اثبات حجم الكره 4\3 باى ار تكعيب

[القمر الدهبى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اريد منكم من يعرف ان يثبت لى حجم الكره
باستخدام التكامل الثنائى
علما بان x=rcos وy=r sin

x^2+y^2+z^2=a^2

[محمد ابوزيد]

معادلة الكرة هى:

http://upload.wikimedia.org/math/e/d/b/edb54516988752ad996c6e85df7ea74f.png

والتى تصف http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;x&space;,&space;y&space;,&space;z الاحداثيات المكانية وتصف http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;r نصف القطر للكرة

والعلاقة بين الاحداثيات الكروية والديكارتيه هى:

http://upload.wikimedia.org/math/d/e/5/de5eaf040a0d1011641a35e969898340.png

ويكون جاكوبى التحويل هو :

http://upload.wikimedia.org/math/f/6/7/f67eab6f478dec0db04e3497e37e1dca.png
وبالتالى نحصل على عنصر الحجم المطلوب http://upload.wikimedia.org/math/9/5/c/95c79f6fd01bba5a1d9302a75c343f6c.png كما

http://upload.wikimedia.org/math/1/9/e/19ef219f0c1616f94a2a894418ba6677.png


فيكون التكامل الحجمى على الصورة:

http://upload.wikimedia.org/math/d/5/4/d542cf6bb125de1ae07927be3e18ff14.png

والله اعلى واعلم

اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد ابوزيد]

اما باستخدام الاحداثيات القطبية كما اشار اخى الكريم فسنستخدم التكامل الثنائى
كالاتى:

http://upload.wikimedia.org/math/f/d/a/fda7269918d7534dc24d72b9ef735482.png

وفى الحل الاول كان التكامل ثلاثى

والله اعلى واعلم

اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد ابوزيد]

يمكن الحل باستخدام الصيغة العامة للتناوب او الدوران كالاتى:

الصيغة العامة للتناوب هى:
http://upload.wikimedia.org/math/e/f/d/efd32fbdd610fcd160b2121846496ab2.png

ومعادلة الدائرة هى:

http://upload.wikimedia.org/math/2/8/0/2801af2de155f0abfba5afea34e1cc42.png

والتى لها المركز:

http://upload.wikimedia.org/math/8/a/c/8ac794fe85e8080b6179ca5326beb730.png

فنستخدم التعويض:
http://upload.wikimedia.org/math/2/6/5/26511bd4a1b3666949b7869f7f86d95e.png


فيكون الحجم هو:

http://upload.wikimedia.org/math/f/6/9/f6969013a3b594f10be393b47b56d1f1.png

والله اعلى واعلم

اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد ابوزيد]

يمكن استنتاج حجم الكرة كالاتى:

حجم الكرة = 2(حجم اسطوانة - حجم مخروط)

حجم الاسطوانة:

http://upload.wikimedia.org/math/3/8/1/381b778c5600622109b52a422f900b31.png

حجم المخروط:

http://upload.wikimedia.org/math/6/5/3/653819476ad6d475ed8e40a85c23e420.png

حجم الاسطوانة - حجم المخروط:

http://upload.wikimedia.org/math/3/7/f/37ff7742f14b1ee60026c589819712c3.png

وبالتالى يكون حجم الكرة:

http://upload.wikimedia.org/math/3/e/2/3e20238eae9b95706bd9b0bc499afb0e.png

والله اعلى واعلم

اخوكم / محمد ابوزيد

[القمر الدهبى]

بارك الله فيك اخى على هده الحلول االوافيه

[محمد ابوزيد]

اهلا بك اخى الكريم فى اى وقت

اخوكم / محمد ابوزيد

[القمر الدهبى]

طيب ادا اردت اثبات حجم المجسم الناقص 4\3 abc
باستخدام x^2\a^2+y^2\b^2+z^2\c^2=1

[محمد ابوزيد]

معادلة الشكل الاهليجى هى:

http://upload.wikimedia.org/math/f/c/a/fca4cd32dfd50b31270871d1cdcd294a.png

فاذا كانت http://upload.wikimedia.org/math/2/5/1/251a40d18cbe3c238a555b3ec9dcb3dc.png كان الشكل كروى http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/220px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png

واذا كانت
http://upload.wikimedia.org/math/1/c/1/1c101f69cb5c9fca2549cc52aa371d02.png

كان الشكل مفلطحا
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/OblateSpheroid.PNG/250px-OblateSpheroid.PNG

واذا كان :
http://upload.wikimedia.org/math/0/7/b/07b70a9113b046e08bf28b121f638b7e.png

كان الشكل مثل كرة الراكبى

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/ProlateSpheroid.png/220px-ProlateSpheroid.png

واذا كان :كان الشكل اهليجى قطع ناقص "ثلاث جهات غير متكافئة"
http://upload.wikimedia.org/math/f/f/4/ff41a00b219ea3edb0d41dce4d26cc46.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/f/fb/Ellipsoid_321.png/200px-Ellipsoid_321.png

وباستخدام الاحداثيات الكروية

http://upload.wikimedia.org/math/8/c/f/8cfac6325f37b6a41a4a5a467759e4f9.png

حيث:
http://upload.wikimedia.org/math/3/5/6/356c1ebb8a836f4eb9544aaebce67de0.png

[القمر الدهبى]

اخى فيك تساعدنى بحلها باستبدال المتغيرات
x=rsinΘ,, y =rcosΘ

[محمد ابوزيد]

اهلا بك اخى القمر الدهبى هلا اعطيتنى فكرة عن دراستك والمنهج المقرر الذى تقوم بدراسته

اخوكم / محمد ابوزيد

[القمر الدهبى]

ادرس منهج رياضيات عن التكاملات الخطيه والتكامل الثنائي ونظريه جرين و التفاضلا ت و النهايات العظمى والصغرى المطلقه..
فى ليبيا يسمى منهج 301رياضيات

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا اقصد بالطبع ان اطلع على المنهج فاكون معك فيما تدرسه
ساحاول ايجاد نسخة الكترونية للمنهج على النت لاطلع عليه


اشكرك مرة اخرى اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد ابوزيد]

لى راى ايضا بصفتك متخصص يمكنك ان تقوم بالشرح لبعض موضوعات المنهج

هذا سيساعد الجميع

اخوكم / محمد ابوزيد

[القمر الدهبى]

اخى هل تساعدنى بحلها باستخدام القانون
باستخدام القانون
∫∫z dx dx

[nuha1423]

بارك الله فيك أستاذ محمد على هذه المعلومات الوافية وجزاك كل خير

شكراً لك

[زولديك]

اخي ابو زيد , هل تستطيع ان تثبت الصيغة التفاضلية للعنصر التفاضلي في الإحداثيات الأسطوانية هندسيا او جبريا

[زولديك]

أي دون الالتجاء للجاكوبي :emot30_astonishe:

[محمد ابوزيد]

فهمت ما تقصد ما اثبات ان مصفوفة التحويل تاخذ هذه الصورة التفاضلية
او بالاحرى ما هو اثبات الجاكوبى نفسه

ولكن قبل ذلك ساطلب منك كتابة دوران الاحداثيات ومصفوفة التحويل لهذا الدوران

اشكرك جدا اخى الكريم زولديك

اخوكم / محمد ابوزيد

[زولديك]

امم , اخي ابو زيد , لم اتعرض للمفاهيم التي تطلبها مني , لذا حبذل لو تضع البرهان , لكن لم تجبني على ما اريد بالنسبة للصيغة التفاضلية , إثباتها هندسيا او جبريا