مسألة خطيرة في النهايات

[الشبل الكبير]

الأخوة الأعزاء، ما رأيكم في مسألة النهايات الآتية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} \lim_{x\to2}\frac{3^x-9}{2^x-4}

برجاء عدم حل تلك المسألة بقاعدة لوبيتال، علماً بأن طريقة حلها لا تخرج عن مقرر المرحلة الثانوية

أشكركم

[محمد ابوزيد]

الناتج :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\frac{9}{4}

[محمد ابوزيد]

اليك محاولتى:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;x&space;\to&space;2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;2^{x}&space;\to(&space;\frac{4}{9})3^{x}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\lim_{2^{x}\to(\frac{4}{9})3^{x}} \frac{3^x-9}{2^x-4}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;(\frac{9}{4})

[الشبل الكبير]

الناتج :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\frac{9}{4}
للأسف فالحل غير صحيح يا أستاذ محمد، وبالطبع كل منا معرض للخطأ ولا عيب في ذلك، وعلي العموم إن شاء الله فسوف أقوم بحلها غداً، فإن طريقة حلها غريبة جداً

ملحوظة: أرجو أن تحلها بلوبيتال أولاً حتي تصل إلي الجواب النهائي ثم بعد ذلك سوف نتعرض تفصيلياً لحلها

والسلام عليكم

[محمد ابوزيد]

اشكرك وانتظر الحل فالهدف الاساسى هو التعلم

بارك الله فيك اخى الكريم

[محمد ابوزيد]

سؤال:

ما هو الناتج الاخير؟

[الشبل الكبير]

نأتي إن شاء الله لحل المسألة:

بأخذ الرقم 9 عامل مشترك من البسط والرقم 4 عامل مشترك من المقام

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} limit=\frac{9}{4}\lim_{x\to2}\frac{3^x^-^2-1}{2^x^-^2-1}

بوضع http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} x-2=logy

فعندما http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} x \to 2 فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} logy=0 ومنها http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} y \to 1

بضرب المعادلة في http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} log3

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} \left ( x-2 \right )log3=log3\cdot logy

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} 3^{x-2}=y^{log3}

وبالمثل بضرب نفس المعادلة في http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} log2 نحصل علي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} 2^{x-2}=y^{log2}

النهاية تصبح:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} \frac{9}{4}\lim_{y\to1}\frac{y^log^3-1}{y^log^2-1}

وهذا يساوي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} \frac{9}{4}\times \frac{log3}{log2}

تمت المسألة بحمد الله تعالي وعونه

[رياضياتى]

السلام عليكم

اذا كانت x تؤول الى 2 ....... يمكن ان نعتبر 2 = x

اذن 3 = x + 1 .......... بالتعويضين الطائشين

اذن 2^ ( x^2 - 4 ) / 9 - (x + 1 )

بمعنى x + 1 الكل تربيع - 9 على x تربيع - 4

اذن بالاختصار ( x^2 - 4 + 2* (x - 2 على x تربيع - 4

اذن بتقسيم البسط على المقام ينتج

اذن 1 + ( 2 على ( x + 2 ) )

ثم بالتعويض المباشر لايجاد النهاية ينتج

1 + نصف = 2 / 3

اشعر ان هناك اخطاء فى محاولتى و محاولة الاخ محمد ابو زيد

و لكن اين بالتحديد ...... ارجو توضيح الاخطاء للافادة

[فراشة الرياضيات]

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .