لنتدرب معا للأولمبياد

[مهند الزهراني]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اللهم صل على محمد وآله الطيبين الطاهرين وصحبه الغر الميامين

باذن الله عزوجل سنبدأ في هذا الموضوع بطرح مسائل وأفكار متدرجة تفيد للتدرب للأولمبياد المحلي واختبار الترشيح للأولمبياد الدولي وربما تعطي افكار جيدة وغنية للمسابقات الرياضية

ونبدأ بسؤال بسيط

1- اذا علمت أن باقي قسمة كثيرة الحدود http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;p(x) على المقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x+3
هو 5 ، وباقي قسمتها على http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x-1 هو 1

فأوجد باقي قسمتها على حاصل ضربهما ..

[boujdour2009]

اظ،ــــــــــن ان المسالة ناقصة من ناحية المعطى

على اي مقدار سنقسم P لكي يعطــــي باقي القسمة العدد 5

[nuha1423]

اظ،ــــــــــن ان المسالة ناقصة من ناحية المعطى

على اي مقدار سنقسم P لكي يعطــــي باقي القسمة العدد 5


على x+3


1- اذا علمت أن باقي قسمة كثيرة الحدود http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;p(x) على المقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x+3
هو 5 ، وباقي قسمتها على http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x-1 هو 1

فأوجد باقي قسمتها على حاصل ضربهما


بارك الله فيك مهند فكرة رائعة

وبانتظار الحلول

[زهرة الأوركيد]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اللهم صل على محمد وآله الطيبين الطاهرين وصحبه الغر الميامين

باذن الله عزوجل سنبدأ في هذا الموضوع بطرح مسائل وأفكار متدرجة تفيد للتدرب للأولمبياد المحلي واختبار الترشيح للأولمبياد الدولي وربما تعطي افكار جيدة وغنية للمسابقات الرياضية

ونبدأ بسؤال بسيط

1- اذا علمت أن باقي قسمة كثيرة الحدود http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;p(x) على المقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x+3
هو 5 ، وباقي قسمتها على http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;x-1 هو 1

فأوجد باقي قسمتها على حاصل ضربهما ..

وعليكم السلام ورحمة الله

شكرا لك أستاذ مهند على هذه الفكرة الجميلة

الحل /
باقي القسمة لابد أن يكون درجته أقل من درجة المقسوم عليه ولذلك ، فالباقي من الدرجة الأولى أو عدد ثابت ..


p(x) = q (x-1)(x+3) + r(x)\\
p(1) = r(1) =1\\
p(-3)=r(-3) =5\\

إذن الباقي ليس ثابتا بل دالة خطية ..


r(x)= mx+c\\
m=\frac{-4}{4}=-1\\
c=r(1)+1=2\\
r(x) =2-x

[مهند الزهراني]

حل جميل وبداية موفقة :)

[مهند الزهراني]

السؤال الثاني

2- أوجد كل الأعداد الطبيعية n التي تجعل العدد التالي مربع كامل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;2^4+2^7+2^n

[زهرة الأوركيد]

2^4+2^7+2^n = 2^{2\times2}+2\times 2^{2+4}+2^n\Rightarrow n=2\times4 = 8


لكن كيف أثبت أنه الحل الوحيد أم هناك غيره ، لا أدري !؟

[مهند الزهراني]

2^4+2^7+2^n = 2^{2\times2}+2\times 2^{2+4}+2^n\Rightarrow n=2\times4 = 8


لكن كيف أثبت أنه الحل الوحيد أم هناك غيره ، لا أدري !؟

حلو ، طيب اش رايك تفكري انه المقدار ممكن تسويه على شكل مربع كامل ؟ يعني زي مفكوك المربع الكامل ؟

هذي فكرة وفي فكرة ثانية لكن الاولى أسهل

وأعتذر عن التأخر بالرد

[إشراقة]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته..

حقيقة انقطعت عن المنتدى الفترة الماضية..و سررت كثيرا بعودة مواضيعك أخانا مهند..
وللتو رأيت الموضوع..وهذه مشاركتي:

[زهرة الأوركيد]

أستاذ مهند أنا فعلا طبقت على مفكوك المربع ، ﻷنني اعتبرت أن الحد الأول هو مقدار مربع ، الحد الأوسط هو عبارة عن 2 ضرب الأول ضرب الثاني ، والحد الثالث لابد أن يكون مربعا ..
ومن الحد الأوسط وبمعرفة الحد الأول استنتجت الحد الأخير حيث جذر الحد الأول 2^2 فلابد أن جذر الأخير هو 2^4 وبالتالي n=8 ، ربما نسيت أن أكتب المقدار على شكل (حاصل جمع عددين)^2 ..

فهل قصدت طريقة أخرى تختلف عنها ؟

[إشراقة]

ولا بأس بأن أضع مشاركتي للسؤال الأول:

[لا اعرف شيئ]

سأعطي سؤال سهل ( هذا يلي باليد )
اذا كان التابع (f(x منطلقه مجموعة الاعداد الحقيقية ومستقره مجموعة الاعداد الحقيقية
بحيث ان
F(x) =x-x1

مع العلم ان x1 هو اكبرعدد صحيح اصغر من x
السؤال هو : هل التابع مستمر عند x=2 ولماذا ؟؟؟

[مهند الزهراني]

أستاذ مهند أنا فعلا طبقت على مفكوك المربع ، ﻷنني اعتبرت أن الحد الأول هو مقدار مربع ، الحد الأوسط هو عبارة عن 2 ضرب الأول ضرب الثاني ، والحد الثالث لابد أن يكون مربعا ..
ومن الحد الأوسط وبمعرفة الحد الأول استنتجت الحد الأخير حيث جذر الحد الأول 2^2 فلابد أن جذر الأخير هو 2^4 وبالتالي n=8 ، ربما نسيت أن أكتب المقدار على شكل (حاصل جمع عددين)^2 ..

فهل قصدت طريقة أخرى تختلف عنها ؟

اول شي حلك سليم

والحقيقة الفكرة اقتبستها من احد الاخوان ولا فكرتي ثانية ويعني تقليدية

يعني بفرض انه انه المقدار يساوي t^2 مثلا وبعدين ناخذ نحط 2^n في طرف والباقي بطرف ونحلل فرق بين مربعين ، يعني الطريقة تقدري تقولي طويلة

ومرة ثانية برافو

[مهند الزهراني]

أخت اشراقة حلولك جميلة يعطيك العافية

........

أخي " لا أعرف شي " << أتمنى تغير المعرف

أعتقد انه الجواب لا

مع اني اتمنى تخلو الاسئلة من النهايات والتفاضل والتكامل لانها خارج نطاق مسابقات الاولمبياد للمرحلة الثانوية

[فرووحة]

مهند جزاك الله مرة الموضوع جميل ,, وإن شاءالله الكل يستفيد ويسيرو العرب رواد الألمبياد العالمي يارب

موفقين ,, وبحاول أشارك لو قدرت ^_^

[مهند الزهراني]

يعطيك العافية أختي موفقة :)

........

ومعنا السؤال الثالث في الهندسة

3- أوجد أطوال المتوسطات لمثلث أطوال أضلاعه 3 و 5 و 7

ملاحظة : أحاول قدر الامكان الأسئلة تكون بالفكرة وليست المعلومة

[إشراقة]

يعطيك العافية أختي موفقة :)

........

ومعنا السؤال الثالث في الهندسة

3- أوجد أطوال المتوسطات لمثلث أطوال أضلاعه 3 و 5 و 7

ملاحظة : أحاول قدر الامكان الأسئلة تكون بالفكرة وليست المعلومة

بتطبيق القانون:
http://www.mathramz.com/math/files/tex/815102c8d70b07b0761ef6c86b6fded7.png
تنتج مباشرة...وهذا القانون ناشئ أصلا باستخدام قانون جيب التمام.:s_thumbup:

[مهند الزهراني]

بتطبيق القانون:
http://www.mathramz.com/math/files/tex/815102c8d70b07b0761ef6c86b6fded7.png
تنتج مباشرة...وهذا القانون ناشئ أصلا باستخدام قانون جيب التمام.:s_thumbup:

وهذا القانون ناشئ أصلا باستخدام قانون جيب التمام


وهذا هو اللي كنت أبغى أوصل له ومن ثم أقدم القانون ، جميل جدا

وبحاول يكون هذا أسلوبي في الأسئلة القادمة :s_thumbup:

والله يسامحك تجبريني أحط سؤال جديد :D

[مهند الزهراني]

السؤال الجديد

- إذا كانت الدالة f تحقق الخاصية التالية لكل قيم x الحقيقية عدا الصفر

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(x)&plus;2f\left&space;(\frac{1}{x}&space;\rig ht&space;)=3x

فأوجد عدد الحلول غير الصفرية للمعادلة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;f(x)=f(-x)

[زهرة الأوركيد]

f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\\
x\rightarrow\frac{1}{x}\\
f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{3}{x}

نضرب المعادلة الأخير في -2 ونجمعها للأولى :

-3f(x)=3x-\frac{6}{x}\\
f(x)= \frac{2}{x}-x

الشرط :

\frac{2}{x}-x=x-\frac{2}{x}\\
2x=\frac{4}{x}\\
x=\pm\sqrt2

[مهند الزهراني]

f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\\
x\rightarrow\frac{1}{x}\\
f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{3}{x}

نضرب المعادلة الأخير في -2 ونجمعها للأولى :

-3f(x)=3x-\frac{6}{x}\\
f(x)= \frac{2}{x}-x

الشرط :

\frac{2}{x}-x=x-\frac{2}{x}\\
2x=\frac{4}{x}\\
x=\pm\sqrt2


جميل جدا

وأهم ما أردت الوصول إليه هو هذه الخطوة

f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\\
x\rightarrow\frac{1}{x}\\
f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{3}{x}

خطوة مهمة في حل المعادلات الدالية البسيطة

موفقة :)

وانتظروا السؤال الجديد

[مهند الزهراني]

سؤالنا الجديد بسيط للغاية وأطلب إثباته ، وحل هذا السؤال سيساعد على حل السؤال اللي بعده

- أثبت أنه لأي أربعة أعداد حقيقية موجبة فإن المتباينة التالية متحققة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{a&plus;b&plus;c&plus;d}{4}\geq&space;\sqrt[4]{abcd}

[Siddigss]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته !!

ما شاء الله تبارك الله !!
موضوع جميل جدا

جزاك الله خيرا أخي مهند وجزى الله الجميع !!
هذا إثباتي والله أعلم :D
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2-4abcd+2a^2b^2+2d^2c^2\\=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+(\sqrt{2}ab-\sqrt{2}dc)^2

إذاً : الناتج موجب !!
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Rightarrow%20a^4+b^4+c^4+d^4\geq%204abc d\Rightarrow%20\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\geq%20abc d

باستبدال الأعداد بجذورها الرابعة !!
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{a+b+c+d}{4}\geq%20\sqrt[4]{abcd}

إن شاء الله صحيح !!

أنتظر تصحيحك أخي :D

[مهند الزهراني]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته !!

ما شاء الله تبارك الله !!
موضوع جميل جدا

جزاك الله خيرا أخي مهند وجزى الله الجميع !!
هذا إثباتي والله أعلم :D
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2-4abcd+2a^2b^2+2d^2c^2\\=(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+(\sqrt{2}ab-\sqrt{2}dc)^2

إذاً : الناتج موجب !!
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Rightarrow%20a^4+b^4+c^4+d^4\geq%204abc d\Rightarrow%20\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\geq%20abc d

باستبدال الأعداد بجذورها الرابعة !!
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{a+b+c+d}{4}\geq%20\sqrt[4]{abcd}

إن شاء الله صحيح !!

أنتظر تصحيحك أخي :D

جميل جدا لكنه أكثر تعقيدا من اللي ببالي :D

فكرة اثباتي بسيطة جدا وهي كالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq&space;0\Leftrightarrow&space;\frac{a&plus;b}{2}\geq &space;\sqrt{ab}

وبالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{a&plus;b&plus;c&plus;d}{4}=\frac{1}{2}\ left&space;(&space;\frac{a&plus;b}{2}&plus;\frac{c&plus;d}{2}&space;\right&space;)\geq&space;\f rac{1}{2}\left&space;(&space;\sqrt{ab}&plus;\sqrt{cd}&space;\right&space;)\geq&space; \sqrt[4]{abcd}

:D :D :D

[مهند الزهراني]

هنت واحد بس :D

فكروا بالسؤال السابق :D

- أثبت لأي أربعة أعداد حقيقية موجبة أن المتباينة التالية متحققة دوما

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{a-b}{b&plus;c}&plus;\frac{b-c}{c&plus;d}&plus;\frac{c-d}{d&plus;a}&plus;\frac{d-a}{a&plus;b}\geq&space;0

[نورة الشريف]

يعطييك العآفيــهـ أستآذنـآآ ..

سآكوون معكـــم بأذن الله =))

[مهند الزهراني]

اليوم آخر موعد لحل السؤال =)

[مهند الزهراني]

هنت واحد بس :D

فكروا بالسؤال السابق :D

- أثبت لأي أربعة أعداد حقيقية موجبة أن المتباينة التالية متحققة دوما

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{a-b}{b&plus;c}&plus;\frac{b-c}{c&plus;d}&plus;\frac{c-d}{d&plus;a}&plus;\frac{d-a}{a&plus;b}\geq&space;0

تلميح : فكر باضافة رقم الى طرفي العلاقة واستفد من السؤال السابق

[مهند الزهراني]

تلميح : فكر باضافة رقم الى طرفي العلاقة واستفد من السؤال السابق

نضيف أربعة للطرفين

ونوزع الاربعة على الطرف الايسر لكل حد 1 كالتالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{a-b}{b&plus;c}&plus;1=\frac{a&plus;c}{b&plus;c}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{b-c}{c&plus;d}&plus;1=\frac{b&plus;d}{c&plus;d}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{c-d}{a&plus;d}&plus;1=\frac{c&plus;a}{a&plus;d}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;\frac{d-a}{a&plus;b}&plus;1=\frac{b&plus;d}{a&plus;b}

ونطبق المتباينة اللي كانت بالسؤال السابق وينتهي السؤال ..

[كُرْد]

امممم أضفت اربعة للطرفين وطلع لي نفس الفكره بعدين ماعرفت ايش اسوي P=
ايش قصدك بالمتباينه السابقه ! S=

[مهند الزهراني]

امممم أضفت اربعة للطرفين وطلع لي نفس الفكره بعدين ماعرفت ايش اسوي P=
ايش قصدك بالمتباينه السابقه ! S=

اللي هي المتباينة بالسؤال اللي قبله

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{150}&space;a&plus;b&plus;c&plus;d\geq&space;4\sqrt[4]{abcd}

لما نطبقها على سؤالنا بعد اضافة الاربعة بتكون المتباينة صحيحة

[زهرة الأوركيد]

محاولة لاكمال الحل :


A=\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}
\\ A+4 = \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{b+d}{c+d}+ \frac{b+d}{a+b}\\
=(a+c)\left(\frac{a+b+c+d}{(a+d)(b+c)}\right)+(b+d )\left(\frac{a+b+c+d}{(a+b)(c+d)}\right) \dots\qquad (1)


From Am-Gm


\frac{a+b+c+d}{2}\geq \sqrt{(a+d)(b+c)} \Rightarrow \frac{a+b+c+d}{(a+d)(b+c)}\geq \frac{4}{a+b+c+d}\\
\frac{a+b+c+d}{2}\geq \sqrt{(a+b)(c+d)} \Rightarrow \frac{a+b+c+d}{(a+b)(c+d)}\geq \frac{4}{a+b+c+d}\\


بالتعويض في (1)


A+4 \geq \frac{4}{a+b+c+d} \left (a+c+b+d\right) \Rightarrow A+4\geq 4\Rightarrow A\geq 0

[حلم وأمل]

ارجوا حل الاسئلة مع الشرح لاني وللاسف مشاركة في الاولمبياد الدولي وما عرفت حل اي سؤال جميع هذه المسأل لم تمر على طوال فترة دراستي السابقة
علماً باني في اولى ثانوي
اذا كان هناك اسئلة تتوقعون ان تكون في اختبار الترشيح اتمنى تنزلونها لنستفيد
مشكورين ماجورين على هذا الجهد الرائع