ابو غازي
01-09-2005, 12:53
بسم الله الرحمن الرحيم..
الأرقام المعنوية , مهم جداً فهمها عند إجراء التجارب أو الحسابات عموماً – بالنسبة لي كنت أسأل دائماً عند أي رقم أكتفي عندما أجري الحسابات هل بعد الفاصلة برقم أم أكثر بحيث أشمل جميع الأرقام التي تنتجها الآلة الحاسبة؟؟ وكانت الإجابة تأتيني دوماً خذي أكبر عدد من الأرقام لمزيد من الدقة..... لكن الصحيح هو أن الحسابات لا يمكنها زيادة ضباطة الكميات المقاسة أو عدد أرقامها المعنوية – لنوضح ؟؟
مقدمة توضيحية ::
---------------------
أبسط طريقة لتقدير الكمي هي العد,,, وهنا يمكننا من ناحية المبدء معرفة العدد بالضبط..
الطريقة الأخرى لتقدير الكمي هي القياس,, وهي بخلاف العد عملية غير ضبطية من حيث المبدء ,, لأننا عندما نقيس لا نستعمل الأعداد الصحيحة لتعيين الكمية , ولكننا نستخدم جهاز معين على سبيل المثال العلامات الموجودة على المسطرة أو الترمومتر .. وهنا يتعين حد الضباطة بتصميم وتركيب جهاز القياس , ومهما كان حرصنا أثناء القياس فإننا لن نحصل أبداً على نتيجة أكثر ضباطة من حد جهاز القياس المستخدم.... وكتوجيه عام يقال أن حد ضباطة جهاز قياس معين يساوي نصف أصغر قسم من أقسام القياس.. حيث أنك عندما تقوم بإجراء قياس ما فإنك تقرأ الكمية المقاسة لأقرب علامة على الجهاز , وعندئذ سوف تقع القيمة الحقيقية لهذا القياس في مدى قدره نصف أصغر قسم من أقسام الجهاز فوق أو تحت العلامة المبينة>>>>>>>> ويسمى هذا بحد ضباطة جهاز القياس , وهو أول نوع من أنواع عدم اليقين في القياس.
النوع الثاني من عدم اليقين في القياس ,, مايسمى بالأخطاء الرتيبية :: وهي مرتبطة بالتصميم الغير الصحيح للجهاز أو بالمعايرة الغير صحيحة للجهاز, كما أنه قد ينشأ عن القراءة غير الصحيحة لنتيجة , وهي تؤدي إلى أن يكون القياس أكبر أو أصغر من القيمة الحقيقية بمقدار ثابت, ويوصف القياس حينئذ بأنه غير دقيق... وهنا يلاحظ أن العناية الشديدة بتصميم الجهاز ومعايرته , والحرص الكبير عند القراءة يمكن أن يقلل الأخطاء الرتيبة إلى مستوى من عدم الدقة أصغر من حد ضباطة الجهاز..
والنوع الثالث , والأخير... مايسمى بالأخطاء العشوائية أو الأخطاء الإحصائية::
تسببها تغيرات الخاصية الفيزيائية المقاسة نفسها , كالتغير في درجة الحرارة أو ضغط الغاز وماشبه ذلك.. وهي تؤدي أننا نلاحظ أنه عند أخذ القياسات المتعددة لنفس الكمية بإستخدام نفس الجهاز نجد أنها تختلف فيما بينها عادة ً بمقادير أكبر من حد ضباطة الجهاز,, والأخطأ الإحصائية لا يمكن التخلص منها تماماً , ولكن يمكن تقليلها بزيادة عدد القياسات , كما يمكن حساب تأثيرها على دقة الكمية المقاسة بالتحليل الإحصائي.
الأرقام المعنوية في الحسابات ::::
----------------------------------
حيث أن لكل جهاز حد ضباطة معين , ونظراً لأن الأخطأ الإحصائية غالباً ماتتواجد , فإن هناك حد معين لعدد من الأرقام المعروفة يقيناً في نتيجة كل قياس , وتسمى الأرقام المعروفة يقيناً بالأرقام المعنوية. ومن ثم إنه من الضروري عند إجراء حسابات, معرفة عدد الأرقام المعنوية اللازم الإحتفاظ بها في النتيجة .. ذلك أن الآلات الحاسبة تعطي النتيجة على هيئة عدد مكون مما يقرب من عشرة أرقام حتى وإن كانت الكميات المدخلة مكونة من عدد معنويين أو ثلاثة فقط..
وسوف نتعرف الآن على قاعدتين بسيطتين لحــــــــل هذه المشكلة::
الأرقام المعنوية في عمليتي الجمع والطرح :
-------------------------------------------
عند جمع أو طرح الكميات المناسبة يمكن أن تكون ضباطة النتيجة مساوية فقط لأقل الحدود ضباطة في المجموع أو الفرق.
مثــــــــال توضيحي لتقتنع بالقاعدة ,,
---------------------------------
لنفرض أنك قد أجريت ثلاث قياسات للطول بإستخدام أجهزة ذات ضباطات مختلفة وأنك حصلت على 3.76 ,, 46.855 ,, 0.2 مامجموع هذه القيم ؟؟
الآلة الحاسبة سوف تعطيك = 50.815 ..
ولكن قاعدة السابقة تفيدنا أن النتيجة يجب أن تساوي = 50.8 >>>> لأن أقل الكميات ضباطة 0.2 ..
لنرى هل هذا صحيح أم لا؟؟!!
لننظر في البداية إلى معنى ضباطة كل من الأعداد السابقة,,
بتطبيق القاعدة التي تقول ( أن حد ضباطة جهاز قياس معين يساوي نصف أصغر قسم من أقسام القياس ) سنجد أن القيمة الأولى تقع في المدى من 3.755 إلى 3.765 ,, وكذلك فإن القيمة الثانية تقع في المدى من 46.8555 إلى 46.8565 ,, والقيمة الثالثة تقع في المدى 0.15 إلى 0.25 ..
ولإيجاد درجة عدم اليقين في المجموعة يمكن إيجاد أكبر مجموع بإستخدام القيم العلياء للأعداد الثلاثة,, ثم حساب أصغر مجموع بإستخدم القيم الصغرى لها:
أكبر مجموع ::
3.765+ 46.8555 + 0.25 = 50.8705
أصغر مجموع :
3.755 + 46.8545 + 0.15 = 50.7595
ومن هنا نجد أن مدى اليقين أكبر قليلاً من 0.1 , وهذا المثال التوضيحي يبين أنه حتى الرقم المعنوي الثالث موضع شك, ومن ثم فليس هناك أي مبرر لإدعاء أن الضباطة أعلى من 50.8
الأرقام المعنوية في عمليتي الضرب والقسمة:::
------------------------------------------------
عند ضرب أو قسمة الكميات المقاسة يمكن أن يكون عدد الأرقام المعنوية في النتيجة مساوياً فقط لأقل عدد من الأرقام المعنوية في أي عامل في المسألة.
مثــــــال توضيحي::
---------------------
ماحجم صندوق قيست أطوال أضلاعه بالسنتيمتر فوجد أنها 31.3 ,,, 28 ,,, 51.85 ؟؟
حجم الصندوق بإستخدام الآلة الحاسبة ..
31.3 × 28 × 51.85 = 45441.34
لكن قاعدة الأرقام المعنوية لضرب والقسمة, تحتم الاحتفاظ برقمين معنويين فقط ( لأننا محدودون برقمين معنويين في القيمة 28 ) ,, إذاً الإجابة تبعاً للقاعدة تساوي 45000 ..
أعلم أنه يبدوا أننا قسونا على أنفسنا قسوة شديدة بإهمال جميع الأرقام المعنوية الأخرى.. ولكن بالنظر لمعنى الضباطة – المذكور سابقاً - سنرى أن أكبر قيم للأعداد الثلاثة هي 31.35 ,, 28.5 ,,, 51.855 .. وبذلك سوف نجد أن القيمة العظمى للحجم هي ( وذلك عند ضرب الأعداد السابقة ) تساوي =46.300
ويمكن إيجاد القيمة الصغرى للحجم بإستخدام القيم الصغرى للأعداد المعطاة :
31.25 × 27.5 × 51.845 = 44.600
تبين القياسات إذن أن الحجم المحسوب يجب أن يكون في هذا المدى.. وهكذا نرى أن الرقم الثاني نفسه غير يقيني, ومن ثم فإن الحجم يكون 45000 cm^3 تقريبــــــــاً. وهو يتكون من رقمين معنويين فقط.
تلخيصاً لما سبق من المهم أن نتذكر الآتي::
-------------------------------------------
--------------------------------------------
الحسابات لا يمكنها زيادة ضباطة الكميات المقاسة أو عدد أرقامها المعنوية.
إنتهى...
والسلام عليكم ورحمة الله وأجل بركاته.
كتبته من كتاب :
أساسيات الفيزياء , للمؤلفين جيراد, وبوش..
وهو تقريباً شبيه بكتاب:
أساسيات الفيزياء , للمؤلفين سيرواي , وبيتنر.
الأرقام المعنوية , مهم جداً فهمها عند إجراء التجارب أو الحسابات عموماً – بالنسبة لي كنت أسأل دائماً عند أي رقم أكتفي عندما أجري الحسابات هل بعد الفاصلة برقم أم أكثر بحيث أشمل جميع الأرقام التي تنتجها الآلة الحاسبة؟؟ وكانت الإجابة تأتيني دوماً خذي أكبر عدد من الأرقام لمزيد من الدقة..... لكن الصحيح هو أن الحسابات لا يمكنها زيادة ضباطة الكميات المقاسة أو عدد أرقامها المعنوية – لنوضح ؟؟
مقدمة توضيحية ::
---------------------
أبسط طريقة لتقدير الكمي هي العد,,, وهنا يمكننا من ناحية المبدء معرفة العدد بالضبط..
الطريقة الأخرى لتقدير الكمي هي القياس,, وهي بخلاف العد عملية غير ضبطية من حيث المبدء ,, لأننا عندما نقيس لا نستعمل الأعداد الصحيحة لتعيين الكمية , ولكننا نستخدم جهاز معين على سبيل المثال العلامات الموجودة على المسطرة أو الترمومتر .. وهنا يتعين حد الضباطة بتصميم وتركيب جهاز القياس , ومهما كان حرصنا أثناء القياس فإننا لن نحصل أبداً على نتيجة أكثر ضباطة من حد جهاز القياس المستخدم.... وكتوجيه عام يقال أن حد ضباطة جهاز قياس معين يساوي نصف أصغر قسم من أقسام القياس.. حيث أنك عندما تقوم بإجراء قياس ما فإنك تقرأ الكمية المقاسة لأقرب علامة على الجهاز , وعندئذ سوف تقع القيمة الحقيقية لهذا القياس في مدى قدره نصف أصغر قسم من أقسام الجهاز فوق أو تحت العلامة المبينة>>>>>>>> ويسمى هذا بحد ضباطة جهاز القياس , وهو أول نوع من أنواع عدم اليقين في القياس.
النوع الثاني من عدم اليقين في القياس ,, مايسمى بالأخطاء الرتيبية :: وهي مرتبطة بالتصميم الغير الصحيح للجهاز أو بالمعايرة الغير صحيحة للجهاز, كما أنه قد ينشأ عن القراءة غير الصحيحة لنتيجة , وهي تؤدي إلى أن يكون القياس أكبر أو أصغر من القيمة الحقيقية بمقدار ثابت, ويوصف القياس حينئذ بأنه غير دقيق... وهنا يلاحظ أن العناية الشديدة بتصميم الجهاز ومعايرته , والحرص الكبير عند القراءة يمكن أن يقلل الأخطاء الرتيبة إلى مستوى من عدم الدقة أصغر من حد ضباطة الجهاز..
والنوع الثالث , والأخير... مايسمى بالأخطاء العشوائية أو الأخطاء الإحصائية::
تسببها تغيرات الخاصية الفيزيائية المقاسة نفسها , كالتغير في درجة الحرارة أو ضغط الغاز وماشبه ذلك.. وهي تؤدي أننا نلاحظ أنه عند أخذ القياسات المتعددة لنفس الكمية بإستخدام نفس الجهاز نجد أنها تختلف فيما بينها عادة ً بمقادير أكبر من حد ضباطة الجهاز,, والأخطأ الإحصائية لا يمكن التخلص منها تماماً , ولكن يمكن تقليلها بزيادة عدد القياسات , كما يمكن حساب تأثيرها على دقة الكمية المقاسة بالتحليل الإحصائي.
الأرقام المعنوية في الحسابات ::::
----------------------------------
حيث أن لكل جهاز حد ضباطة معين , ونظراً لأن الأخطأ الإحصائية غالباً ماتتواجد , فإن هناك حد معين لعدد من الأرقام المعروفة يقيناً في نتيجة كل قياس , وتسمى الأرقام المعروفة يقيناً بالأرقام المعنوية. ومن ثم إنه من الضروري عند إجراء حسابات, معرفة عدد الأرقام المعنوية اللازم الإحتفاظ بها في النتيجة .. ذلك أن الآلات الحاسبة تعطي النتيجة على هيئة عدد مكون مما يقرب من عشرة أرقام حتى وإن كانت الكميات المدخلة مكونة من عدد معنويين أو ثلاثة فقط..
وسوف نتعرف الآن على قاعدتين بسيطتين لحــــــــل هذه المشكلة::
الأرقام المعنوية في عمليتي الجمع والطرح :
-------------------------------------------
عند جمع أو طرح الكميات المناسبة يمكن أن تكون ضباطة النتيجة مساوية فقط لأقل الحدود ضباطة في المجموع أو الفرق.
مثــــــــال توضيحي لتقتنع بالقاعدة ,,
---------------------------------
لنفرض أنك قد أجريت ثلاث قياسات للطول بإستخدام أجهزة ذات ضباطات مختلفة وأنك حصلت على 3.76 ,, 46.855 ,, 0.2 مامجموع هذه القيم ؟؟
الآلة الحاسبة سوف تعطيك = 50.815 ..
ولكن قاعدة السابقة تفيدنا أن النتيجة يجب أن تساوي = 50.8 >>>> لأن أقل الكميات ضباطة 0.2 ..
لنرى هل هذا صحيح أم لا؟؟!!
لننظر في البداية إلى معنى ضباطة كل من الأعداد السابقة,,
بتطبيق القاعدة التي تقول ( أن حد ضباطة جهاز قياس معين يساوي نصف أصغر قسم من أقسام القياس ) سنجد أن القيمة الأولى تقع في المدى من 3.755 إلى 3.765 ,, وكذلك فإن القيمة الثانية تقع في المدى من 46.8555 إلى 46.8565 ,, والقيمة الثالثة تقع في المدى 0.15 إلى 0.25 ..
ولإيجاد درجة عدم اليقين في المجموعة يمكن إيجاد أكبر مجموع بإستخدام القيم العلياء للأعداد الثلاثة,, ثم حساب أصغر مجموع بإستخدم القيم الصغرى لها:
أكبر مجموع ::
3.765+ 46.8555 + 0.25 = 50.8705
أصغر مجموع :
3.755 + 46.8545 + 0.15 = 50.7595
ومن هنا نجد أن مدى اليقين أكبر قليلاً من 0.1 , وهذا المثال التوضيحي يبين أنه حتى الرقم المعنوي الثالث موضع شك, ومن ثم فليس هناك أي مبرر لإدعاء أن الضباطة أعلى من 50.8
الأرقام المعنوية في عمليتي الضرب والقسمة:::
------------------------------------------------
عند ضرب أو قسمة الكميات المقاسة يمكن أن يكون عدد الأرقام المعنوية في النتيجة مساوياً فقط لأقل عدد من الأرقام المعنوية في أي عامل في المسألة.
مثــــــال توضيحي::
---------------------
ماحجم صندوق قيست أطوال أضلاعه بالسنتيمتر فوجد أنها 31.3 ,,, 28 ,,, 51.85 ؟؟
حجم الصندوق بإستخدام الآلة الحاسبة ..
31.3 × 28 × 51.85 = 45441.34
لكن قاعدة الأرقام المعنوية لضرب والقسمة, تحتم الاحتفاظ برقمين معنويين فقط ( لأننا محدودون برقمين معنويين في القيمة 28 ) ,, إذاً الإجابة تبعاً للقاعدة تساوي 45000 ..
أعلم أنه يبدوا أننا قسونا على أنفسنا قسوة شديدة بإهمال جميع الأرقام المعنوية الأخرى.. ولكن بالنظر لمعنى الضباطة – المذكور سابقاً - سنرى أن أكبر قيم للأعداد الثلاثة هي 31.35 ,, 28.5 ,,, 51.855 .. وبذلك سوف نجد أن القيمة العظمى للحجم هي ( وذلك عند ضرب الأعداد السابقة ) تساوي =46.300
ويمكن إيجاد القيمة الصغرى للحجم بإستخدام القيم الصغرى للأعداد المعطاة :
31.25 × 27.5 × 51.845 = 44.600
تبين القياسات إذن أن الحجم المحسوب يجب أن يكون في هذا المدى.. وهكذا نرى أن الرقم الثاني نفسه غير يقيني, ومن ثم فإن الحجم يكون 45000 cm^3 تقريبــــــــاً. وهو يتكون من رقمين معنويين فقط.
تلخيصاً لما سبق من المهم أن نتذكر الآتي::
-------------------------------------------
--------------------------------------------
الحسابات لا يمكنها زيادة ضباطة الكميات المقاسة أو عدد أرقامها المعنوية.
إنتهى...
والسلام عليكم ورحمة الله وأجل بركاته.
كتبته من كتاب :
أساسيات الفيزياء , للمؤلفين جيراد, وبوش..
وهو تقريباً شبيه بكتاب:
أساسيات الفيزياء , للمؤلفين سيرواي , وبيتنر.