طرق العد
 

طرق العد

سأحاول أن أتناول هنا شرح بعض طرق العد البسيطة و التي قد نحتاجها في بعض دراستنا أو في الحياة
أول هذه المبادئ

نظرية:
إذا تكونت عملية ما من خطوتين ،الأولى يمكن إجراؤها بعدد m من الطرق و الثانية بعدد n من الطرق، فإن العملية بأكملها قد تتم بعدد mn طريقة

و هذه يعتبر من أبسط القواعد و غالبا ما نطبقها بدون الانتباه لذلك فمثلا عندما نرمي قطعة نقد مرتين نقول أن هناك 4 إمكانات مختلفة لظهور الصورة و الكتابة في المرتين،

و كذلك الأمر لو أردنا اختيار رقمين من الأرقام العشرة بدون قيود فإن هناك 10x 10 =100 طريقة لظهور العدد الأول و الثاني مرتين.


حسنا ماذا لو أردنا اختيار رقمين مختلفين سيكون لدينا 10x9=90 طريقة للرقمين الأول و التاني.
و هذه النتائج يعبر عنها على شكل أزواج مرتبة

فمثلا في التجارب السابقة الإمكانات يمكن كتابتها
1- { (ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ص)، (ك،ك) }.
2- { (0،0)، (0،1)،(2،0)،(0،3)،...،
(0،1)، (1،1)،(2،1)،(3،1)،...،
....(10،10)}
3- { (0،1)،(1،0)،(0،2)، (2،0)، (0،3)،...،(10،9)}


حسنا ماذا لو رمينا قطعتي نقد مختلفتين هل سيختلف عدد الإمكانات عما حسبناه من إلقاء قطعة نقد واحدة مرتين
بالطبع لا ، سيظل عدد الإمكانات بالطبع أربعة


هذه النقطة مهمة جدا لأننا في هذه الحالة أمامنا عملية تتكون من خطوة واحدة و لكني جزأت تلك الخطوة لأجزاء سهلت علي عملية الحساب ، و هذا ما يحدث في الواقع، فالعمليات في غالبية المسائل ليست على خطوات و لكني أتخيل أن العملية تتم على مراحل و هنا يجب توخي الحذر بأن العملية الناشئة و العملية الأساسية لها بالفعل نفس عدد الامكانات.

لفهم ذلك تخيل
لو أن كانت قطعتي النقد في المثال السابق كانت متشابهة و رميت مرة واحدة هل سيختلف الجواب؟
ما رأيك؟
......................


إذن القاعدة في منتهى السهولة
و لكن مهلا
يجب أن ننتبه أن هذه القاعدة حينما تستخدم فإنها تعطينا النواتج مرتبة فمثلا عند اختيار رقمين فإن الامكانية 3،7 تختلف عن 7،3
و في القاء قطعة النقد مرتين ظهور صورة مرة واحدة يقابله إمكانيتين و ليس واحدة، ما هما؟


إذن لا تنفع هذه الطريقة لحساب عدد طرق اختيار 4 طلاب من عشرين طالب لتمثيل المدرسة في مسابقة ما،
كيف يمكن فعل ذلك؟ سنرى هذا فيما بعد و لكن بعد أن نفهم قاعدتنا الأولى فهما جيدا


ستقول القاعدة صارت واضحة الآن
لنر ذلك
بكم طريقة يمكنك اختيار الجامعة و التخصص لطالب أنهى الثانوية العامة ، أمامه أربع جامعات و في كل منها 5 تخصصات متاحة؟
.............................

بكم طريقة يمكنك أن تدرس 4 ساعات على الأكثر في يومين؟ هل يمكن تطبيق القاعدة و لماذا؟

حسنا
إذا فهمنا القاعدة جيدا يمكن ببساطة أن نعممها
إذا كانت العملية تتم بعدد من الخطوات K و كانت الخطوة الأولى يمكن إجراؤها بعدد m1 طريقة و الثانية بعدد m2 طريقة و هكذا و الأخيرة بعدد mk طريقة فإن العملية بأكملها يمكن إجراؤها بعدد
m1 x m2 x …mk
طريقة مختلفة
بمعنى أن الطالب إذا كان بإمكانه بعد إكماله الجامعة أن يكمل دراساته العليا و متاح أمامه 3 تخصصات بكم طريقة تتم العملية كلها؟


تعليق
كما أوضحت سابقا هذه القاعدة بسيطة جدا و نحن نطبقها غالبا بصورة بديهيية و لكن وضعها في صورة نظرية يسهل علينا تأطير العلم و تفسير كل شيء له علاقة بطرق العد من نقطة الانطلاق تلك

و من ناحية أخرى هناك أسئلة كثيرة ليست سوى تطبيق سهل للنظرية و لكن يغيب ذلك عن بالنا
فما رأيكم بهذا السؤال الآن
بكم طريقة يمكن الاجابة بطريق عشوائية على اختبار يتكون من عشرين سؤال (صح و خطأ)؟
و بكم طريقة يمكن الاجابة عليها كلها بطريقة صحيحة؟

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
الأخت هوائية .
موضوع رائع جدا ً ، ويا ليتنا نكثر من مواضيع الرياضيات التطبيقية فى هذا المنتدى .
وسبحان الله ، لقد كنت أفكر فى أن أعد موضوعا ً عن أهم نظريات الإقتصاد وهى نظرية جون ناش للتوازن Nash Equilibrium
بارك الله فيك .
والسلام .

رد: طرق العد
 

رد: طرق العد
 

أخي
ثانوية الملك عبدالعزيز
يشرفني وجودك معنا ، و يسعدني متابعتك لنا في هذا الموضوع
شكرا لك بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

أخي أينشتين
أشكرك على تشجيعك و أتمنى أن أكون عند حسن ظنك
أخي نظرا لأن عملي متعلق أكثر بالرياضيات البحتة فقد توخيت الجوانب التي قد تطبق في الفيزياء أو في الحياة لأحاول شرحها. و سأترقب موضوعك بفارغ الصبر لأستزيد منه، و يسعدني كثيرا أن ترشدني للمواضع التي يمكن أن أفيد فيها بقدر استطاعتي.
لك خالص الشكر و التقدير بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

أخي البالود
آسفة أن الأمور بدت غير واضحة لدرجة كهربت رأسك
و الذي لا يدل إلا على اهتمام أنا له شاكرة .

يبدو أن الطبخة في رأسي ( كالعادة ) لم تكن على نار هادئة
على كل حال أنا مستاءة من طريقة الكتابة ، أكتب شيء و فجأة ينقلب رأسا على عقب و لكن ليس هذا السبب الرئيس،

حسنا لنقل
حسنا ماذا لو أردنا اختيار رقمين مختلفين سيكون لدينا 10 x9=90 طريقة للرقمين الأول و التاني.

لنوضح الكل من خلال هذا المثال
لمعرفة عدد الطرق لاختيار رقمين مختلفين (على أن يكون الترتيب مهم) سيكون عندنا خطوتين الأولى اختيار العدد الأول و أمامنا عشرة اختيارات {0،1،2،3،4،5،6،7،8،9}
الآن لاختيار العدد الثاني أمامي 9 خيارات لأني بالتأكيد سأختار أي من الأرقام العشرة فيما عدا العدد الذي اخترته في الخطوة الأولى.
و علي فإن العملية ستتم في 9 10x طريقة و ذلك لأن كل عدد مختار في الخطوة الأولى سيكون هناك تسع خيارات متاحة له في الخطوة الثانية و عليه يصبح مجموع الإمكانات الكلي 90 إمكانية



و هذه النتائج يعبر عنها على شكل أزواج مرتبة

فمثلا في التجارب السابقة الإمكانات يمكن كتابتها
1- تجربة القاء قطعتي نقد حيث ترمز ص إلى صورة و ك إلى ظهور كتابة و المسقط الأول يحدد ما يحدث في الامكانية الأولى و المسقط الثاني يحدد ما يحدث في الامكانية الثانية
الامكانات هي { (ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ص)، (ك،ك) }.


2- تجربة اختيار رقمين مع مراعاة الترتيب
الامكانات هي { (0،0)، (0،1)،(2،0)،(0،3)،...،
(0،1)، (1،1)،(2،1)،(3،1)،...،
.
.
.
....(10،10) }


3- تجربة اختيار رقمين مختلفين مع مراعاة الترتيب
الامكانات هي { (0،1) ،(0،2) ، (0،3)،...(0،10)
(1،0) ،(1،2)، (1،3)،...،(1،10)
.
.
.
...،(10،9)}



هل هكذا تكون الأمور أكثر وضوحا
أرجو أن تحدد لي أكثر أول نقطة غير واضحة
و لا زلت أنتطر رأيكم بالأسئلة المطروحة
تسعدني كثيرا متابعتك بارك الله فيك

رد: طرق العد
 

آسفة يبدو أن مشكلة تبدل الأرقام من أرقام عربية إلى انجليزية
و تغيير موقعها لن تنتهي
و لكن إن انتبهنا أن في عدد الامكانات لا توجد امكانات متشابهة و إن وجدت فواحدة منها يفترض أن تكون المسقط الأول هو الثاني و العكس بالعكس،
لا أعلم لماذا يحدث هذا

رد: طرق العد
 

بارك الله فيك

رد: طرق العد