رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

حل معادلتين فى متغيرين

1) س + ص = 5 ، س2 + ص2 = 13

2) س + ص = 7 ، س2 + ص2 ــ س ص = 19

3) س + 2ص = 5 ، س2 ــ س ص + ص2 = 3

4) ص = 3 + س ، س2 + ص2 = 17

5) س + ص = 3 ، س ص ــ 2 = 0

6) س ــ 3 ص ــ 1 = 0 ، س2 ــ 2 س ص + 9 ص2 = 17

7) 2 س ــ 3 ص = 0 ، س ص = 54


الأولى :

س + ص = 5 ـــــــ> ( س + ص )^2 = 25
ومنها : س^2 + ص^2 + 2 س ص = 25
وحيث : س^2 + ص^2 = 13
إذن : 2 س ص = 25 - 13 = 12 ـــــ> س ص = 6
بالتعويض عن قيمة س = 5 - ص ـــــ> ص^2 - 5 ص + 6 = 0
وهى معادلة من الدرجة الثانية فى متغير واحد
بالتحليل :
( ص - 2 ) ( ص - 3 ) = 0
ومنها :
ص = 2 ــــــ> س = 3
أو
ص = 3 ـــــــ> س = 2

مجموعة الحل : ( 2 ، 3 ) ، ( 3 ، 2 )


الثانية :

نفس طريقة الحل السابقة ، ينتج أن :

مجموعة الحل : ( 2 ، 5 ) ، ( 5 ، 2 )


الثالثة :

س + 2 ص = 5 ـــــ> س = 5 - 2 ص
بالتعويض عن قيمة س بدلالة ص فى المعادلة : س^2 - س ص + ص^2 = 3
ينتج أن :
7 ص^2 - 25 ص + 22 = 0
( ص - 2 ) ( 7 ص - 11 ) = 0
إذن :
ص = 2 ، ومنها : س = 5 - 2 × 2 = 1
ص = 11 / 7 ، ومنها : س = 13 / 7
وتكون مجموعة الحل : ( 1 ، 2 ) ، ( 13 / 7 ، 11 / 7 )


الرابعة :

ص = 3 + س .............................. (1)
س^2 + ص^2 = 17 ......................... (2)
بالتعويض عن قيمة ص بدلالة س من (1) فى (2)
ينتج أن :
س^2 + 3 س - 4 = 0
( س - 1 ) ( س + 4 ) = 0
إذن :
س = 1 ــــــــ> ص = 4
س = - 4 ـــــــ> ص = - 1
مجموعة الحل : ( 1 ، 4 ) ، ( - 4 ، - 1 )


الخامسة :

س + ص = 3
س ص - 2 = 0 ـــــ> س = 2 / ص
إذن :
2 / ص + ص = 3
ومنها : ص^2 - 3 ص + 2 = 0
( ص - 1 ) ( ص - 2 ) = 0
ص = 1 ، ومنها : س = 2
ص = 2 ، ومنها : س = 1
مجموعة الحل : ( 1 ، 2 ) ، ( 2 ، 1 )


السادسة :

س - 3 ص - 1 = 0 ـــــ> ( س - 3 ص )^2 = 1
س^2 - 6 س ص + 9 ص^2 = 1
س^2 + 9 ص^2 = 6 س ص + 1 ..................... (1)
وحيث : س^2 - 2 س ص + 9 ص^2 = 17
ومنها : س^2 + 9 ص^2 = 2 س ص + 17 ............ (2)
من (1) ، (2)
س ص = 4 ـــــ> س = 4 / ص
إذن :
4 / ص - 3 ص - 1 = 0
3 ص^2 + ص - 4 = 0
( ص - 1 ) ( 3 ص - 4 ) = 0
ص = 1 ، ومنها : س = 4
ص = - 4 / 3 ، ومنها : س = - 3
مجموعة الحل : ( 4 ، 1 ) ، ( - 3 ، - 4 / 3 )


السابعة :

2 س - 3 ص = 0 ـــــــ> س = 3 ص / 2
إذن :
( 3 ص / 2 ) × ص = 54 ـــــــــــ> ص^2 = 36
وتكون :
ص = 6 ، ومنها : س = 9
ص = - 6 ، ومنها : س = - 9
مجموعة الحل : ( 9 ، 6 ) ، ( - 9 ، - 6 )

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

مستطيل طوله س و عرضه ص و مساحته 77 سم2 ، إذا نقص طوله بمقدار 2 سم، زاد عرضه بمقدار 2سم لأصبح مربع . أوجـــد بعدي المستطيل ؟

مساحة المستطيل = الطول × العرض
س ص = 77 .............................. (1)
المربع أبعاده متطابقة
إذن :
( س - 2 ) = ( ص + 2 )
س = ص + 4 .............................. (2)
من (1) ، (2)
( ص + 4 ) × ص = 77
ص^2 + 4 ص - 77 = 0
( ص - 7 ) ( ص + 11 ) = 0
ص = 7 ، ومنها : س = 11
ص = - 11 ، مرفوض للقيمة السالبة
ويكون :
بعدى المستطيل : 11 ، 7

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

عددان مجموعهما الواحد الصحيح ، و مجموع مربعيهما 41 فما هما العددان ؟

نفرض أن العددين هما : س ، ص
إذن :
س + ص = 1 ــــ> ( س + ص )^2 = 1
س^2 + ص^2 + 2 س ص = 1
وحيث :
س^2 + ص^2 = 41
فيكون :
41 + 2 س ص = 1 ـــــ> س ص = - 20
بالتعويض عن قيمة س = 1 - ص
( 1 - ص ) × ص = - 20
ص^2 - ص - 20 = 0
( ص - 5 ) ( ص + 4 ) = 0
ص = 5 ـــــــ> س = - 4
أو
ص = - 4 ــــــ> س = 5

العددان هما : - 4 ، 5

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

عددان مجموعهما 8 و حاصل ضربهما 12 فما هما العددان ؟

نفرض أن العددين هما : س ، ص
س + ص = 8
س ص = 12

بنفس الطرق السابقة بالتعويض عن قيمة متغير بدلالة الآخر
س = 8 - ص
( 8 - ص ) × ص = 12
ص^2 - 8 ص + 12 = 0
( ص - 2 ) ( ص - 6 ) = 0
ص = 2 ــــــــــــ> س = 6
ص = 6 ــــــــــــ> س = 2
ويكون العددين هما : 2 ، 6

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

ضع الاعداد من 1 الي 16 في خط افقى
بحيث كل عددين متتاليين مجموعهما مربع كامل
وهل يمكن
الكتابة على شكل دائرة وليس خط افقى


إذا فحصنا الأعداد فسنجد أن هذا الشرط متوقر فى جميع الأعداد من 1 الى 16 عدا عددين ، وهما : 8 ، 16

فالعدد 8 لا يرتبط سوى بعدد واحد فقط ليكون مربع كامل وهو العدد 1

والعدد 16 أيضا لا يرتبط سوى بعدد واحد فقط ليكون مربع كامل وهو العدد 9

وبالتالى يمكن الترتيب على خط مستقيم
ويستحيل وضع السلسلة فى شكل دائرة مقفلة

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

حل المنظومة التالية :

س^2 + ص^2 + 3 س + 3 ص = 8
س ص + 4 س + 4 ص = 2




س ص + 4 س + 4 ص = 2

س ص = 2 - 4*(س + ص) ـــــــــــــــــــــــــــــــ (1)

س^2 + ص^2 + 3 س + 3 ص = 8

[(س + ص)^2 - 2 س ص ] + 3*(س + ص) = 8
(س + ص)^2 + 3*(س + ص) = 8 + 2 س ص ـــــــــــــــــ (2)

من (1) ، (2)

(س + ص)^2 + 11*(س + ص) - 12 = 0

نضع (س + ص ) = م

م^2 + 11 م - 12 = 0
(م - 1)(م + 12) = 0

م = 1
س + ص = 1
س ص = 2 - 4*1 = - 2 ـــــــــــــــــــ س = - 2/ص
- 2/ص + ص - 1 = 0
1/ص*(ص^2 - ص - 2) = 0

1/ص = 0 ــــــــــــــــــــــــ غير مقبول حيث ص لا تساوى مالانهاية

أو ص^2 - ص - 2 = 0
ص = 2 ــــــــــــــــــــــ س = - 1
أو ص = - 1 ـــــــــــــــــ س = 2


أو

م = - 12
س + ص = - 12
س ص = 2 - 4*(- 12) = 50 ـــــــــــــــــ س = 50/ص
50/ص + ص + 12 = 0
1/ص* ( ص^2 + 12 ص + 50 ) = 0

ص^2 + 12 ص + 50 = 50
ص = [- 12 + أو - جذر(144 - 4*1*50) / 2
ص = [-12 + أو - جذر - 56]/2

ص = - 6 + جذر 14 ت (تخيلى) ـــــــــــــــــ س = 7 - جذر14 ت
أو ص = - 6 - جذر 14 ت (تخيلى) ــــــــــــــ س = 7 + جذر14 ت

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

أوجد علي الصورة المثلثية : مجموعة حل المعادلة

س^2 - 2 س + 4 = صفر حيث س عدد مركب


س = [ - ب + أو - جذر(ب^2 - 4 أ ج)] /2 أ = [2 + أو - جذر(4 - 16)]/2

س = 1 + ت جذر3
س = 2 (1/2 + ت جذر3 /2)
= 2( حتا 60 + ت حا60 ) ، الدورة الأولى
= 2[جتا(6 ك + 1)ط/3 + ت جا(6 ك + 1)ط/3] ، بشكل عام
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

أو

س = 1 - ت جذر3
س = 2 (1/2 - ت جذر3 /2)
= 2( حتا 300 + ت حا300) ، الدورة الأولى
= 2[ جتا(6 ك + 5)ط/3 + ت جا(6 ك + 5)ط/3] ، بشكل عام
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كان الواحد الصحيح هو جذر مكرر مرتين لكثيرة الحدود

ق ( س ) = س^4 - 2 س^3 + 4 س^2 + ب س + جـ

أوجد قيمة ب ، جـ ثم أوجد قيمة الجذريين الأخريين


بقسمة ق(س) على حاصل ضرب العاملين المعلومين (س - 1)(س - 1) ينتج : حاصل ضرب العاملين الآخرين ، والباقى = 0

بالقسمة المطولة :

حاصل ضرب العاملين الآخرين = س^2 + 3

الباقى = (ب س + 6 س) + (ج - 3) = 0
ومنها :
ب = - 6
ج = 3

نفرض أن الجذرين الآخرين هما : ل ، ع

(س - ل)(س - ع) = س^2 + 3

س^2 - (ل + ع) س + ل ع = س^2 + 3

ل + ع = 0 ــــــــــــــــــــــــ ل = - ع
ل ع = 3

بالتعويض عن قيمة ل بدلالة ع

- ع^2 = 3 ــــــــــــــــــــــ ع = ت جذر3
ــــــــــــــــــــــــــــــــ ل = - ت جذر3