طرق العد
 

طرق العد

سأحاول أن أتناول هنا شرح بعض طرق العد البسيطة و التي قد نحتاجها في بعض دراستنا أو في الحياة
أول هذه المبادئ

نظرية:
إذا تكونت عملية ما من خطوتين ،الأولى يمكن إجراؤها بعدد m من الطرق و الثانية بعدد n من الطرق، فإن العملية بأكملها قد تتم بعدد mn طريقة

و هذه يعتبر من أبسط القواعد و غالبا ما نطبقها بدون الانتباه لذلك فمثلا عندما نرمي قطعة نقد مرتين نقول أن هناك 4 إمكانات مختلفة لظهور الصورة و الكتابة في المرتين،

و كذلك الأمر لو أردنا اختيار رقمين من الأرقام العشرة بدون قيود فإن هناك 10x 10 =100 طريقة لظهور العدد الأول و الثاني مرتين.


حسنا ماذا لو أردنا اختيار رقمين مختلفين سيكون لدينا 10x9=90 طريقة للرقمين الأول و التاني.
و هذه النتائج يعبر عنها على شكل أزواج مرتبة

فمثلا في التجارب السابقة الإمكانات يمكن كتابتها
1- { (ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ص)، (ك،ك) }.
2- { (0،0)، (0،1)،(2،0)،(0،3)،...،
(0،1)، (1،1)،(2،1)،(3،1)،...،
....(10،10)}
3- { (0،1)،(1،0)،(0،2)، (2،0)، (0،3)،...،(10،9)}


حسنا ماذا لو رمينا قطعتي نقد مختلفتين هل سيختلف عدد الإمكانات عما حسبناه من إلقاء قطعة نقد واحدة مرتين
بالطبع لا ، سيظل عدد الإمكانات بالطبع أربعة


هذه النقطة مهمة جدا لأننا في هذه الحالة أمامنا عملية تتكون من خطوة واحدة و لكني جزأت تلك الخطوة لأجزاء سهلت علي عملية الحساب ، و هذا ما يحدث في الواقع، فالعمليات في غالبية المسائل ليست على خطوات و لكني أتخيل أن العملية تتم على مراحل و هنا يجب توخي الحذر بأن العملية الناشئة و العملية الأساسية لها بالفعل نفس عدد الامكانات.

لفهم ذلك تخيل
لو أن كانت قطعتي النقد في المثال السابق كانت متشابهة و رميت مرة واحدة هل سيختلف الجواب؟
ما رأيك؟
......................


إذن القاعدة في منتهى السهولة
و لكن مهلا
يجب أن ننتبه أن هذه القاعدة حينما تستخدم فإنها تعطينا النواتج مرتبة فمثلا عند اختيار رقمين فإن الامكانية 3،7 تختلف عن 7،3
و في القاء قطعة النقد مرتين ظهور صورة مرة واحدة يقابله إمكانيتين و ليس واحدة، ما هما؟


إذن لا تنفع هذه الطريقة لحساب عدد طرق اختيار 4 طلاب من عشرين طالب لتمثيل المدرسة في مسابقة ما،
كيف يمكن فعل ذلك؟ سنرى هذا فيما بعد و لكن بعد أن نفهم قاعدتنا الأولى فهما جيدا


ستقول القاعدة صارت واضحة الآن
لنر ذلك
بكم طريقة يمكنك اختيار الجامعة و التخصص لطالب أنهى الثانوية العامة ، أمامه أربع جامعات و في كل منها 5 تخصصات متاحة؟
.............................

بكم طريقة يمكنك أن تدرس 4 ساعات على الأكثر في يومين؟ هل يمكن تطبيق القاعدة و لماذا؟

حسنا
إذا فهمنا القاعدة جيدا يمكن ببساطة أن نعممها
إذا كانت العملية تتم بعدد من الخطوات K و كانت الخطوة الأولى يمكن إجراؤها بعدد m1 طريقة و الثانية بعدد m2 طريقة و هكذا و الأخيرة بعدد mk طريقة فإن العملية بأكملها يمكن إجراؤها بعدد
m1 x m2 x …mk
طريقة مختلفة
بمعنى أن الطالب إذا كان بإمكانه بعد إكماله الجامعة أن يكمل دراساته العليا و متاح أمامه 3 تخصصات بكم طريقة تتم العملية كلها؟


تعليق
كما أوضحت سابقا هذه القاعدة بسيطة جدا و نحن نطبقها غالبا بصورة بديهيية و لكن وضعها في صورة نظرية يسهل علينا تأطير العلم و تفسير كل شيء له علاقة بطرق العد من نقطة الانطلاق تلك

و من ناحية أخرى هناك أسئلة كثيرة ليست سوى تطبيق سهل للنظرية و لكن يغيب ذلك عن بالنا
فما رأيكم بهذا السؤال الآن
بكم طريقة يمكن الاجابة بطريق عشوائية على اختبار يتكون من عشرين سؤال (صح و خطأ)؟
و بكم طريقة يمكن الاجابة عليها كلها بطريقة صحيحة؟

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
الأخت هوائية .
موضوع رائع جدا ً ، ويا ليتنا نكثر من مواضيع الرياضيات التطبيقية فى هذا المنتدى .
وسبحان الله ، لقد كنت أفكر فى أن أعد موضوعا ً عن أهم نظريات الإقتصاد وهى نظرية جون ناش للتوازن Nash Equilibrium
بارك الله فيك .
والسلام .

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

أخي
ثانوية الملك عبدالعزيز
يشرفني وجودك معنا ، و يسعدني متابعتك لنا في هذا الموضوع
شكرا لك بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

أخي أينشتين
أشكرك على تشجيعك و أتمنى أن أكون عند حسن ظنك
أخي نظرا لأن عملي متعلق أكثر بالرياضيات البحتة فقد توخيت الجوانب التي قد تطبق في الفيزياء أو في الحياة لأحاول شرحها. و سأترقب موضوعك بفارغ الصبر لأستزيد منه، و يسعدني كثيرا أن ترشدني للمواضع التي يمكن أن أفيد فيها بقدر استطاعتي.
لك خالص الشكر و التقدير بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

أخي البالود
آسفة أن الأمور بدت غير واضحة لدرجة كهربت رأسك
و الذي لا يدل إلا على اهتمام أنا له شاكرة .

يبدو أن الطبخة في رأسي ( كالعادة ) لم تكن على نار هادئة
على كل حال أنا مستاءة من طريقة الكتابة ، أكتب شيء و فجأة ينقلب رأسا على عقب و لكن ليس هذا السبب الرئيس،

حسنا لنقل
حسنا ماذا لو أردنا اختيار رقمين مختلفين سيكون لدينا 10 x9=90 طريقة للرقمين الأول و التاني.

لنوضح الكل من خلال هذا المثال
لمعرفة عدد الطرق لاختيار رقمين مختلفين (على أن يكون الترتيب مهم) سيكون عندنا خطوتين الأولى اختيار العدد الأول و أمامنا عشرة اختيارات {0،1،2،3،4،5،6،7،8،9}
الآن لاختيار العدد الثاني أمامي 9 خيارات لأني بالتأكيد سأختار أي من الأرقام العشرة فيما عدا العدد الذي اخترته في الخطوة الأولى.
و علي فإن العملية ستتم في 9 10x طريقة و ذلك لأن كل عدد مختار في الخطوة الأولى سيكون هناك تسع خيارات متاحة له في الخطوة الثانية و عليه يصبح مجموع الإمكانات الكلي 90 إمكانية



و هذه النتائج يعبر عنها على شكل أزواج مرتبة

فمثلا في التجارب السابقة الإمكانات يمكن كتابتها
1- تجربة القاء قطعتي نقد حيث ترمز ص إلى صورة و ك إلى ظهور كتابة و المسقط الأول يحدد ما يحدث في الامكانية الأولى و المسقط الثاني يحدد ما يحدث في الامكانية الثانية
الامكانات هي { (ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ص)، (ك،ك) }.


2- تجربة اختيار رقمين مع مراعاة الترتيب
الامكانات هي { (0،0)، (0،1)،(2،0)،(0،3)،...،
(0،1)، (1،1)،(2،1)،(3،1)،...،
.
.
.
....(10،10) }


3- تجربة اختيار رقمين مختلفين مع مراعاة الترتيب
الامكانات هي { (0،1) ،(0،2) ، (0،3)،...(0،10)
(1،0) ،(1،2)، (1،3)،...،(1،10)
.
.
.
...،(10،9)}



هل هكذا تكون الأمور أكثر وضوحا
أرجو أن تحدد لي أكثر أول نقطة غير واضحة
و لا زلت أنتطر رأيكم بالأسئلة المطروحة
تسعدني كثيرا متابعتك بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

آسفة يبدو أن مشكلة تبدل الأرقام من أرقام عربية إلى انجليزية
و تغيير موقعها لن تنتهي
و لكن إن انتبهنا أن في عدد الامكانات لا توجد امكانات متشابهة و إن وجدت فواحدة منها يفترض أن تكون المسقط الأول هو الثاني و العكس بالعكس،
لا أعلم لماذا يحدث هذا

رد: طرق العد
 

بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

تسلم يمينك ع الموضوع الرياضي المفيد

رد: طرق العد
 

اخوتي الكرام
رمز الوفاء 2010
ahmed-tarek
العالم فاراداي
شاكرة لكم مروركم الكريم بارك الله فيكم

رد: طرق العد
 

أستاذتي الفاضلة

*أكثر أول نقطة غير واضحة هي 3

لازلت فاقد للفهم تحمليني

رد: طرق العد
 

لا بأس يا أخي أشكرك على اهتمامك
كل ما في الأمر أن 3 هي نفسها 2 عندما نستثني منها الأزواج المرتبة (1،1)، (2،2)، (3،3)...(10،10)
لأنه ليس مسموحا لنا أن تختار العدد نفسه مرتين
و عدد الخيارات المسثناة من 2 هو 10 و عليه يتبقى في 3 ، 90 امكانية مختلفة

هل هكذا الأمر أصبح أكثر وضوحا

رد: طرق العد
 

يا هذه يهديك ربي فارجعي

الأرقام تسعة فاحترس
تنطق كلها دون لبس
و لكن انتبه أيضا لي
أنا الصفر لا ينطق بي


أنا و الله كلي أسف أتحدث عن الأرقام و كأني في عالم ثاني
الأرقام العشرة من صفر إلى تسعة لذلك في كل ما سبق يحذر وضع العدد عشرة عند سرد الامكانات

لذا فالصحيح هو بإذن الله


2- تجربة اختيار رقمين مع مراعاة الترتيب
الامكانات هي
{ (0،0)، (0، 1)،(2،0)،(0، 3)،...،(0، 9)
(0،1)، (1،1)، (2،1)، (3،1)،...،(1، 9)
.
.
.
(9، 0)،(9، 1)،(9، 2)، (9، 3)،....(9،9) }


3- تجربة اختيار رقمين مختلفين مع مراعاة الترتيب
الامكانات هي
{ (0، 1) ،(0، 2) ، (0، 3)،...(0، 9)
(1، 0) ، (1، 2)،(1، 3)، ...،(1، 9)
(2، 0) ، (2، 1)،(2،3)، ...،(2، 9)
.
.
.
(9، 1)،(9، 2)،(9، 3)،...،(8،9)}




و عليه فإن الأزواج المرتبة المستثاة من 2 في 3 هي (0،0)، (1،1)، (2،2)، (3،3)...(9،9) و عددها
10 و ربما هذا ما أرادني أن انتبه له أخي البالود؟ جزاه الله كل خير

بلغ مني الأسف مداه فأرجو أن تلتمسوا لي العذر فقد حسبت أني أروح عن نفسي من عناء الدراسة المضنية فلم أجد إلا أني ...

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

أشكرك أخي
محمد الجوهرى
بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

عفوا هذا الموضوع بعد إجراء التعديلات

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

أشكرك أخي البالود على الاطراء و أدعو الله أن يوفقني لأكون له أهلا
و لا زلت أذكر بأني لا زلت بانتظار الاجابات
لأن الموضوع هو مدخل لعلم الاحصاء
و على كل حال فأني أتشوق لمعرفة معالم الواد الذي ذهب إليه ذهنك

لك خالص شكري و تقديري

رد: طرق العد
 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
[frame="2 98"]طرق العد[/frame]

[fieldset=نظرية:]إذا تكونت عملية ما من خطوتين ،الأولى يمكن إجراؤها بعدد m من الطرق و الثانية بعدد n من الطرق، فإن العملية بأكملها قد تتم بعدد mn طريقة.[/fieldset]إذا تكونت عملية ما من خطوتين ،الأولى يمكن إجراؤها بعدد m من الطرق و الثانية بعدد n من الطرق، فإن العملية بأكملها قد تتم بعدد mn طريقة.

و ذلك لأن كل طريقة في الخطوة الأولى يقابلها عدد n من الطرق في الخطوة الثانية و عليه فإن العدد الكلي للطرق المختلفة هو
( n +n + n + …+ n)
m مرة
و التي تساوي m n .



و هذه يعتبر من أبسط القواعد و غالبا ما نطبقها بدون الانتباه لذلك فمثلا عندما نرمي قطعة نقد مرتين نقول أن هناك 4 إمكانات مختلفة لظهور الصورة و الكتابة في المرتين،

و كذلك الأمر لو أردنا اختيار رقمين من الأرقام العشرة بدون قيود (على أن يكون ترتيب الاختيار مهم) فإن هناك
100 = 10x10
طريقة لظهور العدد الأول و الثاني.


حسنا ماذا لو أردنا اختيار رقمين مختلفين سيكون لدينا 10x 9=90 طريقة .

إذ لمعرفة عدد الطرق لاختيار رقمين مختلفين (على أن يكون الترتيب مهم) سيكون عندنا خطوتين
الأولى اختيار العدد الأول و أمامنا عشرة اختيارات {0،1،2،3،4،5،6،7،8،9}
الآن لاختيار العدد الثاني أمامي 9 خيارات لأني بالتأكيد سأختار أي من الأرقام العشرة فيما عدا العدد الذي اخترته في الخطوة الأولى.
و علي ذلك فإن العملية ستتم في 90
9 10x
طريقة

و ذلك لأن كل عدد مختار في الخطوة الأولى سيكون هناك تسع خيارات متاحة له في الخطوة الثانية و عليه يصبح مجموع الإمكانات الكلي 90 إمكانية

و هذه النتائج يعبر عنها على شكل أزواج مرتبة

فمثلا في التجارب السابقة الإمكانات يمكن كتابتها

1- { (ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ص)، (ك،ك) }.


2- { (0،0)، (0، 1)،(2،0)،(0، 3)،...،(0، 9)
(0،1)، (1،1)، (2،1)، (3،1)،...،(1، 9)
.
.
.
(9، 0)،(9، 1)،(9، 2)، (9، 3)،....(9،9) }

3- { (0، 1) ،(0، 2) ، (0، 3)،...(0، 9)
(1، 0) ، (1، 2)،(1، 3)، ...،(1، 9)
(2، 0) ، (2، 1)،(2،3)، ...،(2، 9)
.
.
.
(9، 0)،(9، 1)،(9، 2)،...،(8،9)}


نلاحظ أن الامكانات في 3 جزء من الامكانات في 2 و تختلف عنها بحذف العناصر (0،0)، (1،1)، (2،2)، (3،3)...(9،9)
لأن كل منها تعني أن العددين المختارين متشابهان

حسنا ماذا لو رمينا قطعتي نقد مختلفتين هل سيختلف عدد الإمكانات عما حسبناه من إلقاء قطعة نقد واحدة مرتين
بالطبع لا ، سيظل عدد الإمكانات بالطبع أربعة



هذه النقطة مهمة جدا لأننا في هذه الحالة أمامنا عملية تتكون من خطوة واحدة و لكني جزأت تلك الخطوة لأجزاء سهلت علي عملية الحساب ، و هذا ما يحدث في الواقع، فالعمليات في غالبية المسائل ليست على خطوات و لكني أتخيل أن العملية تتم على مراحل و هنا يجب توخي الحذر بأن العملية الناشئة و العملية الأساسية لها بالفعل نفس عدد الامكانات.

لفهم ذلك تخيل
لو أن كانت قطعتي النقد في المثال السابق كانت متشابهة و رميت مرة واحدة هل سيختلف الجواب؟
ما رأيك؟
......................
[rainbow]نلاحظ أننا عندما نرمي قطعتي نقد متشابهتين فإن الامكانات هي
ظهور صورتين، ظهور صورة و كتابة ، ظهور كتابتين
و تختلف عن إلقاء قطعة نقد مرتين في أننا لن نستطيع التمييز بين الحالتين
(ص،ك)، (ك،ص)
لتشابه القطعتين و عليه لن نستطيع ادراك أيها كانت صورة و أيها كانت كتابة[/rainbow]
يجب أن ننتبه أن هذه القاعدة حينما تستخدم فإنها تعطينا النواتج مرتبة فمثلا عند اختيار رقمين فإن الامكانية 3،7 تختلف عن 7،3
و في القاء قطعة النقد مرتين ظهور صورة مرة واحدة يقابله إمكانيتين [rainbow] هما ببساطة (ص،ك)، (ك،ص)[/rainbow]

إذن لا تنفع هذه الطريقة لحساب
عدد طرق اختيار طالبين من عشرين طالب لتمثيل المدرسة في مسابقة ما،

إذ أنه
[rainbow]بنفس المنطق السابق مع الانتباه بأن تطبيق قاعدة الضرب يعطينا الإمكانات مرتبة و هذا ما لا تفترضه طبيعة المسألة هنا فمثلا لو كان الطالبين هما أحمد و سعيد فهذا لن يعد إمكانية مختلفة عن اختيار سعيد و أحمد و بالتالي ستكون لدينا إمكانات مكررة إذا طبقنا قاعدة الضرب لذا تطبيقها المباشر هنا لا يفلح.
و بنفس المنطق لن تفلح القاعدة لو أردنا اختيار أربعة طلاب للمسابقة[/rainbow],

كيف يمكن فعل ذلك؟ سنرى هذا فيما بعد و لكن بعد أن نفهم قاعدتنا الأولى فهما جيدا


ستقول القاعدة صارت واضحة الآن
لنر ذلك
بكم طريقة يمكنك اختيار الجامعة و التخصص لطالب أنهى الثانوية العامة ، أمامه أربع جامعات و في كل منها 5 تخصصات متاحة؟.............................

[rainbow]العملية تتكون من خطوتين هما اختيار الجامعة ثم التخصص و الترتيب مهم إذن عدد الطرق هو 20
5x4[/rainbow]
[read]اخوتي

هذه إجابة بعض الأسئلة المطروحة و سأوافيكم قريبا بالبقية[/read]

رد: طرق العد
 

اقول لك استاذتنا

ذكرى لي مع الاحتمالات تعرضت معلمتنا في ايام كنا في الصف الاول الثانوي لحالة طارئة وانقطعت عنا ثم حضرت على مقربة من الاختبارات وكان فصل الاحتمالات بما فه من الفصول التي تم ضغطها
فكانت ذات ذكرى تصيبني بالانفجار من الملل لطول الحصص وضغط الموضوعات فيها لتعويض الغياب لم تكن بتلك الصعوبة لكن قصة ان تراكم مرة واحد انا من دون شيء اذا كانت حصتين اصاب بالملل

خلاصاذا انطفأت ا

انام في الحصة ولا اهتم خلاص الاستقبال والارسال يتوقف

ولا اهتم بالباقي وبصراحة كمان كل اللاتي درسنني الرياضيات كانت فيهم خصلة تصيبني بالملل الطافح حيث انهن يكررن المعلومة الى ان انفجر
الا الرياضيات تكرير المعلومة لا حاجة فيها وضع مسألة او مثال وتغير فكرة الطرح افضل من ان اعيد وازيد في شيء شرح واكرر ما قيل

اتذكر قصة احتمالات النرد وقطعة النقود وكتابة وصورة الخ الخ وكذا اوراق اللعب
وما احتمال ظهور الجوكر يا الله

.
.
.

هناك امثلة

اليك ما وجدته






http://www.seed.slb.com/ar/scictr/lab/math/aug04.htm



وهذا حجر نرد مختلف
http://www.seed.slb.com/ar/scictr/lab/math/sep05.htm

وهذا ايضا حجر نرد مختلف

http://www.seed.slb.com/ar/scictr/lab/math/sep04.htm



لكن استاذتنا

وانا اتكلم من مفهوم ليس لديه الوعي تجاه هذه النظرية
من الناحية التطبيقية بعيدا عن قصة النرد وقطعة النقود

اجدها شيء مكرر لكن اردي شيء اخر لو حتى من واقعنا


وكان لي نقاش مع احد اخوتي حول الاحتمالات

فكنت اقول له ما الحاجة الى ان اعرف كم مرة سيظهر لي مثلا الرقم ثلاثة من خلال الأزواج اي احتمالية ظهوره بصراحة الان نسيت كلامه
فهل هناك نظرية او قوانين او استدلالات غير التي درسناها على وجه الواقع تعطينا فائدة قصوى لها واغفري لي جهلي ان كنت اقلل من شانها لاني بصدق هناك كثير من القوانين الرياضية اثناء دراستي اجد فيها عملية عزل عن واقع التطبيق ليس خطأ فيها طبعا انما في منهجية التدريس لذى تتكون صورة محبطة لدي بعدميتها او انها مجرد قونين لن استفيد منها
فهل انا على الصعيد الشخصي بجاجة لها ارى بعض الاجابات امام عيني انها تحدد كمية المشكل لكل شيء وبالتالي استطيع ان اجهز نفسي لهذا الاحتمال

اطلنا استاذتنا واعذري لي جهلي لست الا من تريد صياغة لفن الاحتمالات في راسها من جديد بعد ان رأيت تفاصيل موضوعك


أشكرك على هذا الجهد الرائع وليس بغريب عليك هذا الكرم الفياض
سدد الله مساعيك ووفقك لما يحبه ويرضاه

رد: طرق العد
 

انا وجهة نظري كالبالود أنك تقتحمين الموضوع علينا اقتحاما وتضعين رموزا تبدو مزعجة لنا ولو طرقت المثال ثم اتبعته بالنظرية لكان اجدى ... هذا ما اراه ... يعني في البداية نتحدث عن رمي القطعة النقدية التي غلبت أهل العد هي وقطعة النرد ... ولا بأس كما قلت في اخر مشاركة بالكلام : صورة - كتابة أو فيما يشبه الجدول في القطتعتين :
صورة كتابة ص ك
صورة صورة ص ص
كتابة صورة ك ص
كتابة كتابة ك ك
تلك اربعة كاملة وهي احتمالان لكل قطعة فيكون كل من الاحتمالين للقطعة الاولى معه احتمالان للقطعة الثانية يعني 2 ضرب 2 = 4
والان لا بأس بكتابة النظرية بعد المثال البسيط ... وهي ان العدد الكلي هو امكانات الاولى ضرب امكانات الثانية ...

يعني هذا رأيي على الاقل ...

سبحان الله كنت سأضع شيئا كهذا قبل أيام في المنتدى بخصوص بعض الاحتمالات التي تكون من الصغر بحيث يمكن اهمالها (يعني مثلا احتمال حدوثها يستغرق كعمر الكون مثلا!!!!!) وذلك في بعض ابتدائيات الفيزياء الاحصائية التي تتعامل مع ذرات وجسيمات في العادة في حدود عدد افوجادرو وهو غاية في الكبر بحيث إذا قلنا إن لكل جسيم احتمالين مثلا (كأن تحدثنا عن الغزل الالكتروني او نحوه) فإن 2 مرفوعة لهذا الأس الكبير سيحقق فضاء كبيرا جدا...
ومن هنا يأتي سؤالي الذي كنت ازمع ان اضعه ... وهو ان لو كان الغاز مثلا في الجزء الايمن من الوعاء ثم انتشر ...اليس من الممكن ان يتحرك حركة عشوائية ليرجع من جديد بعد فترة إلى ما كان عليه في الزاوية اليمني من الاناء ؟؟؟ طبعا الاحتمال موجود لكنه صغير جدا ... إلى الحد انه لو مكثنا نعد مليون حالة في الثانية فإن العثور على هذه الحالة يكون مؤكدا إذا مكثنا فترة تصل إلى ملايين السنين أو كما قلت قبل قليل ...تساوي عمر الكون الذي نعيش فيه ...

وهنا يجب أن نحفظ لـ (عكاشة) سبقه ... لقد سبقتني يا هوائية... لك قدم السبق ... كنت افكر في الموضوع فطرقته قبلي ... فلا عدمنا ملحك ...

رد: طرق العد
 

إذن لا تنفع هذه الطريقة لحساب
عدد طرق اختيار طالبين من عشرين طالب لتمثيل المدرسة في مسابقة ما،

بنفس المنطق السابق مع الانتباه بأن تطبيق قاعدة الضرب يعطينا الإمكانات مرتبة و هذا ما لا تفترضه طبيعة المسألة هنا فمثلا لو كان الطالبين هما أحمد و سعيد فهذا لن يعد إمكانية مختلفة عن اختيار سعيد و أحمد و بالتالي ستكون لدينا إمكانات مكررة إذا طبقنا قاعدة الضرب لذا تطبيقها المباشر هنا لا يفلح.
و بنفس المنطق لن تفلح القاعدة لو أردنا اختيار أربعة طلاب للمسابقة

كيف يمكن فعل ذلك؟ سنرى هذا فيما بعد و لكن بعد أن نفهم قاعدتنا الأولى فهما جيدا


ستقول القاعدة صارت واضحة الآن
لنر ذلك
بكم طريقة يمكنك اختيار الجامعة و التخصص لطالب أنهى الثانوية العامة ، أمامه أربع جامعات و في كل منها 5 تخصصات متاحة؟.............................

العملية تتكون من خطوتين هما اختيار الجامعة ثم التخصص و الترتيب مهم إذن عدد الطرق هو
4×5=20

بكم طريقة يمكنك أن تدرس 4 ساعات على الأكثر في يومين؟ هل يمكن تطبيق القاعدة و لماذا؟
من الواضح أننا لا نستطيع تطبيق القاعدة لأنني رغم أني يمكنني أن أدرس في اليوم الأول 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ساعة فإن عدد ساعات الدراسة لن يكون أمامه كل الخيارات متاحة فلو درس في اليوم الأول 3 ساعات فلن يكون متاحا أمامه إلا أن يدرس 0 أو 1 ساعة و لكنه إذا درس في اليوم الأول 1 ساعة سيكون متاحا له أن يدرس في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2 أو 3 و بالتالي عدد الطرق في الخطوة الثانية ليس ثابتا و بالتالي العدد n ليس واضحا لذا لا يمكن تطبيق قاعدة الضرب

و لحل هذه المسألة يجب عد كل الامكانات
فلو درس في اليوم الأول 0 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4
أما إذا درس في اليوم الأول 1 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2 أو 3
و إذا درس في اليوم الأول2 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2
و إذا درس في اليوم الأول3 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1
و أخيرا إذا درس في اليوم الأول4 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0
و سيكون عدد الامكانت الكلي 5+4+3+2+1
=15
حسنا


إذا كانت العملية تتم بعدد من الخطوات K و كانت الخطوة الأولى يمكن إجراؤها بعدد m1 طريقة و الثانية بعدد m2 طريقة و هكذا و الأخيرة بعدد mk طريقة فإن العملية بأكملها يمكن إجراؤها بعدد
m1 x m2 x …mk
طريقة مختلفة
بمعنى أن الطالب إذا كان بإمكانه في المثال السابق بعد إكماله الجامعة أن يكمل دراساته العليا و متاح أمامه 3 تخصصات بكم طريقة تتم العملية كلها؟

العملية أصبحت تتكون من ثلاث خطوات
اختيار الجامعة ثم اختيار التخصص ثم اختيار التخصص في الماجستير
و عليه عدد الطرق هو
3×3×5=60طريقة


تعليق
كما أوضحت سابقا هذه القاعدة بسيطة جدا و نحن نطبقها غالبا بصورة بديهيية و لكن وضعها في صورة نظرية يسهل علينا تأطير العلم و تفسير كل شيء له علاقة بطرق العد من نقطة الانطلاق تلك

و من ناحية أخرى هناك أسئلة كثيرة ليست سوى تطبيق سهل للنظرية و لكن يغيب ذلك عن بالنا
فما رأيكم بهذا السؤال الآن
بكم طريقة يمكن الإجابة بطريق عشوائية على اختبار يتكون من عشرين سؤال (صح و خطأ)؟
و بكم طريقة يمكن الإجابة عليها كلها بطريقة صحيحة؟
للإجابة على الأسئلة سنحتاج عشرين خطوة لحل الأسئلة في كل خطوة أمامنا خيارين
و بالتالي سيكون عدد الطرق
2x 2x 2 x ….x2
)عشرين مرة(
و تساوي

1048576

رد: طرق العد
 

أختي ربانة
فهمت يا أختي أنك تريدين أمثلة واقعية تغطي الجانب النظري لتولد لك الدافعية
و الحقيقة أن للمادة الكثير و الكثير من التطبيقات و لكن الكثير من تلك التطبيقات غالبا تحتاج منا لأن نخوض أكثر في هذا الموضوع
أنا أعلم أن هناك نفور من أمثلة حجر النرد و قطعة النقد و أوراق اللعب لذا تجنبت الحديث عنها باستثناء قطعة النقد لأن التعامل المباشر معها يجعل من السهل تصور الأوضاع الناشئة.

و لكن لو علمت أن هناك أكثر من مليون طريقة لإجابة سؤال الصح و الخطأ المتكون من عشرين فرع، ستعلمين كم يستطيع هذا أن يدلل على عدم امكانية وجود إجابتين متشابهتين للاختبار إلا في حال وجود سبب مريب.

و لو علمت مدى التنوع الذي يمكن الحصول عليه حين نختار خمس عناصر من بين عشرين عنصر ، ستستطيعين إدراك مدى التنوع الحاصل بين المخلوقات بسبب عدد السمات الهائل

حسنا أذكر أنني عندما كنت في الإعدادية في مسابقة تعرضت لأول مرة لسؤال كم قطرا لشكل مغلق به أربعين ضلعا (رغم أن القاعدة تعطى الآن في المدارس)
هناك حاولت تخيل الوضع كم العدد في المثلث ثم المربع ثم في الشكل الخماسي ثم حاولت أن أعمم القاعدة و حصلت على ما يشبه المتتابعة الحسابية و لم أكن أعرفها ، كان تحليلي منطقيا و لكن لم أصل للشكل النهائي
و عندما رجعت للبيت عرضت السؤال على أبي فسار بنفس الطريق و عندما وصل لما يشبه المتتابعة الحسابية ابتكر طريقة لإجراء عملية الجمع و حصلنا على الناتج بالتالي على شكل قاعدة.

المهم أن هناك طريقة سهلة جدا باستخدام طرق العد
و هي
لإيجاد عدد الأقطار لنتخيل أننا نرسم تلك الأقطار، سنجد أننا في كل مرة نحتاج خطوتين الأولى اختيار الرأس الأول و هذا يتم ب 40 طريقة ثم اختيار الرأس الثاني و هذا يتم ب 38 طريقة لأني سأتجنب الرأسين المجاورين للرأس المختار معه. و على ستتم العملية هذه في 40 ×37
و لأننا سنمر على كل الرؤوس تباعا سنجد أننا عددنا كل رأس مرتين ، لذا الجواب النهائي يجب أن يقسم على اثنين، و على هذا يكون عدد الأقطار المختلفة هو 40×37/2.


هذا ما يحضرني الأن و إن كان أستاذنا المتفيزق طرح لنا مثالا جميلا

رد: طرق العد
 

أستاذي المتفيزق
أشكرك على المعلومات القيمة ، سأضعها نصب عيني دوما، لأنه دوما يسيطر علي احساس بأننا يجب ألا نفزع مما يبدو لنا لأول وهلة مرعبا، أحب أن نستوعب هذا كمسلمين وعرب.

أتمنى أن نكون نحن من نخلق واقعا للمعلومة و ليس العكس
أعلم
ستقولون
كان الله في عون طالباتك و طلابك

جميل أن تدعو لهم فهم يحتاجون لذلك فعلا.


جميل المثال الذي طرحته، أما عن السبق فليس لي من ذلك الأمر شيء و لكنه كرم منك فقط أن تقول ذلك
يسعدني أن أقرأ مواضيعك في هذا المجال فهي بلا ريب ستوسع أفقي أيضا
مع خالص التحية و التقدير

رد: طرق العد
 

بصراحة فتحتي عيني تجاه بوابة الاحتمالات
وكأن استاذنا المتفيزق بطريقته في ابراز مثال ومن خلاله ستنبع المشكلة التي نحتاج الى الاحتمالات عرف مشكلتي

اعتذر والله استاذتي هوائية انا لم اتعرض للإحتمالات الا في الفصل الاثني في الصف الاول ثانوي لازالت في ذاكرتي لانها كانت بالنسبة لي امثلة عن
نرد وورق لعب ومن هذا القبيل

والله كان مليون سؤال وسؤال ليس في الاحتمالات فحسب عندما نتعرض لأي نظرية رياضية اراهم يدخلون على طول الى المعادلات والى النظرية والتطبيق يكون مربكا حيث ان الامر لم يتوضح لنا

ارى من الجميل

عرض القضية من خلاله بروز المشكلة التي تجعلنا نعتاز الى مثل هكذا قوانين وليس دفعها الى المخ هكذا

طبعا كنت أسأل ايام دراستي لكن لا مجيب كل الاجابات هي اعادة شرح القانون اسأل
لما نحن نحتاجها وارى الاستفهام ليس لدي فقط انما لدى جميع الطالبات وقتها اضرب اخماس في اسدادس ثم استسلم للنوم (( بمعنى انصرف عن الدرس بأي امر يخرجني عن الملل ))

والاختبار لن يخرج عن اسئلة الكتاب لذى لاحاجة في ان اتعب مخي واجري خلف اسئلة متاكدة لن اجد له اجوبة



شرحت يا استاذتنا سؤال في منتهى الروعة هنا شعرت بقيمة الاحتمالات وروعتها الله يعطيك الف عافية

انت ودكتورنا الرائع المتفيزق




سدد الله خطاك معلمتنا الغالية

رد: طرق العد
 

جزاكم الله خيرا

رد: طرق العد
 

أنا أخذت هذه الاحتمالات في الثانوية العامة.....
كانت ومازلت جدا رائعة...
شكرا هوائـــــــــــــــــــــ[ـــ لك ـ]ــــــــــية

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

لا أنكر طبعا أنني تمتعت كثيرا بالمقالة وقرأتها كلما مررت على الموضوع ...يعني اكثر من مرة ...
والحقيقة أنني هنا لأتعلم منك يا زميلة لا لأضيف إليك فأنت ما شاء الله لك في هذا المجال باع طويل ومشهود لك ... لكن ما طرحته من وجهات نظر هي بالفعل ما عن لربانة تماما وهذا خير مثال يشهد لي ...
المثال الذي طرحته من نوع المباهاة اني كنت افكر مثلك !!! يعني اردت ان اقول : جال بخاطري أن اضع شيئا كهذا لكن المثال بسيط بالطبع ولا يرقى لمستوى مواضيعك المتكاملة الرائعة...
انا فعلا سعيد بالموضوع ...
والان نأخذ سؤالا...جال بخاطري واضعه للتمرين والإثراء ومن باب المشاركة الفاعلة يعني...
لقد سجل ذا الطالب في الجامعة ولديه الآن خمسة مساقات تخصص وأربع مساقات عامة والمطلوب أن يسجل مساقا اجباريا (تخصص) ومساقا عاما... هنا المسألة تبدو بسيطة لأن أي اختيار من الخمسة الأولى الإجبارية له اربع ارتباطات مع المساقات العامة ونتوقع أن يكون العدد الكلي 20 امكانية...
لكن ماذا لو قلنا إنه يجب أن يسجل ثلاثة اجباري واثنين اختياري؟؟؟
ماذا لو قلنا إن له خيارا أن يسجل ثلاثة على الأقل من الاجباري واثنين على الأقل من الاختياري؟؟؟
ماذا لو أجبرناه أن يسجل ثلاثة على الأقل من الاجباري واثنين على الأقل من الاختياري بحيث لا تزيد المواد على ثمانية؟؟؟
يبدو أن هذه المشاكل مزعجة أليس كذلك ؟؟؟

وثم سؤال راودني مرة ...
نعلم ان الجمال تصوم فترة من السنة وتكون في هذه الفترة شديدة البأس حتى إنها لتفتك بصاحبها إن زجرها...
لنقل إن الجمل يصوم شهرا في السنة ...
مرت قافلة من مائة جمل ... كم جملا يحتمل أن يكون صائما؟؟؟
هذا السؤال حاولت ان احله وأحسب انني خبصت فيه ... يعني حسبت احتمال الصيام للجمل الواحد وقارنت ذلك بامكانيات صائم ومفطر يعني اثنان للقوة مائة وكذا بالاحتمال من هذا المنطلق وحصلت على ما يشبه الجواب ... هل نتشارك في فهم السؤال؟؟؟

رد: طرق العد
 

اختي هوائية ... لا أطلب حل التساؤلات الان ... فلك ان ترجئيها إلى حيث تشرحين موضوعا يمكن ان يساعد في فهمها ... يعني القصة وما فيها أنها اسئلة جالت بخاطري فقط ... وسأقبل جوابا نحو: سيأتي بيانها فيما بعد... وبكل سرور...

رد: طرق العد
 

أخوتي و أخواتي الكريمات

ربانة الخير

احب الفيزياء مووت

Mathematician Girl

منال العنزى

أسعدني مروركم العطر

شكرا لكم و بارك الله فيكم جميعا

رد: طرق العد
 

أشكرك أستاذي بارك الله فيك ،
الحقيقة لقد أردت من عرض الموضوع بجانب عرض بعض المعلومات في علم الاحتمالات و الاحصاء، و تقديم شرح وافي لبعض القواعد البسيطة، و لأني وجدت أن الكثير من مشاكل الأعضاء في المنتدى و خارجة تكون بسبب النفور من التعامل الرياضي و التفكير الرياضي و المنطقي عند حل الأسئلة، و لا أدري إن كنت حققت و لو جزءا يسيرا من هدفي، و الذي لن يتحقق إلا بالمحاولة و الخطأ حتى الوصول للمستوى المطلوب.

أخي
أنا على يقين بأني سأستفيد مما ستعرضه و سؤال الغاز لا زالت تجول في رأسي أسئله بصدده و لا أدري لها جوابا،
أقدر لك أستاذي تفعيل الموضوع بتلك الأسئلة الممتازة

ممممممم
أسئلة جميلة

"لقد سجل الطالب في الجامعة ولديه الآن خمسة مساقات تخصص وأربع مساقات عامة والمطلوب أن يسجل مساقا اجباريا (تخصص) ومساقا عاما... هنا المسألة تبدو بسيطة لأن أي اختيار من الخمسة الأولى الإجبارية له اربع ارتباطات مع المساقات العامة ونتوقع أن يكون العدد الكلي 20 امكانية...
لكن ماذا لو قلنا إنه يجب أن يسجل ثلاثة اجباري واثنين اختياري؟؟؟ "

سأحاول الإجابة على قدر السؤال بدون الخوض فيما لم نشرحه ، لنعرف الاجابة دعونا نطبق القاعدة
أمامي بالفعل خطوتين الأولى اختيار المساقات الاجبارية ثم اختيار المواد الاجبارية لذا بعدما نوجد عدد طرق كل منهما سنقوم بعملية الضرب

الآن لاختيار المساقات الاجبارية و هنا أمامنا 5 خيارات سنختار منها ثلاثة ، سيكون أسهل علينا تحديد المساقين الذين لن نختارهما و عدد طرق كل منهما متساوي. لماذا؟
المساق الأول أمامه خمس خيارات أما الثاني فأمامه أربع خيارات لأني لن أكرر اختياري الأول
و عليه سيكون الناتج هو 4×5
حسنا لقد طبقت قاعدة الضرب مرة أخرى و لكن لننتبه الضرب يعني أن الترتيب مهم و لكن بالنسبة لي اختيار الكهربية ثم الديناميكا الحرارية مثلا ليس خيارا مختلفا عن اختيار الديناميكا الحرارية ثم اختيار الكهربية.
ماذا نفعل بهذه المشكلة، الحل سهل لو فكرنا بالموضوع قليلا لوجدنا أن كل إمكانية قد تم حسابها قد ذكرت مرتين (هما عدد امكانات ترتيب العنصرين المختارين)
لذا الامكانات الفعلية المختلفة هي 4×5÷2=10
فإذا لاحظنا أن كل امكانية من الامكانات العشرة لاختيار مادتين يقابلها 3 مواد مستبقاة و العكس صحيح فإن اختيار المواد الثلاثة أمامه بالفعل عشرة امكانات

لنأتي للخطوة الثانية و هي بلا ريب أسهل إذ شرحنا كم امكانية تقابل اختيار عنصرين من بين عدة عناصر في حال أن الترتيب ليس مهما و هي هنا 4×3÷2=6

و عليه فأن عدد الإمكانات الكلي هو 10×6=60 امكانية (طبعا الترتيب هنا مهم لأن الأولى ال10 متعلقة بالإجباري و الثانية ال6 متعلقة بالاختياري)

طبعا هناك قواعد تجعل الحل أسهل و لكن يهمني أن نفهم من أين و كيف جاءت لنعرف بدقة متى يمكن و متى لا يمكن استعمالها لهذا لم استخدمها.
و من جهة أخرى أؤكد أن الكل تقريبا انبثق من قاعدة الضرب هذه.

رد: طرق العد
 

ماذا لو قلنا إن له خيارا أن يسجل ثلاثة على الأقل من الاجباري واثنين على الأقل من الاختياري؟؟؟
هنا سنحسب كل الإمكانات مثل سؤال ساعات الدراسة
يمكنه
اختيار 3 اجباري و 2 اختياري أو 3 اجباري و 3 اخياري أو 3اجباري و 4 اختياري
اختيار 4 اجباري و 2 اختياري أو 4 اجباري و 3 اخياري أو 4اجباري و 4 اختياري
اختيار 5 اجباري و 2 اختياري أو 5 اجباري و 3 اخياري أو 5اجباري و 4 اختياري
و نحسب امكانية كل منها كما فعلنا في السؤال السابق ثم نجمع الكل.

لنتذكر أن كل كلمة "و" تعني عملية ضرب لأن ما قبلها و ما بعدها ضروري لاتمام العملية الواحدة (اختيار الاجباري و الاختياري) أما كل حرف (أو) يعني عملية جمع لأنها تقابل خيارات يمكنني أن أسير في واحدة منها فقط لإتمام العملية

"ماذا لو أجبرناه أن يسجل ثلاثة على الأقل من الاجباري واثنين على الأقل من الاختياري بحيث لا تزيد المواد على ثمانية؟؟؟"
لن نفعل سوى أن نستثني من المطلوب السابق ما يجعل مجموع المواد 9 و هو الحالة الأخيرة فقط "

يبدو أن هذه المشاكل مزعجة أليس كذلك ؟؟؟"
المزعج هو المطلوب الثاني و لكن من يعلم قد يأتينا أحد بفكرة أسهل،
لن أشغل نفسي بذلك لأني أريد أن أؤكد أنه ليس كل الأسئلة لها حلول سهلة أو يمكن ايجاد قانون يحلها بسرعة، فمهما بلغت بنا درجة العلم هناك الكثير من الأسئلة البسيطة في مفهومها و صياغتها و عجز العلماء من أيجاد حل لها ليومنا هذا.

رد: طرق العد
 

وثم سؤال راودني مرة ...
نعلم ان الجمال تصوم فترة من السنة وتكون في هذه الفترة شديدة البأس حتى إنها لتفتك بصاحبها إن زجرها...
لنقل إن الجمل يصوم شهرا في السنة ...
مرت قافلة من مائة جمل ... كم جملا يحتمل أن يكون صائما؟؟؟
هذا السؤال حاولت ان احله وأحسب انني خبصت فيه ... يعني حسبت احتمال الصيام للجمل الواحد وقارنت ذلك بامكانيات صائم ومفطر يعني اثنان للقوة مائة وكذا بالاحتمال من هذا المنطلق وحصلت على ما يشبه الجواب ... هل نتشارك في فهم السؤال؟؟؟

بداية يا أخي صيغة السؤال " ... كم جملا يحتمل أن يكون صائما؟" توحي بأن السؤال يطلب منا أن نوجد احتمالا ما
و لكن لو صغنا السؤال كم جملا تتوقع أن يكون صائما
و الحقيقة أن عدد الجمال الصائمة يحتمل أن يكون أي عدد من صفر إلى مائة
و (و هذا هو المقصود بكل بساطة بمفهوم المتغير العشوائي ، ليس سوى وضع عناصر فضاء العينة على شكل أعداد ذات معنى)
و هنا يمكن ببعض المعلومات البسيطة التي سنشرحها إن شاء الله فيما بعد يمكنني أن أوجد احتمال أن يكون العدد 0أو 1 أو ... أو 100
و لكن ما تريده هو ما العدد الأكثر احتمالا أو بعبارة أدق ما العدد الذي في الغالب ستكون عدد الجمال الصائمة قريبة منه أو بمعنى أخر في المتوسط كم جملا صائما سنجد

كل هذا يعبر عنه بمفهوم القيمة المتوقعة أو متوسط التوزيع The mean
لكي نوجد هذا المتوسط نحن كما فعلت أنت بحاجة لاحتمال كل قيمة من القيم من 0 إلى 100
سيطول الشرح هنا إن أردت توضيح كل شيء و لكننا سنفاجأ بأننا بعد هذا التعب سنحصل على عدد ليس له دلالة إذ سيكون ببساطة هو 100÷12 هو ليس حتى عددا صحيحا و هذه احدى عيوب المتوسط و لكن يمكن القول بثقة أن العدد سيكون قريبا جدا من العدد 8.
لتناول ذلك بالتفصيل سنحتاج إذا أردت- و سيسعدني ذلك- لفهم عدة قواعد لحساب الاحتمالات و
أن نحاول أن نفهم لم يتم ايجاد متوسط التوزيع بهذا الشكل.

و بداية أحب أن أعلم كيف حسبت حتمال أن يكون جملين مثلا صائمين
مع خالص احترامي

رد: طرق العد
 

هذه طرق العد تدرس في الأحتمالات الرياضية وهي مفيدة في دراسة الفيزياء النظرية
كل الشكر لك

رد: طرق العد
 

نعم نعم أردت الأكثر احتمالا ... وهو الذي ينزع نحو المتوسط عادة وتمثلة القيمة العظمى...
اشكر لك اهتمامك ... كما قلت فقط اردت أن اساهم ...

رد: طرق العد
 

والان بالنسبة للاحتمال 1/12 والذي يحتمل معه ان يكون العدد 8 كأكثر خيار محتمل... يعتريه بعض الاستفهامات بنظري وهي ربما سببت لي شيئا من القلق بشأن المسألة...
الان إذا قلنا خلال شهر فإن 1/12 تبدو منطقية لكن خلال اليوم الواحد هل ذلك منطقي أيضا؟؟؟يعني إن هناك اشتراكا بين صيام الجمال فليس كل منها في شهر محدد وليس كل منها يبدأ في يوم محدد ولذا قد يكون بعض الجمال في أخر يوم من الصيام وبعضها في اول يوم وبعضها مضى عليه اربعة عشر يوما ... وهكذا ...أي أن هناك تقاطعا بين ايام الصيام عند جميع الجمال... ومن هنا يبدو العدد 8 مجرد خيار فيه كلام برأيي...ماذا تقولين؟؟؟
طبعا واضح أن احتمال ان نجد جملا صائما من المائة هو احتمال كبير وجملان وثلاثة إلى ثمانية ثم يضمحل كلما زاد هذا العدد إذ لا يبدو قريب المنال أن يكون الجميع صائما مثلا (وإن كانت ممكنة) وهذا يعيدنا مرة أخرى إلى قصة الغاز التي تحدثت عنها قبل ايام ... إذ لو قدر ان نضع غازا في النصف الأيمن من الصندوق ثم فتحنا الصندوق فإن احتمال ان نرى الغاز وقد تكثف مرة اخرى ليتقوقع في الزاوية اليمني احتمال يرد لكنه صغير جدا...

بالنسبة لمشكلة الطالب يمكن التفكير فيها شوية شوية قبل الإيغال في المشكلة الأصلية لنعرف الطريقة وربما نرى من خلالها كيف أن التقييدات تؤثر في الفضاء المتاح ... نأخذ تخصصين مقابل تخصصين :
فإن كان عليه ان يختار ما يشاء فله أن يختار:جميعها أو يختار ثلاثة (4طرق) أو يختار اثنين(6طرق) او يختار واحدا (4طرق)...
فإن كان عليه أن يختار من الاجباري والاختياري [grade="0000FF FF6347 008000 4B0082"]فالإمكانات تقل لأن هناك تقييدا يقلل الامكانات[/grade] وهي هنا 9 إن كنت عددت بشكل صحيح : اثنان مع اثنين- واثنان مع واحد (بطريقتين) - وواحد مع واحد (اربع طرق) - وواحد مع اثنين (طريقتان)
فإن كان عليه أن يختار واحدا من كل فئة فتلك اربع خيارات لأن كل تخصص يقابله اختياران من الفئة الثانية ... وهذا ما درسناه في بداية الموضوع وعددناه سويا في قطعة النقود ... تماما..
وإذا قلنا له اختر اثنين إجباري مقابل واحد فلديه خياران فقط لأن التقييد قلل من الحرية هنا أيضا...
ويصبح التعميم بعد ذلك سهلا وباقي المسألة ما السائل عنها باعلم من المسؤول (على عكس الحديث الشريف)
والله اعلم...

رد: طرق العد
 

عفوا استاذي
بداية بالنسبة لمشكلة الطالب لست أفهم
فهل تقصد أن حلي له كان غير صحيحا أم غير واضحا أم غير مقبول

أم أنك تحاول الوصول لحل آخر أقل إجهادا للمطلوب الثاني

أو ربما أن وضعي لحل كل جزء في مشاركة مستقلة جعل هناك لبسا في الأمور
أرجو أن توضح لي ؟
=====
سأوضح رأيي بالنسبة لما طرحته في مسألة الجمال
بداية و كما تفضلت فإننا نفترض أن لا وقت محدد لبداية الشهر الذي سيصومه أي من الجمال و أن تلك البداية لهذا الشهر لا يتأثر بها جمل بآخر، و لا هي متأثرة بالشهر القمري أو الشمسي إن صح التعبير
هذا ما تفترضه طبيعة المسألة و ما يجب أن نحدده بدقة قبل بدء التفكير في الحل

و كما سنرى سنجد أن الاحتمالات علم يضع ترجمة رياضية بالنسبة لي تعتبر مذهلة لكل معلومة ، مذهلة لمقدار الصدق الكبير الذي تتمتع به

الآن لنأخذ كل جمل على حدة
ما احتمال أن يكون هذا الجمل صائما في لحظة ما
إن الجمل يصوم شهرا في السنة (نفترض للسهولة أن الأشهر متساوية في عدد أيامها و من ثم في ساعاتها و لحظاتها)
و بالتالي احتمال أن يكون صائما هو 1÷ 12 و لن يختلف الأمر حتى لو افترضنا أن الجمل يصوم يوما في كل 12 يوم.


الآن لنأتي للجمال مجتمعة قلنا في البداية أن لا جمل سيؤثر أو سيتأثر بآخر و بالتالي احتمال أن يكون أيا منهم صائما ليس عليه قيود سوى ما ذكرناه في الفقرة السابقة أي أن أيا منها احتمال أن يكون صائما هو 1÷ 12
الآن احتمال أن تكون جميعها صائمة هو( 1÷ 12 ) مرفوعة للقوة 100
أي أننا سنضرب نفس الاحتمال 100 مرة لماذا استخدمنا قاعدة الضرب في الاحتمالات (تماما كما استعملناها في قاعدة العد)
لنأخذ للتبسيط حالة جملين فقط
احتمال أن يكونا صائمين هو( 1÷12 )×(1÷12)
و لكي أوضح أكثر بدون الخوض في الاحتمالات الشرطية
أنه بشكل عام
بأنه في حالة عدم تأثر حادثين ببعضهما فإن احتمال حدوث الحادثين في نفس الوقت هو حاصل ضرب الاحتمالات للحادثين
و لكي أجعل الصورة أقرب
لنفترض أن لدينا صندوقين في كل منهما 200ورقة مرقمة من 1 إلى عشرين بحيث من كل رقم موجود على عشر ورقات و لكن كل منها بلون مختلف و الأن سحبنا ورقة من كل صندوق ما احتمال أن كلتيهما تحمل الرقم 3 بغض النظر عن اللون
سنجد أن عندنا عدد عناصر الكلي لفضاء العينة هو 200×200 و أن الحدث المطلوب يقابله امكانات 10× 10 بتطبيق قاعدة الضرب و عليه فاحتمال الحدث هو 100÷ 40000
أليس هذا هو نفسه إذا قلنا الاحتمال المطلوب هو احتمال 10/200 × 10/ 200
أقصد أن الاحتمال هو حاصل الضرب لمكونات الحدث (و هذا صحيح لأن الصندوق الأول لا يؤثر و لا يتأثر بالثاني و إلا لاختلف الأمر)
من الواضح هنا أن لون الورقة المسحوبة لن يؤثر على الاحتمال لأنه لا يعنيني حسب طبيعة المسألة

نفس الشيء في مسألتنا إذا قابل كل صندوق حالة الجمل و العدد 3 يقابل إمكانية الصوم في يوم ما و لون الورقة 3 بالنسبة للجمل الصائم يقابل ترتيب ذلك اليوم في الشهر الذي صام فيه

الحقيقة بامعان النظر سنجد أن المسألتين ستطابقا إذا كان عدد الورق في كل صندوق 360 ورقة مرقمة من 1 إلى 12 كل رقم يظهر 30 مرة كل منها له لون مختلف عن الآخر.


========
طريقة أخرى و للسهولة سنأخذ حالة جملين فقط
احتمال أن الأول صائم بغض النظر عن ترتيب يومنا في شهر الصيام الخاص به هو بنفس المنطق هو 1/12
لأن احتمال أن يبدأ الصيام في أي يوم هو 1 /360
و احتمال أن يكون الجمل صائما اليوم يقابل احتمال أن يكون قد بدأ الصيام اليوم أو البارحة أو قبل يومين أو ثلاثة أو ... إلى قبل 29 يوم و تلك ثلاثين كاملة احتمال كل منها هو 1 /360 و مجموع احتمالاتها 30/360 أي 1/12


في هذه الحالة لنفترض أننا علمنا أن الجمل الأول صائم يومنا هذا و لليوم التاسع على التوالي ، ما احتمال أن يكون الثاني أيضا صائم
نظرا لأن الجمل غير معني بزميله فسيكون أمامه كل أيام السنة قابلة لأن يبدأ بها صوم هذا الشهر أي الاحتمال أن يبدأ الصيام في أي أيام السنة هو 1 /360
فإن احتمال أن يكون الجمل الثاني صائما يومنا هذا يقابل ثلاثين امكانية و هي أن يكون قد بدأ الصيام في أي يوم من الأيام الثلاثين المتتالية و التي آخرها يومنا هذا و بجمع الاحتمالات سنحصل على 30/360 أي 1/12
صحيح أن التقاطعات في أيام صيام الجملين ستختلف من حالة لأخرى و لكني معنية فقط بالوضع اليوم
الآن كل من الجملين احتمال أن يكون صائما اليوم هو 1/12
لذا احتمال أن يكونا صائمين معا اليوم هو 1/12 مرفوعة للقوة 2
و لو كانت 100 جمل سيكون العدد /12 مرفوعة للقوة 100


إذا كان ذلك مقنعا فقط قطعنا شوطا جيدا في الحل و صار لدينا مفهوم لا بأس به حول مفهوم الاستقلال في نظرية الاحتمالات و هو أهم مفاهيم المادة باعتبار أنه هو الوحيد الذي يميزها عن غيرها.


و الممتع في الأمر أنني إذا أدركت معنى الاستقلال فإني مباشرة استخدم قاعدة الضرب بدون التفكير في الحيثيات
المثال الأول أوضح لأنه يفسر أيضا من أين جاءت قاعدة الضرب