مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

اذا كان س^2 ص ع = 12 ، س ص ^2 ع = 6 ، س ص ع^2 = 18

أوجد قيمة
(1 ) س ص ع

( 2) س + ص + ع



ص ع س^2 = 12 ... ... ... (1)

س ع ص^2 = 6 ... ... ... .(2)

س ص ع^2 = 18 ... ... ... (3)

من المعادلتين (1) ، (2) ... ... س/ص = 2

من المعادلتين (2) ، (3) ... ... ع/ص = 3

من المعادلتين (1) ، (3) ... ... ع/س = 3/2

بالتعويض عن قيم ص ، ع بدلالة س فى المعادلة (1)

س^2 * س/2 * 3 س/2 = 3/4 * س^4 = 12

س^4 = 4 * 12 / 3 = 16

س = + أو - 2

بالتعويض عن قيم س ، ع بدلالة ص فى المعادلة (2)

ص = + أو - 1

بالتعويض عن قيم س ، ص بدلالة ع فى المعادلة (3)

ع = + أو - 3

فتكون قيم س ، ص ، ع التى تحقق المعطيات بالمعادلات الثلاث هى :

( 2 ، 1 ، 3 ) أو ( - 2 ، - 1 ، - 3 )

س * ص * ع = 6 أو - 6

س + ص + ع = 6 أو - 6

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

حل المعادلــــــــــــــة

3 س^4 - 5 س^2 - 2 = صفر



(3س^2 + 1)(س^2 - 2) = 0

إما(3س^2 + 1) = 0 ... ... ... س = + أو - ت/جذر3

أو (س^2 - 2) = 0 ... ... ... س = + أو - جذر2

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

أوجد قيمة الثابت ( ك )

الذي يجعل باقي قسمة

د ( س ) = ( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك

علي ( س - 2 ) تساوي 9

بالخطوات التفصيلية


نضع مقدار الدالة على الصورة :

( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك - 9 ك + 9 ك =

( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 - 8 ك + 9 ك =

( س - 2 )*[ (ك + 1) س^2 + 2 ك س + 4 ك ] + 9 ك

لكى يكون باقى قسمة الدالة على ( س - 2 ) = 9

يكون قيمة الثابت ك = 1

للتحقق

[( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك]/(س - 2) =

[ 2س^3 - 2س^2 + 1]/(س -2) = 2*(س - 1)(س + 2) + 9/(س - 2)

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

حل في المجموعة ح المعادلة:

[ (س+1)/(س-1)]^3 -3 [ (س+1)/(س-1)]^2 +[ (س+1)/(س-1)]+1 = 0



نضع [(س + 1)/(س - 1)] = ص

ص^3 - 3 ص^2 + ص + 1 = 0

(ص - 1)(ص^2 - 2 ص - 1) = 0

ص = 1
(س + 1)/(س - 1) = 1 ... ... ، غير مقبول

(ص^2 - 2 ص + 1) = 0
ص = 1 + جذر 2 ... ، أو ص = 1 - جذر 2

(س + 1)/(س - 1) = 1 + جذر 2
س + 1 = (1 + جذر 2)* س - 1 - جذر 2
س = جذر 2 + 1

(س + 1)/(س - 1) = 1 - جذر 2
س + 1 = (1 - جذر 2)* س - 1 + جذر 2
س = جذر 2 - 1

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

ص = 1/2*(س + ع) = الوسط الحسابى بين س ، ع

أ^2 = س*ص
ب^2 = ص*ع

أ*ب/ص = جذرس*ع = الوسط الهندسى بين س ، ع

الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى ( بشرط الحدود موجبة )

ص > أ*ب/ص

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

أثبت أن: [(ن + 1) ( ن + 2 ) *.......................*2ن ] / [ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = 2^ن


[(ن + 1) ( ن + 2 ) *.......................*2ن ] = 2ن! / ن!

[ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = (2ن - 1)! / 2^(ن - 1) * (ن - 1)!

المقدار = [2ن! / ن!] ÷ [(2ن - 1)! / 2^(ن - 1) * (ن - 1)!]

= [ 2ن! * (ن - 1)! * 2^(ن - 1) ] ÷ [ن! * (2ن - 1)!]

= [2ن*(2ن - 1)! * (ن - 1)! * 2^(ن - 1)] ÷ [ن*(ن - 1)! *(2ن - 1)!]

= 2^ن

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

اذا كانت س=أ + ب ، ص = أω + ب ω2 ، ع= أ ω2+ بω
حيث 1 ، ω ، ω2 هي الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
فاثبت أن : س ص ع = أ3 + ب3

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كان ( أ ، ب ، جـ ) تمثل حدود متتابعه هندسيه
وكان ( أ )^1/س = ( ب )^1/ص = ( جـ )^1/ع
فأثبت أن :
(س ، ص ، ع ) تكون متتابعه حسابيه

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

حل المعادلة :

( لو ص + 1 ) لو ( ص/10 ) = 3


(لو ص + 1) (لو ص - 1) = 3

(لو ص)^2 - 1 = 3

(لو ص)^2 = 4

لو ص = + 2 ـــــــــــــــــــــــــــــ> ص = 100

لو ص = - 2 ـــــــــــــــــــــــــــــــ> ص = 1/100

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

عدد مكون من ثلاث أرقام تكون متتابعةحسابية وعند

قسمة هذا العدد علي مجموع أرقامة يكون الناتج مساويا ً 48

والفرق بين هذا العدد وبين 198 هو عدد مكون من نفس الأرقام السابقة

مكتوبة بعكس الترتيب الأول أوجد هذا العدد



نفرض أن أرقام العدد بالترتيب هو :

رقم الآحاد = أ ، رقم العشرات = (أ + د) ، رقم المئات = (أ + 2 د)

مجموع أرقام العدد = [3*أ + 3*د]

قيمة العدد = [1 × أ] + [10 × (أ + د)] + [100 × (أ + 2 د)] = [111 *أ + 210*د]

[111 *أ + 210*د] ÷ [3*أ + 3*د] = 48

ومنها : أ = 2*د

أرقام العدد المكون من نفس أرقام العدد السابق بترتيب عكسى هو :

رقم الآحاد = (أ + 2 د) ، رقم العشرات = (أ + د) ، رقم المئات = (أ)

وقيمته = [1 × (أ + 2 د)] + [10 × (أ + د)] + [100 × أ] = [ 111*أ + 12*د]

إذن :

[111 *أ + 210*د] - 198 = [ 111*أ + 12*د]

ومنها : د = 1

إذن :

أرقام العدد على الترتيب هى : 2 ، 3 ، 4

ويكون العدد هو : 432

للتحقق :

432 - 198 = 234
وهو نفس أرقام العدد (432) بترتيب عكسى

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

مجموع ثلاث أعداد موجبة يساوي 11/18

والمعكوسات الضربية لهذة الأعداد الثلاثة تكون متتابعة حسابية

فإذا كان مجموع هذة المعكوسات = 18

أوجد الأعداد الثلاثة ؟




نفرض أن الأعداد هى : س ، ص ، ع

س + ص + ع = 11 / 18 .................................................. (1)

1/س + 1/ص + 1/ع = 18 ................................................ (2)

1/س + 1/ع = 2/ص .................................................. ...... (3)

من (2) ، (3) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ> ص = 1 / 6

بالتعويض بقيمة ص فى المعادلة (1) ، (3)

س + ع = 4 / 9 .................................................. ............. (4)

1/س + 1/ع = 12 .................................................. .......... (5)

من المعادلتين (4) ، (5) ينتج أن :

س = 1/3
ع = 1/9

للتحقق :

س + ص + ع = 1/3 + 1/6 + 1/9 = 11 / 18

1/س + 1/ص + 1/ع = 3 + 6 + 9 = 18

1/س + 1/ع = 3 + 9 = 12 = 2*6 = 2*(1/ص)

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

أوجد قيمة س في المعادلة

1 + 7 + 13 + ................ + س = 280


المعادلة هى متتابعة حسابية ، فيها :

الحد الأول = 1
الأساس = 6
مجموع الحدود = 280
الحد الأخير = س

نفرض أن :
عدد الحدود = ن

س = 1 + (ن - 1) × 6 = 6 ن - 5

280 = (ن/2)*[1 + 6 ن - 5] = (ن/2)*(6 ن - 4)
ومنها : ن = 10

س = 6 ن - 5 = 55

للتحقق :

أ = 1 ، د = 6 ، ن = 10

ج = (ن/2)*[2 أ + (ن - 1)*د] = (10/2)*[2 + (10 - 1)*6] = 5*56 = 280

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

نعلم أن معادلة الدرجه الثانيه فى متغير واحد هى :
أس^2 + ب س + جـ = 0 ، أ=/= 0

أثبت أن هذه المعادله يمكن كتابتها على الصوره :
س^2 - ( مجموع الجذرين) س + حاصل ضربهما = 0


أس^2 + ب س + جـ = 0

بالقسمة على أ

س^2 + (ب/أ)*س + (ج/أ) = 0 ..................(1)

نفرض أن جذرى المعادلة هما : ل ، ع

(س _ ل)*(س - ع) = 0

س^2 - ل*س - ع*س + ل*ع = 0

س^2 - (ل + ع)*س + ل*ع = 0 ...................(2)

من (1) ، (2)

ب/ا = - (ل + ع) = - (مجموع جذرى المعادلة)

ج/أ = ل*ع = حاصل ضرب جذرى المعادلة

فتكون المعادلة على الصورة :

س^2 - (مجموع الجذرين)* س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كونت س ، ص ، ع متوالية هندسية
وكونت : س ، س+ ص ، س + ع متوالية حسابية
إثبت أن : س : ص : ع = 1 : 2 : 4


ص^2 = س*ع
2*(س + ص) = س + (س + ع) ... ومنها : 2 ص = ع

ص^2 = س*(2 ص) ............. ومنها : ص = 2 س

إذن : ع = 4 س

ويكون : س : ص : ع = س : 2 س : 4 س = 1 : 2 : 4

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كان أ ، ب ، جـ تكون متوالية عددية
وكان : أ ، س ، ص ، جـ تكون متوالية هندسية
إثبت أن : س^3 + ص^3 = 2 ب س ص


2 ب = أ + ج
س*ص = أ*ج

2 ب*س*ص = أ*ج (أ + ج) = ج*أ^2 + أ*ج^2

فى المتوالية الهندسية :

نفرض أن : س = أ*ر ، ص = أ*ر^2 ، ج = أ*ر^3

س^3 + ص^3 = أ^3 × ر^3 + أ^3 × ر^6

= [أ^2 × أ ر^3] + [أ × (أ ر^3 )^2] = ج*أ^2 + أ*ج^2

= 2 ب*س*ص

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كان جـ هو مجموع ن من الحدود في متوالية هندسية

و ص هو حاصل ضرب هذة الحدود

و م مجموع مقلوبات هذة الحدود

إثبت أن ( جـ / م )^ن = ص^2



ج = أ + أ*ر + أ*ر^2 + ... + أ*ر^(ن - 1) = أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)

ص = أ × أ ر × أ ر^2 × ... × أ ر^(ن - 1) = أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]

م = 1/أ + 1/أ ر + ... + 1/أ ر^(ن - 1) = 1/أ*[1 + 1/ر + ... + 1/ر^(ن - 1)
= 1/أ*[(1 - (1/ر)^ن)/(1 - 1/ر)] = [(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]

ص^2 = [أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]^2 = أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1)]

(ج / م)^ن = [[أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)] ÷ [[(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]]^ن
= أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1))

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كان : ل^2 ، م ^2 ، م^4 - ل^2

في تتابع هندسي فأثبت أن م^2 > 2



م^2 هو الوسط الهندسى للعددين ل^2 ، (م^4 - ل^2)

الوسط الحسابى = 1/2*(ل^2 + م^4 - ل^2) = 1/2*م^4

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى
(للأعداد الموجبة)

وحيث أن الأعداد هى مربعات أعداد ، فتكون موجبة وينطبق عليها متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى


إذن :

1/2*م^4 > م^2

م^2 > 2

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كانت 3 أ ، 3 ب - أ ، 2 ب في تتابع حسابي

فأثبت أن : أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ ب


بشرط أن يكون كل من : 3 أ ، 2 ب أعداد موجبة
فيمكن تطبيق متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى لهما

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى

3 ب - أ > جذر(6*أ*ب)

بالتربيع لكلا الطرفين

أ^2 + 9 ب^2 - 6*أ*ب > 6*أ*ب

أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ*ب

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

س ، ص ، ع ثلاثة أعداد حقيقية مختلفه مجموعها = 30

إذا أخذت الأعداد بالترتيب : س ، ص ، ع فأنها تكون متتابعة حسابية

وإذا أخذت بالترتيب س ، ع ، ص فانها تكون متتابعة هندسية

أوجد الأعداد الثلاثة


س + ص + ع = 30 ............. (1)

2 ص = س + ع ................ (2)

ع^2 = س × ص ................ (3)

من (1) ، (2)

ص = 10

س = 20 - ع

بالتعويض فى (3)

ع^2 = 10 × س = 10 × (20 - ع) = 200 - 10 ع
ع^2 + 10 ع - 200 = 0

ع = 10 ـــــــــــــــ> س = 10

أو

ع = - 20 ـــــــــــــ> س = 40

وهى لا تحقق الشروط

الأعداد هى :
س = 10 ، ص = 10 ، ع = 10

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

سار قطار 300 كم متر بسرعة منتظمة لو انها زادت خمسة كيلومترات في الساعة لنقص الزمن الذي استغرقه ساعتين .فما سرعة القطار؟



نفرض أن السرعة المنتظمة = ع كم/ساعة
والزمن المستغرق = ن ساعة

المسافة المقطوعة = السرعة المنتظمة × الزمن المستغرق
300 = ع × ن ...... ، ومنها : ن = 300 / ع

300 = (ع + 5)(ن - 2) = (ع + 5)(300/ع - 2)

ع^2 + 5 ع - 750 = 0
(ع - 25)(ع + 30) = 0

حيث السرعة المنتظمة فى اتجاه المسافة (قيمة موجبة)

سرعة القطار = 25 كم/س

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

باع رجل حصانا بمبلغ 72 جنيها فوجد ان خسارته في المائة تساوي 1/8 عدد الجنيهات التي دفعها ثمنا للحصان .فبكم اشتري الحصان ؟



نفرض أن ثمن الشراء = س جنيها

قيمة الخسارة بالجنيه ( مع إهمال الاشارة السالبة ) = ثمن الشراء - قيمة البيع = س - 72 جنيها

النسبة المئوية للخسارة = [( قيمة الخسارة ) ÷ ( ثمن الشراء )] × 100 = [(س - 72)/(س)]×100

وهى تساوى 1/8 * ثمن الشراء

إذن :

[(س - 72)/(س)]×100 = س/8

س^2 - 800 س + 800×72 = 0

(س - 80)(س - 720) = 0

س = 80 أو س = 720

والقيمتان تحققان الشروط

وبالرغم من زيادة قيمة الخسارة بالجنيه عندما يكون ثمن الشراء 720 جنيه حيث = 720 - 72 = 648 جنيه

إلا أنه منطقى فقد يكون الحصان المباع مريضا أو هزيلا ففقد نفعه ، وتم بيعه لحديقة الحيوان لاطعام السباع مثلا .

أما عن ثمن الشراء بمبلغ 80 جنيه فهو لا يتناسب مع السعر المتداول بالسوق ، وقد يجوز أن يكون بأسعار منذ 30 عاما فأكثر

والله أعلم

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

حوض يمكن ان تملأه حنفيتان في 100/3 من الدقائق فاذا كانت الحنفية الكبري تملأ الحوض في زمن اقل مما تملؤه فيه الصغري بمقدار 15 دقيقة .فما مقدار الزمن الذي تملأ كل منهما فيه الحوض بمفردها؟


نفرض أن :

حجم الحوض = (ح) لتر
معدل الملأ للحنفية الكبرى = (ك1) لتر/دقيقة
معدل الملأ للحنفية الصغرى = (ك2) لتر/دقيقة

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = ن1 دقيقة = ح/ك1 ... ، ومنها : ك1 = ح/ن1

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = ن2 = ح/ك2 دقيقة ... ، ومنها : ك2 = ح/ن2

ن1 = ن2 - 15

الزمن اللآزم لملأ الحوض بكلتا الحنفيتان فى نفس الوقت = 100/3 دقيقة = ح/(ك1 + ك2)

100/3 = ح/[(ح/ن1) + (ح/ن2)] = (ن1 × ن2) ÷ (ن1 + ن2)

3×ن1×ن2 = 100×ن1 + 100×ن2

3×(ن2 - 15)×ن2 = 100×(ن2 - 15) + 100×ن2

3(ن2)^2 - 45(ن2) = 100(ن2) - 1500 + 100(ن2)

3(ن2)^2 - 245(ن2) + 1500 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد ، ينتج :

ن2 75 دقيقة أو ن2 = 20/3 دقيقة

عند ن2 = 75 ـــــــ> ن1 = 75 - 15 = 60 دقيقة

عند ن2 = 20/3 ـــــ> ن1 = 20/3 - 15 = - 25/3 ( مرفوضة)

ويكون :

زمن ملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = 60 دقيقة
زمن ملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = 75 دقيقة

للتحقق :

زمن ملأ الحوض بالحنفيتان سويا = (60×75) ÷ (60 + 75) = 100/3 دقيقة

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رجل يمكنه ان يقطع 24 كيلو مترا في نهر في 5 ساعات اذا جدف نصف المسافة مع التيار ومشي النصف الآخر علي الشاطئ ولو جدف نصف المسافة في الجهة المضادة للتيار لأحتاج الي 7 ساعات لقطع المسافة بأجمعها . أما اذا كان الماء راكدا فانه يستغرق في قطع المسافة بأجمعها 17/3 من الساعات اذا جدف نصف المسافة ومشي النصف الآخر علي الشاطئ .
فما سرعته اذا مشي وما سرعته اذا جدف وما سرعة التيار؟


نفرض أن :

سرعة المشى = ع كم/س
سرعة التجديف = ج كم/س
سرعة التيار = ت كم/س

السرعة منتظمة
فيكون : السرعة = المسافة المقطوعة / الزمن المستغرق



5 = [12 ÷(ج + ت)] + [12 ÷ ع]......... (1)

7 = [12 ÷(ج - ت)] + [12 ÷ ع]......... (2)

17/3 = 12/ج + 12/ع .................. (3)

وبحل المعادلات الثلاث ، ينتج أن :

سرعته إذا مشي 4 كيلو متر في الساعة

وسرعته إذا جدف 4.5 كيلو متر في الساعة

وسرعة التيار 1.5 كيلومتر في الساعة.

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

ما العدد الذي إذا طرح من مربعه 119 يكون باقي الطرح مساويا لعشرة أمثال باقي طرح 8 من هذا العدد ؟


نفرض العدد = س

س^2 - 119 = 10×(س - 8) = 10 س - 80

س^2 - 10 س - 39 = 0
(س - 13)(س + 3) = 0

س = 13 أو س = - 3

ويحققان الشرط

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

عمر رجل خمسة أمثال عمر ولده ومجموع مربعي عمريهما 2106 فما عمرهما ؟


نفرض أن :
عمر الأب = س عام
عمر الابن = ص عام

س = 5 ص
س^2 + ص^2 = 2106

26 ص^2 = 2106
ص^2 = 81

ص = 9 أعوام
س = 45 عام

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

مجموع مقلوبي عددين متتالين ( 15 ÷ 56 ) فما العددان ؟



الحل بطريقة التحليل الرياضى :

15/56 = (8 + 7)÷ (8 × 7) = 1/7 ، 1/8
ويكون العددان هما : 7 ، 8

15/56 = [15 *(8 - 7)]÷ [8 × 7] = 15/7 - 15/8
ويكون العددان هما : 7/15 ، - 8/15


الحل بالطريقة الجبرية :

نفرض أن العددين هما : أ ، ب

أ - ب = 1 ........... ، ومنها : أ = 1 + ب

1/أ + 1/ب = 15/56

(أ + ب)/أ*ب = 15/56

(1 + 2 ب)× 56 = (ب + ب^2)× 15

15 ب^2 - 97 ب - 56 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد

ب = 7 ............. ، ومنها : أ = 8

أو

ب = - 8/15 ........ ، ومنها : أ = 7/15

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

ما العدد الذي إذا أضيف إليه 17 يصير الناتج مساويا مقلوب هذا العدد ستين مرة؟


نفرض أن العدد = أ

أ + 17 = 60 / أ

أ^2 + 17 أ - 60 = 0
(أ - 3)(أ + 20) = 0

أ = 3 أو أ = - 20

تحققان الشروط


حل آخر :

معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد على الصورة :

س^2 - (مجموع جذرى المعادلة)*س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

أ^2 + 17 أ - 60 = 0

أ^2 - (- 17)*أ + (- 60) = 0

- 17 = - 20 + 3
- 60 = - 20 × 3

أ = 3 أو أ = - 20

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

ما العددان اللذان مجموعهما 9 أمثال فرقهما وفرق مربعيهما 81 ؟


نفرض أن العددان هما : أ ، ب

أ + ب = 9 (أ - ب)
أ^2 - ب^2 = 81

(أ - ب)(أ + ب) = 81
9 (أ - ب)^2 = 81
(أ - ب)^2 = 9
(أ - ب) = + 3 أو - 3

عند (أ - ب) = 3
يكون : (أ + ب) = 27
وينتج أن :
أ = 15 ، ب = 12

عند (أ - ب) = - 3
يكون : (أ + ب) = - 27
وينتج أن :
أ = - 15 ، ب = - 12

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

حاصل جمع عدد ومربعه تسعة أمثال العدد الذي يليه في الكبر فما العدد ؟


نفرض أن العدد = أ

أ + أ^2 = 9 (أ + 1)
أ^2 - 8 أ - 9 = 0

أ^2 - [(9 + (- 1)]* أ + (9 × - 1) = 0

أ = 9 أو أ = - 1

يحققان الشروط

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

لأى عددين حقيقيين س ، ص - برهن أن : س^2 +/- س*ص + ص^2 >/= 0


(س + ص)^2 = س^2 + ص^2 + 2 س*ص
س*ص = 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

(س - ص)^2 = س^2 + ص^2 - 2 س*ص
- س*ص = 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

إذن :

س^2 + س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س + ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

س^2 - س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س - ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

وتساوى الصفر فى حالة س = ص = 0

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

مجموع مربعات ثلاثة اعداد (صحيحة ) متتالية

يساوى مجموع مربعى العددان التاليين لهما فما هى الاعداد الخمسة



نفرض أن العدد الأول = س


أولا : فى حالة التزايد :

الأعداد الخمس المتتالية هى :

س ، (س + 1) ، (س + 2) ، (س + 3) ، (س + 4)

س^2 + (س + 1)^2 + (س + 2)^2 = (س + 3)^2 + (س + 4)^2

ومنها :

س = - 2
وتكون الأعداد هى : - 2 ، - 1 ، 0 ، 1 ، 2

أو

س = 10
وتكون الأعداد هى : 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14


ثانيا : فى حالة التناقص :

الأعداد الخمس المتتالية هى :

س ، (س - 1) ، (س - 2) ، (س - 3) ، (س - 4)

س^2 + (س - 1)^2 + (س - 2)^2 = (س - 3)^2 + (س - 4)^2

س = 2
وتكون الأعداد هى : 2 ، 1 ، 0 ، - 1 ، - 2

أو

س = - 10
وتكون الأعداد هى : - 10 ، - 11 ، - 12 ، - 13 ، - 14

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

رد: مسائل وحلول - الجبر
 

إذا كان :
لو (س+1) للأساس 3 + لو (ص+4) للأساس 3 = 1 + لو 7 للأساس 3
لو (2س-1) للأساس 9 + لو (ص-2) للأساس 9 = 1/2
فأوجد قيمة س ، ص

لو (س+1) للأساس 3 + لو (ص+4) للأساس 3 = 1 + لو 7 للأساس 3
لو[(س + 1)(س + 4)] للأساس 3 = لو[3 × 7] للأساس 3
ومنها :
(س + 1)(س + 4) = 21 ........................... (1)

لو (2س-1) للأساس 9 + لو (ص-2) للأساس 9 = 1/2
لو[(2س - 1)(س - 2)] للأساس 9 = 1/2 = لو[9^1/2] للأساس 9
ومنها :
(2س - 1)(س - 2) = 9^1/2 = 3 ................... (2)

بحل المعادلتين (1) ، (2) فى مجهولين س ، ص
ينتج أن :
س × ص = 6
وبالتعويض عن قيمة ص = 6/س فى المعادلة (2)
4 س^2 - 11 س + 6 = 0
وباستخدام القانون العام لايجاد جذرى المعادلة من الدرجة الثانية فى مجهول واحد س
فيكون :
س = 2 ــــــــــــــــــــــ> ص = 3
أو
س = 3/4 ــــــــــــــــــــ> ص = 8