاني مع الثالث والرابع مع الخامس ...الخ

هذا والله تعالى اعلم

[زولديك]

اظنك تقصد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots
ولكن انت تريد ان تبرهن ان 1 مرفوع للقوة صفر يساوي 1 وهنا انت استخدمت ما تريد برهانه في خطوات الحل
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)=(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+\cdots+(1^{\frac{1}{n}}-1)+\cdots\stackrel{?}{=}0
ايضاً لاحظ ما الذي يمنع من الاجراء التالي :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)=1-(1-\sqrt{1})-(1-1^{\frac{1}{3}})-\cdots-(1-1^{\frac{1}{n}})-\cdots\stackrel{?}{=}1
اي دمج الحد الثاني مع الثالث والرابع مع الخامس ...الخ

هذا والله تعالى اعلم

لم أفهم اعتراضك اخي الكريم نحن لدينا المتسلسلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(1^{\frac{1}{2}}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+...} و نستطيع غختصار الحدود و ذلك بحساب الجذر التربيعي للواحد و من ثم الجذر التكعيبي للواحد و من ثم الجذر الرابع للواحد و من ثم الجذر المليون للواحد و هكذا دواليك و في كل مرة يكون الناتج في ما بين القوسين هو الصفر أي ان مجموع حدود المتسلسلة هو الصفر و من هنا نستنتج التقارب فها تقول لي كف اعتمدت على ما اريد برهانه في البرهان؟:emot30_astonishe:

[زولديك]

و إن كان إعتراضك على رمز المالانهاية فوق علامة السجما فيمكن تجزأ الجمع إلى n فقط و من ثم اجد ان المجموع للمتسلسلة هو الصفر و من ثم أستطيع ان اجد المجموع اللانهائي و ذلك باخذ n في جوار المالانهاية و من ثم و حيث ان نهاية الدالة الثابتة هي ثابت بالتالي يكون قيمة الجمع اللانهائي هو الصفر و من ثم تقارب المتسلسلة و من ثم اعود لتطبيق ما اريد و هو نظرية ان المتتابعة تسعى غلى الصفر في حالة التقارب لأستنتج ما اريد دون رمز المالانهاية

[مرجانه]

ايضاً لاحظ ما الذي يمنع من الاجراء التالي :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)=1-(1-\sqrt{1})-(1-1^{\frac{1}{3}})-\cdots-(1-1^{\frac{1}{n}})-\cdots\stackrel{?}{=}1



مساكم الله بالخير جميعا

شكرا زولديك & الصادق
ع الاثبات

اخي الصادق
مالغرض من اخذ الاشاره السالبه خارج القوس في المعادلة المقتبسه

وشكرا .

[الصادق]

لم أفهم اعتراضك اخي الكريم نحن لدينا المتسلسلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{blue} \sum_{1}^{n \to \infty }[1^{\frac{1}{n}}-1]=(1-1)+(1^{\frac{1}{2}}-1)+(1^{\frac{1}{3}}-1)+...} و نستطيع غختصار الحدود و ذلك بحساب الجذر التربيعي للواحد و من ثم الجذر التكعيبي للواحد و من ثم الجذر الرابع للواحد و من ثم الجذر المليون للواحد و هكذا دواليك و في كل مرة يكون الناتج في ما بين القوسين هو الصفر أي ان مجموع حدود المتسلسلة هو الصفر و من هنا نستنتج التقارب فها تقول لي كف اعتمدت على ما اريد برهانه في البرهان؟:emot30_astonishe:

نعم حساب الجذر التربيعي للواحد و من ثم الجذر التكعيبي للواحد و من ثم الجذر الرابع للواحد و من ثم الجذر المليون للواحد و هكذا دواليك حتى الجذر 1 على مالانهاية وهذا يساوي 1 مرفوع للاس صفر وهذا ما تريد ان تبرهن انه يساوي الواحد .
هذه هي كانت وجهة اعتراضي. ولكن اذا كنت انت مقتنع فلا بأس...

[الصادق]

مساكم الله بالخير جميعا

شكرا زولديك & الصادق
ع الاثبات

اخي الصادق
مالغرض من اخذ الاشاره السالبه خارج القوس في المعادلة المقتبسه

وشكرا .

حياك الله تعالى اختي الكريمة مرجانة

[زولديك]

حياك الله تعالى اختي الكريمة مرجانة

إذا كان ناتج ما بين القوسين هو صفر فكيف يكون المجموع الكلي هو الواحد

[مرجانه]

الله يحيك

بس مافهمت شي من اثباتك
الي كنت كاتبه .

[الصادق]

حياك الله اختي الكريمة مرجانة

لاحظي ان المجموع يستمر حتى اللانهاية بالصورة التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\\%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\fr ac{1}{n}-1)&=&1-1+\sqrt{1}-1+1^{\frac{1}{3}}-1+\cdots\\\\
الان ادمجي الحد الاول مع الثاني و ادمجي الحد الثالث مع الحد الرابع لتحصلي على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\frac{1} {n}-1)&=&(1-1)+(\sqrt{1}-1)+(1^{\frac{1}{3}-1})+\cdots\\\\
طبعاً هنا فان كل قوس سوف يساوي الصفر و عليه فان المجموع الكلي سوف يكون صفراً

والان دعنا نترك الحد الاول و نقوم بدمج الحد الثاني والثالث و دمج الحد الربع مع الحد الخامس وهكذا
لنحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi%20\\%20\sum_{n=1}^{\infty}(x^\fr ac{1}{n}-1)&=&1+(-1+\sqrt{1})+(-1+1^{\frac{1}{3}})\cdots\\\\%20\\%20\sum_{n=1}^{\i nfty}(x^\frac{1}{n}-1)&=&1-(1-\sqrt{1})-(1-1^{\frac{1}{3}})-\cdots\\\\
تلاحظي ان مجموع على كل قوس يساوي صفر و عليه يكون المجموع الكلي يساوي الواحد(تتلاشى كل الاقواس ويبقى معك الحد الاول فقط)

[زولديك]

تم نقل الموضوع إلى هنا

http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?p=513654#post513654

[مرجانه]

إذا كان ناتج ما بين القوسين هو صفر فكيف يكون المجموع الكلي هو الواحد


زولديك الحد الاول واحد

والي بين القوس = صفر

وين الاشكال 1=1

[مرجانه]

شكرا الصادق

ع التوضيح بارك الله فيك

[الصادق]

شكرا الصادق

ع التوضيح بارك الله فيك

و بارك الله فيك انت ايضاً