نرجوا حل تلك المسألة في حساب المثلثات

[الشبل الكبير]

إثبت بدون استخدام الآلة الحاسبة أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} sin54-sin18=\frac{1}{2}

وذلك بطريقتين إحداهما جبرية والأخري هندسية

[الشبل الكبير]

أولاً: الحل الجبري:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} L.H.S=sin\left ( 36^{\circ} \right+18^{\circ} )-sin18^{\circ}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =sin36^{\circ}cos18^{\circ}+cos36^{\circ}sin18^{\c irc}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =sin36^{\circ}cos18^{\circ}+cos36^{\circ}sin18^{\c irc}-sin18^{\circ}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =2sin18^{\circ}cos^218^{\circ}+cos36^{\circ}sin18^ {\circ}-sin18^{\circ}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =sin18^{\circ}\left ( 2cos^218+cos36^{\circ}-1 \right )

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =sin18^{\circ}\left \{ \left (2cos^218-1 \right^{\circ} )+cos36^{\circ} \right \}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =sin18^{\circ}\left ( cos36^{\circ}+cos36^{\circ} \right )

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =2sin18^{\circ}cos36^{\circ}

وبالضرب في http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} \frac{sin36^{\circ}}{sin36^{\circ}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} \therefore 2sin18^{\circ}cos36^{\circ}\times \frac{sin36^{\circ}}{sin36^{\circ}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =\left ( 2sin36^{\circ}cos36^{\circ} \right )\times \frac{sin18^{\circ}}{sin36^{\circ}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =\frac{sin72^{\circ}sin18^{\circ}}{sin36^{\circ}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =\frac{sin72^{\circ}sin18^{\circ}}{2sin18^{\circ}c os18^{\circ}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =\frac{sin72^{\circ}}{2cos18^{\circ}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{120} =\frac{cos18^{\circ}}{2cos18^{\circ}}=\frac{1}{2}

تم حل المسألة بحمد الله تعالي وعونه

[فراشة الرياضيات]

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .