ملتقى الفيزيائيين العرب - مسائل وحلول

ملتقى الفيزيائيين العرب (http://www.phys4arab.net/vb/index.php)

- منتدى الرياضيات. (http://www.phys4arab.net/vb/forumdisplay.php?f=74)

- - مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين (http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=49302)

مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

مسائل وحلول

هندسة مستوية للفائقين

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

أثبت أن أصغر متوسطات المثلث هو الذى ينصف أكبر أضلاعه

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35157.jpg

نفرض أن الضلع ب ج هو الضلع الأكبر

ومنتصفات الأضلاع كما بالشكل : أ د ، ب هـ ، ج و

باستخدام نظرية أبولونيوس :

2*(أ د)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 1/2*(ب ج)^2
2*(ب هـ)^2 = (أ ب)^2 + (ب ج)^2 - 1/2*(أ ج)^2
2*(ج و)^2 = (أ ج)^2 + (ب ج)^2 - 1/2*(أ ب)^2

(ب هـ)^2 - (أ د)^2 = 3/2*[(ب ج)^2 - (أ ج)^2]

وحيث ب ج > أ ج
[(ب هـ)^2 - (أ د)^2] > 0
أ د < ب هـ

(ج و)^2 - (أ د)^2 = 3/2*[(ب ج)^2 - (أ ب)^2]

وحيث ب ج > أ ب
(ج و)^2 - (أ د)^2 > 0
أ د < ج و

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

دائرة نصف قطرها 1سم وبها اربعة اوتار متقاطعة مثنى مثنى لتكون ما بينها مربعا مساحتة 1سم2
احسب مساحة القطع الباقية

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35158.jpg

مساحة القطعة الدائرية المحصورة بين الوتر ج د والقوس الدائرى = 1/2*(1)^2 [ط/3 - جاط/3] = ط/6 - جذر3 /4

مساحة القطعة أ ج د ب = مساعة القطعة الدائرية + مساحة المستطيل = [ط/6 - جذر3 /4] + [ 1* (جذر3 /2 - 1/2)]
= ط/6 + جذر3 /4 - 1/2

مساحة القطعة الدائرية المحصورة بين الوتر د و والقوس الدائرى = 1/2 * (1)^2 [ط/6 - جاط/6] = ط/12 - 1/4

مساحة القطعة ب د و = مساحة القطعة الدائرية + مساحة المثلث = [ط/12 - 1/4] + [ 1/2*(جذر3 /2 - 1/2)^2]
= ط/12 - جذر3 /4 + 1/4

حيث أن القطعة أ ج د ب مطابقة لثلاث قطع آخرين - كما بالشكل
وكذلك القطعة ب د و مطابقة لثلاث قطع آخرين - كما بالشكل

إجمالى مساحات القطع الثمانى = 4*[ مساحة القطعة أ ج د ب + مساحة القطعة ب د و ]
= 4*[ ط/6 + جذر3 /4 - 1/2 + ط/12 - جذر3 /4 + 1/4 ]
= ط - 1

للتحقق :

مساحة الدائرة = ط نق^2 = ط سم^2
مساحة المربع = 1 سم^2

إجمالى مساحات القطع = مساحة الدائرة - مساحة المربع = ط - 1

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/...bisectors2.JPG

زاوية ب أ د = زاوية ج أ د
زاوية ب أ د = زاوية ب ج د ( زاويتان محيطيتان على الوتر ب د )
فى المثلث د ب ج : زاوية ب = زاوية ج ... ... د ب = د ج

زاوية و ج د = زاوية هـ ج ب + زاوية ب ج د
زاوية هـ ج ب = زاوية هـ أ ب ( محيطيتان على الوتر ب هـ )
زاوية ب ج د = زاوية ب أ د = زاوية د أ ج
زاوية هـ و أ خارجة عن المثلث أ و ج = زاوية و أ ج + زاوية و ج أ = زاوية و ج د
زاوية هـ و أ = زاوية ج و د ( بالتقابل بالرأس )
زاوية ج و د = زاوية و ج د
د و = د ج
إذن : د ب = د ج = د و

وبنفس الطريقة يمكن إثبات بقية المطلوب

والرسم عاليه يوضح الزوايا المتساوية

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/...bisectors3.JPG

د ب = د ج ... ... زاوية د ب ج = زاوية د ج أ
زاوية د ب ج = زاوية د أ ج ( محيطيتان على الوتر د ج )
زاوية ب ج د = زاوية د أ ب ( محيطيتان على الوتر د ب )
إذن : زاوية د أ ج = زاوية د أ ب ... ... أ د منصف زاوية أ بالمثلث أ ب ج

وبنفس الطريقة يمكن إثبات بقية المطلوب

والرسم عاليه يوضح الزوايا المتساوية

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

أ د ، ب هـ ، ج و منصفات زوايا فى المثلث أ ب ج

اثبت أن : مجموع أطوال المنصفات أكبر من محيط المثلث

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/...bisectors4.JPG

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

ا ب ج د شبه منحرف فيه
اب =50
ج د =160
ا ب \\ ج د
مساحة ا م د =2000 حيث م نقطة تقاطع قطريه

اوجد مساحة شبه المنحرف

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35281.jpg

مساحة شبه المنحرف = (50 + 160)/2 * ع

= مساحة المثلث أ ب ج + مساحة المثلث أ م د + مساحة المثلث م ج د
= 50/2 *ع + 2000 + 160/2 *( ع - ع1)

مساحة المثلث أ ب ج = مساحة المثلث أ ب د = مساحة المثلث أ ب م + 2000
50/2 *ع = 50/2 *ع1 + 2000
ع - ع1 = 80

(50 + 160)/2 *ع = 50/2 *ع + 2000 + 160/2 *80
ع = 105

مساحة شبه المنحرف = 210/2 *105 = 11025

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

اثبت أن نصف قطر الدائرة المماسة لأضلاع المثلث من الخارج = مساحة المثلث / ( ح - أَ)

حيث ح = نصف محيط المثلث ،
أِ = طول ضلع المثلث المماس للدائرة وليس امتداده ( كما بالشكل )

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35451.jpg

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

اثبت أن نصف قطر الدائرة الداخلة للمثلث = مساحة المثلث / نصف محيط المثلث

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35452.jpg

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

اثبت أن :

محيط مثلث المواقع د و هـ = 8 * مربع مساحة المثلث الأصلى أ ب ج ÷ أَ*بَ*جَ

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35734.jpg
http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35752.jpg

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35882.jpg
http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35883.jpg

تصحيح :

قياس زاوية ج م أ = 2 * قياس زاوية ج ب أ وليس زاوية ج أ ب

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

دائرة طول نصف قطرها 1
وضع حولها 9 دوائر انصاف اقطارها 1\2
متماسه مثنى مثنى
وتمس جميعها الدائرة الكبري
اوجد البعد بين مركزي اخر دائرتين ( وهما لن يتماسا)

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35887.jpg

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

(د1) و (د2) دائرتان مركزاهما على التوالي أ وَ ب
نفترض ان (د1) و (د2) تتقاطعان في نقطتين مختلفتين ع وَ ص .
لتكن س نقطة تقاطع الدائرة (د2) مع المستقيم (أ ص ) وَ ق نقطة تقاطع الدائرة (د1) مع المستقيم (ب ص)
المستقيم المار من ص وَ الموازي للمستقيم (س ق) يقطع الدائرة (د1) في النقطة م ويقطع الدائرة (د2) في ن

بين أن :

م ن = ع س + ع ق

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36913.jpg

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

تساؤل من أحد مدرسى الرياضيات وجوابى على تساؤله

لي ملاحظة بسيطة

هناك احتمال ان تكون النقطة و على امتداد القطعة د ج
اى ربما تقع خارج المثلث ايضا

وبمعنى اخر كيف نتاكد ان الزاوية د ب ج يمكن ان تشمل 20 درجة

ممكن ان تكون 10 درجات مثلا

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بورك فيك الأستاذ ...

نعم ، يمكن ذلك فى حالة زاوية أ ج ب منفرجة
ولكن معطيات التمرين بتحديد الزوايا المناظرة للمستقيمات الواصلة من رؤوس المثلث أ ب ج وتتقابل فى نقطة واحدة تحدد أن زاوية أ ج ب حادة - كما سيأتى فى التحليل لمعطيات التمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/1975/37725.jpg
http://www.al3ez.net/upload/b/emam_e39.JPG

بتحليل نسب أطوال المستقيمات الواصلة من رؤوس المثلث أ ب ج وتتقاطع فى نقطة واحد ( د )

فى المثلث أ د ج :
المستقيم ج د يقابل زاوية ج أ د = 40 درجة
المستقيم أ د يقابل زاوية أ ج د = 30 درجة
إذن :
المستقيم ج د > المستقيم أ د ... ... ... ... (1)

فى المثلث أ د ب :
المستقيم أ د يقابل زاوية أ ب د = 20 درجة
المستقيم ب د يقابل زاوية ب أ د = 10 درجات
إذن :
المستقيم أ د > المستقيم ب د ... ... ... ... (2)

من (1) ، (2)
المستقيم ج د > المستقيم ب د

زاوية أ د ج = 180 - ( 40 + 30) = 110 درجة
زاوية أ د ب = 180 - ( 10 + 20 )= 150 درجة
إذن :
زاوية ب د ج = 360 - (110 + 150) = 100 درجة

فى المثلث ب د ج :
زاوية ب د ج = 100 درجة
زاوية د ب ج + زاوية ج د ب = 180 - 100 = 80 درجة
وحيث :
المستقيم ج د > المستقيم ب د
فتكون :
زاوية د ب ج > زاوية د ج ب
إذن :
زاوية د ب ج > 80 ÷ 2
زاوية د ب ج > 40 درجة

تنويه :

وبهذا يلزم أن تكون زاوية أ ج ب حادة
حيث تساوى = زاوية أ ج د + زاوية د ج ب
وزاوية أ ج د = 30 درجة من معطيات التمرين
وزاوية د ج ب < 40 درجة من التحليل السابق

وأرجو أن يكون التحليل قد استوفى الجواب

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين

ب ج د و خماسى منتظم
طول ضلعه س
طول قطره ص
اثبت ان
(ص\س) -(س\ص)=1

http://up.arabsgate.com/u/1524/1975/37762.jpg

تنويه :

استخدامى لخصائص المثلثات المتشابهة فى الشكل الرباعى الدائرى تصلح لاثبات نظرية بطليموس - Ptolemy's theorem - بخصوص الشكل الرباعى الدائرى ، والتى تنص على :

فى الشكل الرباعى الدائرى يكون :

حاصل ضرب قطريه = مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة

وإذا قمنا بتطبيق النظرية بالتمرين المعروض :

أ ب ج و رباعى دائرى

(أ ج)*(ب و) = (أ ب)*(ج و) + (ب ج)*(أ و)

وحيث :
(أ ب) = (ب ج) = (أ و) = س
(أ ج) = (ب و) = (ج و) = ص

ص^2 = س*ص + س^2

بالقسمة لكلا طرفى المتساوية ÷ س*ص

ص / س = 1 + س / ص

ص / س - س / ص = 1

رد: مسائل وحلول - هندسة مستوية للفائقين