ملتقى الفيزيائيين العرب - الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )

ملتقى الفيزيائيين العرب (http://www.phys4arab.net/vb/index.php)

- منتدى الرياضيات. (http://www.phys4arab.net/vb/forumdisplay.php?f=74)

- - الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction ) (http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=57791)

الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

كما يعلم البعض أن موضوع الإستقراء الرياضي موضوع مهم في فروع عدة مثل نظرية الأعداد واثبات لقضايا في التركيبات ، الجبر اضافة لبعض الفروع الأخرى ...

ولذلك سيكون هذا الموضوع مني ومنكم أي أن يضع احدنا مسألة ثم يحاول الآخرون الإجابة عليها
وهكذا لتعم الفائدة للكل ...

وسأبدأ بسؤال بسيط وأتمنى أن يعم النشاط هذا الموضوع الجميل ...

برهن أن

$\sum_{k=1}^{k=n}ar^k=a\left (\frac{r^{k+1}-1}{r-1} \right )$

رد: الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )

للمعلومية

يمكن فرض متباينة واثباتها بالاستقراء ومن خلالها تثبت المتباينة الموجودة بالسؤال هنا :)

http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=57796

رد: الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )

اولا

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...k+1}-1}{r-1})}
.

نختبر صحة هذه الاخير عند k=0 و منه نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0+1}-1}{r-1})}

و هي صحيحة . نفرض صحة العلاقة عند k=z أي ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...z+1}-1}{r-1})}

الآن من جديد نريد ان ننطلق من صحة العلاقة عند k=z إلى k=z+1 و بالتعويض k=z+1 نجد أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...z+2}-1}{r-1})}

الآن يتوجب علينا الوصول غلى هذه الاخير بإستخدام الأفتراض الاول و هو صحة العلاقة عند k=z و في سبيل ذلك نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...^{z+2}-1}{r-1}

وهو المطلوب الوصول إليه .

جبريا

نعلم ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...)=f(n+1)-f(0)}
و منه نجد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{k}=r^{k+1}-1}

لكن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0}^{k=n}r^{k}}

اي ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{k+1}-1}{r-1}}

رد: الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )

حل جميل :)

يلا ننتظر محاولتك للسؤال الثاني:)

رد: الإستقراء الرياضي ( Mathematical Induction )