كيفية حساب المتجهات الذاتية؟

[محمد ابوزيد]

يمكننا ايجاد المتجهات الذاتية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;x والقيمة الذاتية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lambda
من خلال التعويض فى المعادلة :
http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img533.gif

مثال:

لايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية من

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img547.gif

نلاحظ الاتى :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;A

هى المصفوفة الاصلية المعطاه و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lambda هى القيمة الذاتية التى نريد الحصول عليها
و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;I
هى مصفوفة الوحدة وهنا ستكون على النظم 3×3
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\begin{pmatrix}&space;1&space;&&space;0&space;&0&space;\\&space;0&&space;1&&space;0\\&space;0&space;&&space;0&space;&&space;1&space;\end{pmatrix}

ويكون حاصل ضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lambda فى مصفوفة الوحدة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;I هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lambda&space;\begin{pmatrix}&space;1&space;&&space;0&space;&0&space;\\&space;0&&space;1&&space;0\\&space;0&space;&&space;0&space;&&space;1&space;\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}&space;\lambda&space;&&space;0&space;&&space;0\\&space;0&&space;\lambda&space;&0&space;\\&space;0&0&space;&\lambda&space;\end{pmatrix}


والان نوجد محدد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;(A-\lambda&space;I)

المعروف ب :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;det(A-\lambda&space;I))


فيكون ناتج التعويض كالاتى:
مع فك المحدد الناتج بعناصر اى صف او اى عمود كما هو متبع فى المحددات
كما هنا فى هذا المثال (هناك طريقة اخرى)
http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img548.gif

ومنها نحصل على القيم الذاتية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lambda&space;_{1}=2,\lambda&space;_{2}=0,\la mbda&space;_{3}=5

الان نريد حساب المتجهات الذاتية للقيم الذاتية

تابع:


اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد ابوزيد]

لدينا ثلاث قيم للقيمة الذاتية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lambda

اولا:

المتجهات الذاتية للقيمة الذاتية http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img550.gif نحصل عليها من خلال حل المعادلة :

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img533.gif

التى تحدثنا عنها فى بداية الموضوع
ولكن بوضع:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lambda&space;_{3}=\lambda

كالاتى:

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img551.gif

وسيتكون لدينا ثلاث معادلات لحلها سنختار طريقة جاوس

تابع:


اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد ابوزيد]

عندما نقوم بفك المحدد

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\begin{pmatrix}&space;-3&&space;0&space;&1&space;\\&space;0&&space;-2&1&space;\\&space;0&6&space;&&space;-3&space;\end{pmatrix}\begin{pmatrix}&space;x_{1}\\&space;x_{2}\\&space;x_{ 3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}&space;0\\&space;0\\&space;0\end{pmat rix}

سنقوم بضرب عناصر الصف الاول فى العمود الاول
فنحصل على المعادلة الاولى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;-3x_{1}+x_{3}=0
و ضرب عناصر الصف الثانى فى العمود الثانى
فنحصل على المعادلة الثانية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;-2x_{2}+x_{3}=0
وضرب عناصر الصف الثالث فى العمود الثالث
فنحصل على المعادلة الثالثة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;6x_{2}-3x_{3}=0

[محمد ابوزيد]

نريد حل هذه المعادلات معا وهى ثلاث معادلات فى ثلاث مجاهيل
لن تفلح طريقة كرامر فى حلهم معا
لان الناتج سيكون :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;x_{1}=\frac{0}{0},x_{2}=\frac{0}{ 0},x_{3}=\frac{0}{0}

[محمد ابوزيد]

لذا سنقوم بحلها
بطريقة Gauss - Jordan جاوس - جوردون

وفيها سنحاول استخدام خواص المحددات فى المحدد :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\begin{vmatrix}&space;-3&&space;0&1&space;&&space;0\\&space;0&&space;-2&space;&&space;1&space;&0&space;\\&space;0&&space;6&&space;-3&space;&&space;0&space;\end{vmatrix}

لنصل الى الشكل التالى:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\begin{vmatrix}&space;1&&space;0&0&space;&&space;x_{1}\\&space;0&&space;1&space;&&space;0&space;&x_{2}&space;\\&space;0&&space;0&&space;1&&space;x_{3}&space;\end{vmatrix}


ويكون حل النظام هو:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;x_{1}=&space;?,&space;x_{2}=&space;?,&space;x_{3}=&space;?

[محمد ابوزيد]

ملاحظة:

اذا فكرت تخيليا فى حل هذه المعادلات الثلاثة معا:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;-3x_{1}+x_{3}=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;-2x_{2}+x_{3}=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;6x_{2}-3x_{3}=0

ستكتشف ان:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=\frac{1}{ 2},x_{3}=1

هى حلول للمعادلات الثلاثة معا

وهذا معناه:

ان المعادلات لها حل

وانه ليس معنى ان النواتج = صفر فى المعادلات الثلاثة انه ليس لها حل

[محمد ابوزيد]

ولكن هناك نوعان من المعادلات الخطية التى يتم حلها معا

المعادلات الغير متجانسة والتى يكون النواتج فيها لها قيم
والمعادلات المتجانسة ويكون النواتج فيها صفر

وبالتالى فان المعادلات السابقة هى معادلات متجانسة

[nuha1423]

سلمت يداك بارك الله فيك وجزاك خيراً

[محمد ابوزيد]

نحاول تبسيط المحدد كالاتى:

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img552.gif

[مرجانه]

بارك الله فيك استاذ محمد
حساب المتجهات الذاتيه مهمه جدا في دراسه مكانيكا الكم
موفق اخي الكريم .

[محمد ابوزيد]

لاحظ اننا قمنا بضرب عناصر الصف الثانى فى 3 وجمعناها على عناصر الصف الثالث

[محمد ابوزيد]

اشكر اخواتنا الكريمات نهى ومرجانة

واتمنى المشاركة فى الموضوع بالتصحيح والشرح

حتى يستفيد الجميع

اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد ابوزيد]

الان بفرض:
http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img556.gif

فان:

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img555.gif

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img554.gif

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img553.gif

[محمد ابوزيد]

و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\alpha&space;_{3} اى عدد حقيقى لا يساوى الصفر

بالمثل:

نعوض فى القيمتين الاخرتين:

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img534.gif

فينتج ان:

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img557.gif


و http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img558.gif

فينتج ان:

http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img559.gif

[محمد ابوزيد]

وفى حالة اردنا حله بالشكل:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\begin{vmatrix}&space;1&&space;0&0&space;&&space;x_{1}\\&space;0&&space;1&space;&&space;0&space;&x_{2}&space;\\&space;0&&space;0&&space;1&&space;x_{3}&space;\end{vmatrix}

سيكون الناتج:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\begin{vmatrix}&space;1&space;&&space;0&space;&&space;0&&space;\frac{1}{3}\\&space;0&&space;1&space;&0&space;&\frac{1}{2}&space;\\&space;0&&space;0&space;&&space;1&space;&&space;1&space;\end{vmatrix}

وما سنستخدمة فى اثبات ذلك يكمن فى ثلاث امكانات فقط:

(1) تبادل صفين او عمودين
(2) ضرب عدد فى صف او عمود وجمعه على صف او عمود اخر
(3) الضرب فى عدد لا يساوى الصفر

ولنرى معا كيف؟

[زولديك]

اخي ابو زيد صندوق الرسائل لديك ممتلئ هلا تحرر بعض المساحة

[الحارث]

بارك الله فيك وجزاك كل الخير
مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه

[فراشة الرياضيات]

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .

[مملكة الفرح]

جزاااااك الله خيرا