مسألة خطيرة في حساب المثلثات..!!..

[الشبل الكبير]

في المثلث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} abc إذا كان: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150} cota+cotb+cotc=\sqrt{3}، إثبت أن المثلث متساوي الأضلاع

[مرجانه]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اللهم صل على محمد وعلى آله وصحبه أجمعين

هذه محاولتي والله اعلم

اولا ارسم المثلث المتطابق الاضلاع واجعل رائسه العلوي b وزواياه الاخرى aوc

ارسم ارتفاع المثلث ( اي نصف الرأس b )
من المعلوم للمثلث المتطابق الاضلاع كل زاويه له = 60 درجه
وبما اننا نصفنا الزاويه b سيكون لدينا b=\frac{60}{2} =30

لابد من ايجاد طول اضلاع المثلث المتطابق الاضلاع abc
من الرسم ستكون الزاويه30 محصوره بين الوتر والمجاور للزاويه 30
الان اريد ايجاد الاطوال
\therefore \sin 30=\frac{1}{2}
والsin = المقابل على الوتر
اذا المقابل =1 والمجاور =2
طبعا المقابل منصف الى نصفين والنصف الاول =1 وكذالك النصف الثاني=1
عليه جميع اضلاعه متساويه
حدد ذالك في الرسمه
\cos 30=\frac{\sqrt{3}}{2},\tan 30=\frac{1}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\cot 30=\frac{1}{\tan 30}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}

الان من خلال طول الوتر والضلع المجاور للزاويه 30
تستطيع ان تجد طول الارتفاع من نظريه فيثاغورس
ويساوي \sqrt{3}

الان اوجد قيمه cot للزاويه c &a
علما ان الزاويه a=60 و b=60
\sin 60=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60=\frac{1}{2},\tan 60=\sqrt{3},\cot60 =\frac{1}{\tan 60}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

لما بتعوض بالعلاقه الي كتبتها

\cot a+\cot b+\cot c=\sqrt{3}

الان بتعوض بسهوله عن cot a و cot c

ولكن يبقى لنا ايجاد cot b

وذالك من المتطابقه المثلثيه
\cot x=\tan (90-x)\\\cot 60=\tan (30)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

الان عوض بتلاحظ الطرف الايمن يساوي الطرف الايسر وتم اثبات المطلوب

بالتوفيق

[الشبل الكبير]

الحل غير صحيح بكل أسف يا أخت مرجانة، حيث إنك فرضت بداية أن المثلث متساوي الأصلاع وقمت بالحل بناء علي ذلك، ثم إن أطوال الأضلاع التي حصلت عليها هي خطأ من الأساس، لأنك لا بد أن تفرضي أن طول الضلع هو ل مثلاً ثم تقومي بالحل علي أساس ذلك...

عليك استخدام المعطي الموجود في المسألة للوصول إلي المطلوب وهو أن المثلث مستاوي الأضلاع

شكراً لك

[مرجانه]

اكتب حلك اخي الكريم

[الشبل الكبير]

بتربيع المعادلة المعطاة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?cot^2a+cot^2b+cot^2c+2\left ( cota\cdot cotb+cotb\cdot cotc+cotc\cdot cota \right )=3.....(1)

الآن علينا إيجاد قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} cota\cdot cotb+cotb\cdot cotc+cotc\cdot cota

نعلم أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} a+b+c=180^{\circ}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} a+b=180^{\circ}-c

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} tan\left ( a+b \right )=-tanc

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} \frac{tana+tanb}{1-tana\cdot tanb}=-tanc

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} tana+tanb+tanc=tana\cdot tanb\cdot tanc

وبقسمة الطرفين علي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} tana\cdot tanb\cdot tanc

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} \therefore cota\cdot cotb+cotb\cdot cotc+cotc\cdot cota=1.....(2)

بضرب (2) ×(3) وطرح (1) من (3):

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} 2cot^2a+2cot^2b+2cot^2c-2cota\cdot cotb-2cotb\cdot cotc-2cotc\cdot cota=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} \therefore \left ( cot^2a-2cota\cdot cotb+cot^2b \right )+\left ( cot^2b-2cotb\cdot cotc+cot^2c \right )+(cot^2c-2cotc\cdot cota+cot^2a)=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} \therefore (cota-cotb)^2+\left ( cotb-cotc \right )^2-(cotc-cota)^2=0

أي أن: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} tana=tanb وأيضاً http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} tanb=tanc وكذلك: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} tanc=tana

أي أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} tana=tanb=tanc

إذن الزوايا الثلاث متساوية ومقدار كل منهما 60 درجة

أي أن المثلث متساوي الأضلاع

(..الْحَمْدُ لِلّهِ الَّذِي هَدَانَا لِهَذَا وَمَا كُنَّا لِنَهْتَدِيَ لَوْلا أَنْ هَدَانَا اللّهُ..) (الأعراف 43)

[رياضياتى]

السلام عليكم

اخى الشبل الكبير ارجو توضيح المعادلة الصفرية الاولى ........

كيف توصلت اليها ........ و هل يوجد معادلة رقم 3

و اظن توجد اشارة سالبة بالخطا فى المعادلة الصفرية الاخيرة

[الشبل الكبير]

السلام عليكم

كيف توصلت اليها ........ و هل يوجد معادلة رقم 3

و اظن توجد اشارة سالبة بالخطا فى المعادلة الصفرية الاخيرة
معك حق أخي الكريم رياضياتي، فقد كتبت العبارة كالتالي:

بضرب (2) ×(3) وطرح (1) من (3):
وكان الخطأ هو رقم (3) التي لونتها بالأحمر، وكان المفروض بدلاً منها (2).
أما تصحيح العبارة فهو كالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} \left ( tana-tanb \right )^2+\left ( tanb-tanc \right )^2+\left ( tanc-tana \right )^2=0

أي أن المعادلة الصفرية عبارة عن مجاميع وقد أخطأت سهواً في كتابة سالب بدلاً من موجب

شكراً علي التصحيح

[إشراقة]

ما شاء الله تبارك الله مسألة رائعة وحل أروع..

[الشبل الكبير]

ما شاء الله تبارك الله مسألة رائعة وحل أروع..
أشكرك أختي الفاضلة والحمد لله تعالي الذي من علينا ببعض من علمه وجعلنا مسلمين

[رياضياتى]

السلام عليكم

نعوض عن cot C ثم نوجد cot A بدلالة cot B







Cot A ) * 2 = 3^1/2 - cot B +/- ( - ( 3^1/2 cot B - 1 )^2 )^1/2 )

[رياضياتى]

السلام عليكم

تحت الجذر لا يمكن ان يكون سالبا ........ لذا = صفر

[الشبل الكبير]

السلام عليكم

تحت الجذر لا يمكن ان يكون سالبا ........ لذا = صفر
أخي الكريم لا يوجد هنا جذر سالب في المسألة، وللإيضاح سوف أكتب المعادلتين مرة أخري

المعادلة الأولي هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} cot^2a+cot^2b+cot^2c=1

والمعادلة الثانية هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} cot^2a+cot^2b+cot^2c+\left ( 2cota\cdot cotb+cotb\cdot cotc+cotc\cdot cota \right )=3

بضرب الأولي في 3 وطرح الثانية من الأولي بعد ضربها في 3 ينتج المطلوب

بالتوفيق إن شاء الله

[رياضياتى]

السلام عليكم

اخى الشبل الكبير كنت اشرح فى المشاركتين السابقتين محاولتى لحل اخر للمسالة



Cot C = ( 1 – cot A * cotB ) / cot A + cot B

Cot^2 ( A ) + cot^2 ( B ) + cotA * cot B - 3^1/2 * cot A - 3^1/2 * cot B = 0

Cot^2 ( A ) - ( 3^1/2 - cot B ) * cot A - ( 3^1/2 * cot B - cot^2 ( B ) - 1 ) = 0

[رياضياتى]

السلام عليكم

نصل الى معادلة الدرجة الثانية و نحلها بالقانون العام ....... فنحصل على

Cot A * 2 = 3^1/2 - cot B +/- ( - ( 3^1/2 cot B - 1 )^2 )^1/2



تحت الجذر لا يمكن ان يكون سالبا ........ لذا = صفر

[رياضياتى]

السلام عليكم



اذن ( cot B = 1 / ( 3^1/2


بالتعويض فى القانون العام ( بدون الجذر ) .... اذن ( cot A = 1 / ( 3^1/2

بالتعويض فى اصل المسالة .... اذن ( cot C = 1 / ( 3^1/2

اذن المثلث متساوى الزوايا و متساوى الاضلاع

[رياضياتى]

السلام عليكم

ارجو ترجمتها الى اللغة اللاتيكية ان كانت المحاولة صحيحة

[الشبل الكبير]

السلام عليكم

ارجو ترجمتها الى اللغة اللاتيكية ان كانت المحاولة صحيحة

حل رائع أخي الفاضل رياضياتي، وسوف أقوم بترجمتها إلي اللاتيكية في أسرع وقت إن شاء الله

شكراً لك

[فراشة الرياضيات]

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .

[رياضياتى]

السلام عليكم

استاذن اخى الشبل الكبير فى كتابة محاولتى بصفة مؤقتة الى حين وصول اللاتيكس

[رياضياتى]

السلام عليكم



Cot A + Cot B + Cot C = ( 3^1/2 )

Cot C = ( 1 – cot A * cotB ) / cot A + cot B

Cot A + cot B + ( ( 1 – cot A * cotB ) / cot A + cot B ) = ( 3^1/2 )

Cot^2 ( A ) + cot^2 ( B ) + cotA * cot B - ( 3^1/2 ) * cot A - ( 3^1/2 ) * cot B + 1 = 0

Cot^2 ( A ) - ( 3^1/2 - cot B ) * cot A - ( ( 3^1/2 ) * cot B - cot^2 ( B ) - 1 ) = 0

Cot A = 3^1/2 - cot B +/- ( - ( 3^1/2 cot B - 1 )^2 )^1/2 /2


( ( 3^1/2 ) * cot B - 1 ) = 0 ………… cot B = 1/ ( 3^1/2 )

cot A = 1/ ( 3^1/2 )

cot C = 1/ ( 3^1/2 )

[مهند الزهراني]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اللهم صل على محمد وعلى آله وصحبه أجمعين

هذه محاولتي والله اعلم

اولا ارسم المثلث المتطابق الاضلاع واجعل رائسه العلوي b وزواياه الاخرى aوc

ارسم ارتفاع المثلث ( اي نصف الرأس b )
من المعلوم للمثلث المتطابق الاضلاع كل زاويه له = 60 درجه
وبما اننا نصفنا الزاويه b سيكون لدينا b=\frac{60}{2} =30

لابد من ايجاد طول اضلاع المثلث المتطابق الاضلاع abc
من الرسم ستكون الزاويه30 محصوره بين الوتر والمجاور للزاويه 30
الان اريد ايجاد الاطوال
\therefore \sin 30=\frac{1}{2}
والsin = المقابل على الوتر
اذا المقابل =1 والمجاور =2
طبعا المقابل منصف الى نصفين والنصف الاول =1 وكذالك النصف الثاني=1
عليه جميع اضلاعه متساويه
حدد ذالك في الرسمه
\cos 30=\frac{\sqrt{3}}{2},\tan 30=\frac{1}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\cot 30=\frac{1}{\tan 30}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}

الان من خلال طول الوتر والضلع المجاور للزاويه 30
تستطيع ان تجد طول الارتفاع من نظريه فيثاغورس
ويساوي \sqrt{3}

الان اوجد قيمه cot للزاويه c &a
علما ان الزاويه a=60 و b=60
\sin 60=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60=\frac{1}{2},\tan 60=\sqrt{3},\cot60 =\frac{1}{\tan 60}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

لما بتعوض بالعلاقه الي كتبتها

\cot a+\cot b+\cot c=\sqrt{3}

الان بتعوض بسهوله عن cot a و cot c

ولكن يبقى لنا ايجاد cot b

وذالك من المتطابقه المثلثيه
\cot x=\tan (90-x)\\\cot 60=\tan (30)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

الان عوض بتلاحظ الطرف الايمن يساوي الطرف الايسر وتم اثبات المطلوب

بالتوفيق

الاخت مرجانة والآخ الشبل...

بنظري البسيط والسريع للمسالة والحلول ، كلاكما حله ناقص لسبب بسيط ..

اولا العلاقة تكافؤ وليست اقتضاء اذا يجب برهان كلا الاتجاهين والاخت مرجانة برهنت الحل بالاتجاه المعاكس وبالتالي نصف الحل

ثانيا لا مشكلة عند فرض طول الضلع باي طول ممكن ولكن كان ينقص اضافة عبارة " بدون فقد للعمومية نفرض أن ..... "

لأنه وبشكل آخر ف x هي أي قيمة مختارة لطول الضلع وستعطينا نفس النتائج

واخي الشبل لم تقم في حلك ببرهان الاتجاه الآخر للعلاقة ..

مجرد رأي ...

[رياضياتى]

السلام عليكم

اخى مهند ....... لم اجد خطا فى حل اخى الشبل الكبير

و اذا كانت العلاقة الفعلية تكافؤ الا ان صيغة السؤال

تطلب الاثبات فى اتجاه واحد فقط من المجموع الى التساوى