الكسور الجزئية

[محمد ابوزيد]

نستخدم الكسور الجزئية فى بعض التكاملات

تمهيد:

قم باجراء الجمع الاتية

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image142.gif

الآن اذا كان لدينا المقدار:

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image143.gif

ونريد اعادته الى الشكل:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;=\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x+3}

لاحظ ان المقدار:
http://www.intmath.com/Methods-integration/Image143.gif

يمكن وضعه على الصورة

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image169.gif

وذلك بتحليل المقام الى مقدارين جبريين من الدرجة الاولى

والتى يمكن تجزئتها الى:

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image170.gif

الان نريد معرفة قيمة كل من : http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A&space;,&space;B

الحل:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\frac{6x+13}{x^{2}+5x+6}=\frac{6x +13}{(x+2)(x+3)}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\frac{6x+13}{(x+2)(x+3)}=\frac{A} {x+2}+\frac{B}{x+3}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\frac{6x+13}{(x+2)(x+3)}=\frac{A( x+3)+B(x+2)}{(x+2)(x+3)}

وباختصار المقام مع المقام

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;6x+13=A(x+3)+B(x+2)

وبفك الاقواس:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;6x+13=Ax+3A+Bx+2B

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;6x+13=x(A+B)+3A+2B

وبمساواة المعاملات فى الطرفين نجد ان:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A+B=6-----------(1)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;3A+2B=13-----------(2)

[محمد ابوزيد]

وبحل المعادلتين معا:

بضرب المعادلة (1) فى http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;-3

فيكون لدينا:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;-3A-3B=-18---(3)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;3A+2B=13----(2)


وبالجمع:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;-B=-5

اى ان:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;B=5


وبالتعويض من (1) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A+B=6

ينتج ان:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A+5=6

اى ان:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A=1

[محمد ابوزيد]

الحالة الثانية :

اذا كان المقدار فى المقام مرفوع لقوة اكبر من الواحد ( تكرار القوس)

مثال:

قم بتجزىء المقدار :

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image155.gif

سنضع المقدار على الصورة:

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image156.gif

وسيكون لدينا اربع حدود فى الطرف الايمن لان المقام مرفوع للقوة الرابعة

وهكذا :

مثلا:

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image171.gif

تكون على الصورة:

http://www.intmath.com/Methods-integration/Image172.gif

[محمد ابوزيد]

الملاحظة الهامة التى يجب ان تظل معك قبل ان نكمل هى ان القوة المرفوع لها البسط اقل من القوة المرفوع لها المقام

والا وجب علينا اجراء القسمة المطولة اولا

[محمد ابوزيد]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\frac{5X^{3}+7X-9}{(X+1)^{4}}=\frac{A(X+1)^{3}+B(X+1)^{2}+C(X+1)+D }{(X+1)^{4}}

وباختصار المقامات معا
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;5X^{3}+7X-9=A(X+1)^{3}+B(X+1)^{2}+C(X+1)+D

وبمقارنة المعاملات فى الطرفين نوجد:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A,B,C,D



مع ملاحظة ان معامل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;X^{2} فى الطرف الايسر هو صفر

وان:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A+B+C+D=-9

[الحارث]

مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه

[مرجانه]

شكرا استاذ محمد
موضوعك رائع
لدي اضافه اذا سمحت
بعد مانوزع المقام نشتقه واذا كانت المشتقه عدد ثابت نضع بسط هذا المقام رمز A او اي رمز ثايت
واذا كانت مشتقه المقام متغير فيكون بسط هذا المقام متغير

للتوضيح
في المثال التالي
\frac{X^2+1}{(X+1)(X^2+X+1)}=\frac{-}{X+1}+\frac{-}{X^2+X+1}\\\\d(X+1)=1\rightarrow A\\\\d(X^2+X+1)=2X+1\rightarrow BX+C\\\Rightarrow \frac{A}{X+1}+\frac{BX+C}{X^2+X+1}
عدد الثوابت لابد ان يساوي اكبر درجه في المقام
وعدد المعادلات لابد ان تساوي عدد الثوابت

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا اخت مرجانه على الاضافة القيمة والموضوع بالفعل له باق ولكنى توقفت لاتابع موضوع اساسيات الفيزياء لبوش فشكرا لاضافتك ومرورك الكريمين

اخوكم / محمد ابوزيد

[فقط للأفضل]

بارك الله فيك استاذ محمد

ندرسه بالجامعه باسم تفريق الكسور

[فراشة الرياضيات]

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .

[مهند الزهراني]

يعطيك العافية استاذي موضوع قيم ، ونتمنى توضيح للاخوة والاخوات حول استخدام الكسور الجزئية في المجموع التلسكوبي لأنه في مسائل من قبيل مسائل المجموع صعب احلها بدون الاستعانة بالتحليل وهناك كسور تكون صعبة التحليل ...

[nour_eng_22]

سؤال :
اذا كان القوس مرفوع لأس مثلا 4 والمقدار و قابل للتحليل مثل 4^(x^2 - 4) ماذا افعل !!!!!!!!!