مجاميع مثلثية!
 

نعلم جميعا وجود صيغ لمجاميع خاصة مثل:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...rac{n(n+1)}{2}

http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...n+1)(2n+1)}{6}

صيغة السؤال:

نريد أن نستحث أفكار لصيغة خاصة لمجموع نسبة مثلثية معينة أو مربعها ولنقل للتسهيل أنها دالة sin (جا) أي أننا نريد ايجاد صيغة عامة لمجاميع مثل:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu..._{k=1}^{n}sink

http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...k=1}^{n}sin^2k

يمكننا القول بأن هذا السؤال عبارة عن مشروع "بحثي" أتمنا أن نجد فيه المتعة والفائدة (لم أستطع ايجاد صيغة حتى الآن لكني سأحاول ) بالتوفيق:a_plain111:

رد: مجاميع مثلثية!
 

اخي مهند افكارك حلوة وعجبتني كتير ولكن اريد ان اسالك واقول ( حبة حبة ياعلام )
هل فكرت بان توجد برهان رياضي غير تقليدي للعلاقة


[BIMG]http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/BIMG]

رد: مجاميع مثلثية!
 

الحقيقة أخي عقروب لم أعرف برهان لهذا القانون سوى بالاستقراء الرياضي المعروف واذا أردت سأضعه فورا لكن سأحاول برهانها باستخدام خواص رمز المجموع لكن لا تنسى سؤالنا الأساسي! حتى مجرد طرح فكرة شيئ مثمر وفعال.

رد: مجاميع مثلثية!
 

معك حق اخي مهند طرح الفكرة شيى جميل وهذا ينم عن محبتك للرياضيات
في الحقيقة سألتك هذا السؤال لاني عندما كنت في نفس عمرك او اكبر من عمرك بسنة حاولت ان اوجد البرهان لمجموع المربعات ولكنني فشلت ولم احاول مرة ثانية حتى بعد دخولي الجامعة حيث ان اختصاصي الجامعي لادخل له من قريب ولا من بعيد في استنتاج القوانين الرياضية ولكن على ما اذكر تمكنت من ان اوجد علاقة بين مجموع المربعات ومجموع المكعبات او غير ذلك لا اذكر بالضبط
بالتوفيق اخي مهند

رد: مجاميع مثلثية!
 

أين المبدعون؟

لدي فكرة تحتاج لاتمام ، نعلم أنه للزوايا فوق الـ90 درجة هناك ما يعرف بصيغ الاختزال ، هل يمكن استخدام الصيغ لتبسيط المجاميع فوق ال90 درجة الى دوال الزوايا الحادة مع ابقاء اشارة الربع الذي تتواجد فيه الزاوية؟ مع العلم أني أقصد القيم الصحيحة غير الكسرية للزوايا.

رد: مجاميع مثلثية!
 

عفوا أخي مهند
و لكن هذا السؤال ليس سهل مطلقا

و يحتاج بعض التوضيح
ربما كانت المشاركة الأخيرة توضحها
ذلك أن الزاوية تقاس بالتقدير الستيني
لأنها إذا كانت تقاس بالتقدير الدائري فهذا يعني أننا لن نرجع لنفس النقطة قبل أن نصل المالانهاية

و لكن حتى بالتقدير الستيني المسألة ليست سهلة إلا إذا كنت تقصد أن نوجد المجموع بدلالة ال 90 حدا الأولى


إو إذا كان عدد العناصر يمكن كتابته بدلالة العدد 90

؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

رد: مجاميع مثلثية!
 

صحيح أستاذة تغريد لو كان الموضوع بسيطا لما طرحته أصلا هنا ! ، لكنني واثق جدا بفكرتي الأخيرة وللتسهيل سأحاول اعتبار الحد الأعلى للمجموع 360درجة

رد: مجاميع مثلثية!
 

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...i=1}^{360}sinx

والصيغة الثانية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...1}^{360}sin^2x

رد: مجاميع مثلثية!
 

دعنى اُعطيك تلميح ربما يساعدك فى ايجاد الحل

اكتب جيب الزاوية بدلالة العدد المركب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}-e^{-ik}}{2i}
وهكذا فان المجموع يمكن كتابته بدلالة الفرق بين متواليتين هندسيتين
سوف تحصل فى الاخر على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...1))}{2\cos1-2}

الان اختبر ما اذا كان المجموع صحيح لعدد حدود n يساوى 89 ام لا؟ وما هى قيمة n التى تجعل المجموع يساوى صفراً؟
والله اعلم

رد: مجاميع مثلثية!
 

فكرة رائعة جدا أخي الصادق

و أود أن أنوه أن هذه الصيغة لجيب الزاوية معطاة بالتقدير الدائري
لذا إذا أردنا التعامل مع التقدير الستيني يجب التحويل للتقدير الدائري بضرب k في العدد pi مقسوما على 180