|
مفاهيم اساسية فى الجبر
وحدات البناء الاساسية ]1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً. .................................................. .................................................. ........................... 2-الزمرة Group : نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا: a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة http://latex.codecogs.com/gif.latex?......,g_n\in%20G b-عملية ثنائية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\otimes تسمى بعملية الضرب على الزمرة وتحققت الشروط : A1- الاغلاق Closure http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0g_j%20\in%20G A2-العملية التجميعية Associativity http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\otimes%20g_k A3-وجود عنصر محايد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1 http://latex.codecogs.com/gif.latex?...l%20g_i\in%20G A4- وجود معكوس وحيد لكل عنصر http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_\ell%20\in%20G يوجد معكوس وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k%20\in%20G يرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k=g_\ell^{-1} و بحيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20g_{\ell}=g_1 مثال(1): فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_3 لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3 اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(123) يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3 اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(213) يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(321) ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(132) يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1 http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(312) و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(231) هل يمكن اضافة عنصر آخر؟ اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?...times%20g_{12} . ما الذى يمكن استنتاجه؟ اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?...imes%20g_{132} . ماذا تستنتج؟ ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_4 مثال(2): فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي + العنصر المحايد هو الـ0 لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي العنصر المحايد هو الـ 1 لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{a} يمثل المعكوس الضربي سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟ مثال(4): فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?n%20\times%20n الغير شاذة http://latex.codecogs.com/gif.latex?Gl(n) تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية http://latex.codecogs.com/gif.latex?...g_i,g_j\in%20G فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك) |
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
يسلموووووووووووووووووووووووا موضوع حلو
|
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
3-الحقل Field الحقل F هو a- الفئة http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_0,f_1,f_2,... b- وعمليتين هما الجمع (+) والضرب (.) التى تحقق الشروط التالية A- الفئة F عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع + عنصرها المحايد هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_0 اى انها تحققالشروط A1-5 B1- خاصية الاغلاق http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_if_j\in%20F B2- الخاصية التجميعية http://latex.codecogs.com/gif.latex?...k)=(f_if_j)f_k B3- العنصر المحايد http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_i1=1f_i=f_i B4- لكل عنصر باستثناء http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_0 يوجد معكوس http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0f_i\neq%20f_0 B5- قانون التوزيع Distribution law http://latex.codecogs.com/gif.latex?...if_j%20+f_jf_k مثال(5): الاعداد الحقيقية تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد الحقيقية (تأكد من تحقق شروط الحقل ) مثال(6): الاعداد المركبة يمكن كتابتها بالصورة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...d%20a,b\in%20R بحيث ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...1=i\\%20i.i=-1 تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد المركبة (تأكد من تحقق شروط الحقل ) مثال (7): الكوتيريونات Quaternions يمكن تمثيلها بالصورة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...d%20q_i\in%20R بحيث ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?..._3=\lambda_2\\ تمرين: برهن ان الكواتيريونات تشكل حقلاً. اذا حقق الحقل الخاصية التالية فاننا نقول عنه حقل ابدالي B6-الخاصية التبادلية http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_if_j=f_jf_i سؤال: هل يعتبر الحقل الكواتيريوني حقلاً ابدالية ؟ يتبع..... |
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
5-الجبر Algebra الجبر الخطي يتكون من a- فئة متجهات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...v_2,...\in%20V b- و حقل http://latex.codecogs.com/gif.latex?...f_2,...\in%20F مع ثلاثة عمليات هي: c- عملية الجمع (+) d- عملية الضرب القياسي e- الضرب المتجهي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boxed وتحقق الشروط A و B و C التالية: الشروط A: تحقق الشروط A1 و A2 و A3 و A4 و A5 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة) الشروط B: تحقق الشروط B1 و B2 و B3 و B4 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة) الشروط C: C1- الاغلاق تحت عملية الضرب المتجهي: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0v_2%20\in%20V C2- الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity http://latex.codecogs.com/gif.latex?...1\square%20v_3 من هنا نرى ان الجبر الخطي هو اضافة عملية ضرب متجهي على الفضاء الاتجاهي الخطي و عملية الضرب المتجهي ليس ضرورياً ان تحقق خواص الدمج و العنصر المحايد و المعكوس. و هناك انواع مختلفة من الجبرات (جمع جبر) التى يمكن الحصول عليها باضافة شروط اضافية اذا حقق الجبر الخطي خاصية اضافية مثل خاصية الدمج C3- خاصية الدمج http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\square%20v_3) فاننا نسمي الجبر حينها بالجبر الخطي الدمجي Associative linear algebra اذا كان للجبر الخطي محايد تحت عملية الضرب المتجهي C4- وجود محايد و هذا المحايد بشكل عام لا يساوي محايد عملية الجمع + او محايد عملية الضرب القياسى http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\mathbf{1}=v_1 فنسمي الجبر بالجبر الخطي الذى له محايد Linear algebra with identity يمكن ان تكون عملية الضرب المتجهي من ناحية ترتيب العناصر المضروبة عملية ابدالية او ضد ابدالية C4- خاصية التماثل وضد التماثل Symmetric/Antisymmetric تحت التبديل التماثل: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2\square%20v_1 ضد التماثل: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2\square%20v_1 و اخيراً يمكن ان يحقق الجبر الخطي خاصية الاشتقاق C5- خاصية الاشتقاق Derivative property http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\square%20v_3) |
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
امثلة على الجبرات مثال(11) فئة كل المصفوفات الحقيقية من النوع nXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات (+) و عملية الضرب القياسي فى الاعداد الحقيقية. والان اذا ارفقنا مع هذا الفضاء الاتجاهي عملية ثنائية اضافية تُعرف بعملية ضرب المصفوفات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...n}A_{ik}B_{kj} فان الفضاء الاتجاهي يصبح عبارة عن جبر خطي دمجي (طبعاُ نسبةً لان ضرب المصفوفات بطبيعة الحال يحقق خاصية الدمج) و العنصر المحايد لعملية الجمع هو الـ0 (المصفوفة الصفرية) والعنصر المحايد لعملية الضرب القياسي فى عدد حقيقي هو الـ1 والعنصر المحايد لعملية الضرب المتجهي (عملية ضرب المصفوفات) هو مصفوفة الوحدة I وهذا المثال يحقق كل شروط الجبر الخطي كما انه يحقق ايضاً الشروط C3 و C4 و لذلك نقول ان فئة المصفوفات الحقيقية تحت عمليات الجمع و الضرب القياسي بعدد حقيقي والضرب المتجهي (ضرب المصفوفات) تشكل جبر خطي دمجي له محايد Linear Associative algebra with identity مثال(12) فئة كل المصفوفات الحقيقية المتماثلة Symmetric (المصفوفات المتماثلة هى تلك المصفوفة التى تساوى منقولها transpose) اى التى تحقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20A^t=A هى عبارة عن عن فصاء خطي جزئي من الفضاء فى المثال السابق دعنا الان نتأكد ماذا كانت المصفوفات المتماثلة تمثل جبر خطي تحت عملية ضرب المصفوفات ام لا افترض ان A و B مصفوفات متماثلة اى ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,\quad%20B^t=B مما يعني انهما تنتميان لفئة المصفوفات المتماثلة الان ضرب المصفوفتين يعطي مصفوفة ليست بصورة عامة متماثلة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20A\square%20B اى لا تحقق شرط الاغلاق C1 للجبر الخطي ولكن معك ذلك توجد عملية ضرب متجهي اخرى تعرف بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...A,B]_{+}=AB+BA تحقق شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات المتماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي التماثلي المعرف بالقوس اعلاه البرهان: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=B^tA^t+A^tB^t ولما كانت المصفوفات Aو B الى فئة المصفوفات المتماثلة فانها تحقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,\quad%20B^t=B وعليه فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}=A\square%20B اذن فان ناتج الضرب التماثلي يمثل مصفوفة متماثلة و لذلك فانه ينتمي الى فئة المصفوفات المتماثلة مما يحقق شرط الاغلاق C1 تمرين: برهن ان عملية ضرب المصفوفات التماثُلي هذا يحقق الخاصية الثنائية- الخطية C2 مثال(13) فئة كل المصفوفات ضد المتماثلة Antisymmetric اى التى تحقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20A^t=-A غير مغلقة تحت عملية ضرب المصفوفات و لكن اذا عرفنا عملية ضرب مصفوفي ضد تماثلي على النحو التالىي http://latex.codecogs.com/gif.latex?...#91;A,B]=AB-BA فانها شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات الضد متماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي ضد التماثلي المعرف بالقوس اعلاه والذي يسمى بقوس التبادلية تمرين: برهن تحقق الشروط C1 و C2 ليس من العسير ان نبرهن ان هذا الجبر بصورة عامة ليس له عنصر محايد كما انه لا يحقق خاصية الدمج (اى لا يحقق الشروط C3 و C4) http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0B)\square%20C الان الجبر المُعرف بالضرب ضد التبادلي (علاقة التبادلية) يسمى بجبر ليي Lie Algebra و هذا الجبر يمثل حجر الاساس فى ميكانيكا الكم (حيث ان المؤثرات فى فضاء هيلبرت تحقق جبر ليي) و فى النظرية النسبية (حيث ان تحويلات لورنتز تمثل جبر جزئى من جبر بوينكاري Poincare' Algebra والذي هو عبارة عن جبر لليي ) بالاضافة لخصائص الجبر فان جبر ليي يحقق خاصية الاشتقاق C6 (برهن) اى ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...(A\square%20C) وهذه الخاصية تُعرف بخاصية الاشتقاق و تكتب بالصورة الشائعة التالية: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...C,[A,B]]=0 التى تسمى بمتطابقة جاكوبي Jacobi's Identity تم بحمد الله و توفيقه اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا ، وزدنا علماً |
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
اقتباس:
|
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
أشكرك أخي الكريم الصادق لإدراجك الموضوع الهام هنا و الذي يمثل قاعدة مهمة جدا لبناء صرح الرياضيات بما فيها من مفاهيم مهمة جدا مثل مفهوم الزمرة و الحقل و الفضاء الاتجاهي الخطي
بالإضافة لمفهوم الـ algebra الذي بلا ريب هو مهم جدا في التأطير الرياضي للفيزياء الحديثة و أرجو من الله العلي القدير ان يكون هذا الموضوع حجر أساس في بناء بنية رياضية عربية قوية تمضي بنا قدما للقضاء على بعض نقاط ضعفنا أرجو من الله أن ينفع بك الأمة أخي الكريم و أن يبارك جهوك جزاك الله كل الخير |
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
اشكر دكتور الصادق استاذنا القدير وفقه الله الى كل خير واكرمه فى الدارين الدنيا والاخرة
واهله وكل من احبه وكلنا نحبه ونوقره ونقدره اخوكم / محمد ابوزيد |
رد: مفاهيم اساسية فى الجبر
اختي الكريم تغريد
بارك الله فيك وجزاك كل خير ونفع الله بك وبعلمك الامة الاسلامية |
| الساعة الآن 11:38 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2025, Jelsoft Enterprises Ltd. TranZ By
Almuhajir