مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

إثبت أن :

ظتا30 ظتا40 = 1 + قا20

ظتا30 ظتا40 = ( جتا30 جتا40) / ( جا30 جا40)

جتا70 = جتا(30 + 40) = جتا30 جتا40 - جا30 جا40
جتا30 جتا40 = جتا70 + جا30 جا40 = جا20 + جا30 جا40
حيث جتا 70 = جا20

ظتا30 ظتا40 = [جا20 + جا30 جا40] / (جا30 جا40)
= 1 + جا20/(جا30 جا40)
= 1 + جا20/(1/2*2*جا20 جتا20)
= 1 + 1/جتا20 = 1 + قا20

حل آخر :

جتا70 = جا20
جتا70 = جتا(30 + 40) = جتا30 جتا40 - جا30 جا40

جتا30 جتا40 = جا20 + جا30 جا40

بالقسمة على جا30 جا40

ظتا30 ظتا40 = جا20/(جا30 جا40) + 1 = جا20/(1/2*2*جا20 جتا20) + 1 = قا20 + 1

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

حل المثلث أ ب جـ

الذي فيه : أ َ - ب َ = 3 سم ، جـ َ = 8 سم ، ق ( أ - ب ) = 20 َ 18 درجة


ق ( أ - ب ) = 20 َ 18 درجة = 18.3333 درجة
ق [( أ - ب )/ 2] = 9.1666 درجة

جا[(أ - ب)/2] = 0.1593
جتا[(أ - ب)/2] = 0.9872

جاأ - جاب = 2 جتا(أ + ب)/2 * جا(أ - ب)/2 = 0.3186 جتا(أ + ب)/2

جاأ + جاب = 2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ - ب)/2 = 1.9744 جا(أ + ب)/2

جا ج = جا[180 - (أ + ب)] = جا(أ + ب) = 2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ + ب)/2

جَِِ /جاج = أَ /جاأ = بََ /جاب = (أَ - بَ)/(جاأ - جاب) = (أَ + بَ)/(جاأ + جاب)


ج / [2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ + ب)/2 ] = (أَ - بَ)/[0.3186 جتا(أ + ب)/2 ]

4 /[جا(أ + ب)/2] = 3 /[0.3186 ]

جا(أ + ب)/2 = 4 * [0.3186 ]/ 3 = 0.4248
جتا(أ + ب)/2 = 0.9052


جاأ - جاب = 2 جتا(أ + ب)/2 * جا(أ - ب)/2 = 0.3186 جتا(أ + ب)/2 = 0.3186 * 0.9052 = 0.2844


جاأ + جاب = 2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ - ب)/2 = 1.9744 جا(أ + ب)/2 = 1.9744 * 0.4248 = 0.8387


(أَ - بَ)/(جاأ - جاب) = (أَ + بَ)/(جاأ + جاب)
3/0.2844 = (أ + ب)/0.8387

(أ + ب) = 3*0.8387 /0.2844 = 8.8470
(أَ - بَ) = 3

أَ = 5.9235 = 6 سم تقريبا
بَ = 3 سم

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

في أي مثلث أ ب جـ

إثبت أن : جا ( أ/2 ) جتا ( ب/2 ) = [ ( ح - ب َ ) / جـ َ ] × جتا ( جـ / 2 )



أَ/جاأ = بَ/جاب = جَ/جاج
أَ = جَ*جاأ/جاج
بَ = جَ*جاب/جاج

جاج = جا[180 - (أ + ب)] = جا(أ + ب) = 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2

جاج/2 = جتا(90 - ج/2) = جتا(أ + ب)/2

ح = 1/2*(أَ + بَ + جَ)
(ح - بَ) = 1/2*( أَ - بَ + جَ )

[(ح - بَ)*جتاج/2] / جَ = [1/2*( أَ - بَ + جَ )/ جَ]*جتاج/2

= 1/2*]*جتاج/2 *[(جَ*جاأ/جاج) - (جَ*جاب/جاج) + جَ]/ جَ]

= 1/2*[(جتاج/2)/جاج] [ جاأ - جاب + جاج ]

= 1/2*[جتاج/2 /(2جاج/2 جتاج/2] [(جاأ - جاب) + جاج]

= 1/2*1/2*(1/جاج/2) * [(2جتا(أ + ب)/2 جا(أ - ب)/2 ) + 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2]

= 1/2*[جا(أ - ب)/2 + جتا(أ + ب)/2 ]

= 1/2*[2جاأ/2 جتاب/2 ] = جاأ/2 جتاب/2

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

حل المعادلة :

جتا5 هـ + جتاهـ = 2 جتا 2 هـ

في الدورة الأولي


جتا(3هـ + 2هـ) + جتا(3هـ - 2هـ) = 2*جتا2هـ

جتا3هـ جتا2هـ - جا3هـ جا2هـ + جتا3هـ جتا2هـ + جا3هـ جا2هـ = 2 جتا2هـ

2 جتا3هـ جتا2هـ - 2 جتا2هـ = 0

جتا2هـ (جتا3هـ - 1) = 0

جتا2هـ = 0 ـــــــــــ 2 هـ = ط/2 ــــــــــ هـ = ط/4

ـــــــــــــــــــــ 2 هـ = 3ط/2 ــــــــــ هـ = 3ط/4

أو

جتا3هـ = 1 ــــــــــ 3 هـ = 0 ـــــــــــــ هـ = 0

ــــــــــــــــــــ 3 هـ = 2 ط ــــــــــــ هـ = ط

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

حل المعادلة :

جاس + جا3 س = جتاس + جتا 3 س

في الدورة الأولي


جاس = جا(2 س - س) = جا2 س جتاس - جتا2 س جاس
جا3 س = جا(2 س + س) = جا2 س جتاس + جتا2 س جاس

جاس + جا3 س = 2 جا2 س جتاس ... ... ... (1)

جتاس = جتا(2 س - س) = جتا2 س جتاس + جا2 س جاس
جتا3 س = جتا(2 س + س) = جتا2 س جتاس + جا2 س جاس

جتاس + جتا 3 س = 2 جتا2 س جتاس ... ... ... (2)

2 جا2 س جتاس = 2 جتا2 س جتاس

جتاس (جا2 س - جتا2 س) = 0

جتاس = 0 ـــــــــــــــــــ س = ط/2 أو 3ط/2

أو

جا2 س = جتا2 س
ظا2 س = 1 ــــــــــــ 2 س = ط/4 ـــــــــــ س = ط/8

ــــــــــــــــــــــ 2 س = 5ط/4 ـــــــــ س = 5ط/8

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

حل نظام المعادلات التالية

ر = أ جتا هـ ========> ( 1 )

ر = أ جا2 هـ =========> ( 2 )


جتاهـ = جا2 هـ = 2 جاهـ جتاهـ

جتاهـ ( 1 - 2 جاهـ) = 0

جتاهـ = 0 ــــــــــــــــ هـ = ط/2 ، 3 ط/2 ، ...

أو

2 جاهـ = 1
جاهـ = 1/2 ــــــــــــــ هـ = ط/6 ، 5 ط/6

عند هـ = ط/2
جتاهـ = جتاط/2 = 0 ، جا2 هـ = جاط = 0
ــــــ ر = 0

عند هـ = 3 ط/2
جتاهـ = جتا3 ط/2 = 0 ، جا2 هـ = جا6 ط/2 = جا ط = 0
ــــــ ر = 0

عند هـ = ط/6
جتاهـ = جتاط/6 = جتا30 = جذر3 /2
جا2 هـ = حاط/3 = جا60 = جذر3 /2
ــــــ ر = أ*جذر3 /2

عند هـ = 5 ط/6
جتاهـ = جتا5 ط/6 = جتا150 = - جتا30 = - جذر3 /2
جا2هـ = جا10 ط/6 = جا300 = - جا60 = - جذر3 /2
ــــــ ر = - أ*جذر3 /2

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

أثبت أن زوايا اي مثلث أ ب جـ تحقق العباره

جتا^2 أ + جتا^2 ب + جتا^2 جـ = 1 - 2 جتا أ جتا ب جتا جـ



أ + ب + ج = 180

جتاأ = - جتا(ب + ج) = - [جتاب جتاج - جاب جاج)

جتا^2أ = جتا^2ب*جتا^2ج + جا^2ب*جا^2ج - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= جتا^ب جتا^2ج + (1 - جتا^2ب)(1 - جتا^ج) - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= 2 جتا^2ب جتا^2ج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1 - 2*جتاب جتاج*جاب جاج
= 2 جتاب جتاج [جتاب جتاج - جاب جاج] - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
= 2 جتاب جتاج *جتا(ب + ج) - جتا^2ب - جتا^2ج + 1
= - 2 جتاأ جتاب جتاج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1

جتا^2 أ + جتا^2 ب + جتا^2 جـ =
= - 2 جتاأ جتاب جتاج - جتا^2ب - جتا^2ج + 1 + جتا^2 ب + جتا^2 جـ
= 1 - 2 جتاأ جتاب جتاج

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

1/جا2س = جاس/جاس جا2س = جا(2س - س) / جاس جا2س

= [جا2س جتاس - جتا2س جاس] / جاس جا2س

= جتاس/جاس - جتا2س/جا2س = ظتاس - ظتا2س


1/جا2س + 1/جا4س + 1/جا8س + ... + 1/جا(2^ن)س =
= (ظتاس - ظتا2س) + (ظتا2س - ظتا4س) + (ظتا4س - ظتا8س) + .... + (ظتا2^(ن - 2) س - ظتا2^(ن - 1) س) + (ظتا2^(ن - 1) س - ظتا2^ن س)
= ظتاس - ظتا2^ن س

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

أوجد مجموع المتسلسلة :
جاهـ - جا(هـ + س) + جا(هـ + 2س) + جا(هـ + 3س) + ... الى ن حدا

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

أوجد مجموع المتسلسلة :
جتاهـ - جتا ( س + هـ ) + جتا ( 2 س + هـ ) + جتا ( 3 س + هـ ) + ............... الي ن حدا ً

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

اثبت ان
جا 1(جا 1 +جا 3 +.......+جا97+جا 99)=(جا 50)^2

تمهيد :

جتاج – جتاد = - 2* جا[(ج + د)/2] * جا[(ج – د)/2]
نفرض أن : (ج + د)/2 = ل ، (ج – د)/2 = ع
- 2 جال جاع = جتا (ل + ع) – جتا(ل – ع)
2 جال جاع = جتا (ل – ع) – جتا (ل + ع)

خطوات حل التمرين :

جا 1 +جا 3 +.......+جا97+جا 99)=(جا 50)^2

متسلسلة مثلثية ، زواياها فى تتابع حسابى

الحد الأول أ = 1 ، الأساس د = 2 ، عدد الحدود ن = 50 ، المجموع = ج

ج = جاأ + جا(أ + د) + جا(أ + 2د) + ... + جا(أ + (ن - 1)د)

بالضرب × 2*جا(د/2)

2*جا(د/2)*ج = 2*جا(د/2)*جاأ + 2*جا(د/2)*جا(أ + د) + 2*جا(د/2)*جا(أ + 2د) + ... + *جا(د/2)*جا(أ + (ن - 1)د)

2*جا(د/2)*جاأ = جتا(أ - د/2) - جتا(أ + د/2)
2*جا(د/2)*جا(أ + د) = جتا(أ + د/2) - جتا(أ + 3د/2)
2*جا(د/2)*جا(أ + 2د) = جتا(أ + 3د/2) - جتا(أ + 5د/2)
... ... ...
2*جا(د/2)*جا(أ + (ن - 2)د) = جتا(أ + (ن - 5/2)د) - جتا((أ + (ن - 3/2)د)
2*جا(د/2)*جا(أ + (ن - 1)د) = جتا(أ + (ن - 3/2)د) - جتا(أ + (ن - 1/2)د)

2*جا(د/2)*ج = جتا(أ - د/2) - جتا(أ + (ن - 1/2)د) = 2*جا(أ + (ن - 1)د/2)*جا(ن د/2)

بالتعويض عن قيم أ ، د ، ن

جا(1)* ج = جا(1 + (50 - 1)*2/2) * جا(50*2/2) = (جا(50))^2

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

نضرب ونقسم المقدار بالقيمة :

[جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]


البسط = (جاط/15 جتاط/15)(جا2ط/15 جتا2ط/15)(جا3ط/15 جتا3ط/15)(جا4ط/15 جتا4ط/15)(جا5ط/15 جتا5ط/15)(جا6ط/15 جتا6ط/15)(جا7ط/15 جتا7ط/15)

= (1/2)^7 [جا2ط/15*جا4ط/15*جا6ط/15][جا8ط/15*جا10ط/15*جا12ط/15*جا14ط/15]

وحيث :

جا8ط/15 = جا7ط/15
جا10ط/15 = جا5ط/15
جا12ط/15 = جا3ط/15
جا14ط/15 = جاط/15

البسط = (1/2)^7*[جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]

وحيث أن المقام = [جاط/15*جا2ط/15*جا3ط/15*جا4ط/15*جا5ط/15*جا6ط/15*جا7ط/15]

المقدار = (1/2)^7 = 1/128

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

ضع في أبسط صورة :
جتاس جتا2 س جتا 3 س

ثم أحسب قيمة : جتا ( ط/7 ) جتا ( 2ط/7 ) جتا( 4 ط/ 7 )


نستخدم المتطابقتين التاليتين :
جا2هـ = 2 جاهـ جتاهـ
جاهـ + جاو = 1/2*[جا(هـ + و)/2 . جتا(هـ - و)/2

جتاس جتا2 س جتا 3 س = جتاس جتا2 س جتا 3 س × جاس/جاس

= 1/2*جا2س .جتا2س جتا3س / جاس
= 1/4*جا4س .جتا3س / جاس
= 1/4*[جا(7 + 1)س/2 . جتا(7 - 1)س/2]/جاس
= 1/4*1/2 [جا7س + جاس]/جاس
= 1/8*[جا7س + جاس]/جاس
= 1/8*[جا7س/جاس + 1]

جا( ط/7 ) جتا( 2ط/7 ) جتا( 4 ط/ 7 ) = 1/8*[جا(7ط/7)/جا(ط/7) + 1)
= 1/8*[جاط/جا(ط/7) + 1] = 1/8*[0 + 1] = 1/8

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين
 

رد: مسائل وحلول - حساب مثلثات للفائقين