محاضرات "موجات وصوتيات"
للدكتور / أمين العدوي
إعداد : mahmoud badr:smile_71:
" الحركة التوافقية البسيطة "
المحاضرة (1) :
الحركة التوافقية البسيطة عبارة عن حركة موجية ولذلك لابد من التعرف على الموجات لدراسة الحركة التوافقية البسيطة .
الموجات: الموجة عموما هي إضطراب يحدث في الوسط المحيط بمصدر هذا الاضطراب ويقوم بنقل الطاقة في اتجاه انتشاره.
والموجات نوعان , فهي إما موجات ميكانيكية أو كهرومغناطيسية , وقد تم تصنيف الموجات على أساس الانتشار , فالموجات الميكانيكية تحتاج لوسط مادي للانتشار بعكس الموجات الكهرومغناطيسية , كما أن الطاقة تنتشر في الأولى في اتجاه موازي لاتجاه انتشارها بينما الكهرومغناطيسية تنتشر في اتجاه عمودي على اتجاه الانتشار .
ومن أمثلة الموجات الميكانيكية (الصوت) ومن أمثلة الموجات الكهرومغناطيسية (الضوء).
والحركة التوافقية البسيطة (s.h.m) هي عبارة عن حركة موجية ذات عجلة تقصيرية .
ملحوظة
γ ) هذا الرمز يعني تناسب , (.) يعني ضرب , (con) يعني ثابت ,(-) إشارة سالبة , (►) تعني إذن .
☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻
☻ علاقة هامة ☻
استنتاج (1):
نفرض أن هنالك قوة f ) ) تؤثر على جسم ما , فإن :
F γ x- الإشارة السالبة هنا تدل على الاتجاه
► f = con- . x
وبفرض أن هذا الثابت ( s )
f = s- . x ►
ومن قانون نيوتن f = m . a حيث (m) الكتلة , (ِa) العجلة
► m . a = s- . x
► a = s- . x / m
ومن إثبات المعادلة بمعادلة الأبعاد يتضح أن:
s- / m = l / l . t^2 وبما أن 1 / t = w حيث w^2 هي التردد,
► s- / m = w^2
العلاقة (1) : ( التردد )-s / m = w^2 .
☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻
أساس الحركة التوافقية البسيطة
أثبت العلماء أن الحركة في دائرة هي أساس الحركة التوافقية البسيطة.
تخيل نقطة تتحرك على محيط دائرة مرورا بالنقطة ( a ) ثم (b ) حتى تصل للنقطة ( a ) مرة أخرى .
وإذا تتبعنا مساقط هذه النقطة على المحور الرأسي سنجد أن هذه المساقط عند إكمال دورة كاملة تكون حركة اهتزازية .
إثبات ( 1 ) :
" إثبات أن الحركة في دائرة حركة توافقية بسيطة "
► w = ø / t حيث ø الزاوية , w السرعة الزاوية , t الزمن ◄ ø = w . t
► sin ø = y / r
► y = r . sin ø
► y = r . sin wt
المعادلة السابقة معادلة حركة الجسم
► dy/dt = ( v )= wr . cos wt
► d^2y/dt^2 = ( a) = -w^2 . sin wt
► a = -w^2 . r sin wt
وبما أن y = r sin wt
► a = -w^2 . y
► a γ -y حيث أن (-w^2) مقدار ثابت
وبما أن العجلة تقصيرية كما هو موضح
يتضح أن الحركة في دائرة عبارة عن حركة توافقية بسيطة .
مسألة : v = w / ( r^2 –y^2 )^2 ( أثبت القانون السابق ) .
الطاقة أثناء الحركة التوافقية البسيطة
الطاقة عموما هي : القدرة علي بذل شغل ويمكن التعبير عن الطاقة بالشغل .
حيث ← E = work
ملحوظة : طاقة أي جسم تساوى طاقتي الوضع والحركة لهذا الجسم
حيث ← E total = Ek + Ep
الاستنتاج الأول :
" استنتاج طاقة الحركة عامة لجسم "
الطاقة = الشغل = قوة × مسافة
► E = f . x وباعتبار أن طاقة الوضع مصفرة وطاقة الحركة أقصى ما يمكن
► Ek = f . x وبما أن f = m . g
( 2 )► Ek = m. a . x ←
ومن قوانين رياضة ( 2 ) :
► v^2 = v.^2 + 2 . A . X حيث "السرعة النهائية"V←
والسرعة الابتدائية ← V.
وبما أن السرعة الابتدائية ( V. ) تساوي صفر لأن الجسم ساكن
► V^2 = 2 . A . X وبضرب الطرفين في ( M )
► M . V^2 = 2 . MAX
► MAX = 1/2 . M V^2 بالتعويض من القانون ( 2 )
► Ek = 1/2 . m v^2
♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠ ♠♠♠♠♠
الاستنتاج الثاني :
" استنتاج طاقة الوضع عامة "
Ep = f . x باعتبار أن طاقة الحركة مصفرة
Ep = f . dx ► بأخذ التكامل
Ep = ∫ f . dx ►
وبما أن f = -s . x
► Ep = ∫ -sx . dx
► Ep = -s ∫ x . dx
ملحوظة : التكامل السابق تكامل محدود من صفر إلى ( x ) .
► Ep = - s [ x^2 ÷ 2 ] بعد التخلص من التكامل :
► Ep = -1/2s [ -x^2 ]
► Ep = 1/2 s . x^2
☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻☻
من ما سبق :
E total = 1/2 m . v^2 + 1/2 s . x^2
والمعادلة السابقة تعبر عن الطاقة لأي جسم سواء كان ساكن أو متحرك .
♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠ ♠♠♠♠♠
إثبات:
" أن المعادلة السابقة تعبر عن الطاقة لجسم يتحرك حركة توافقية بسيطة "
E = 1/2 m . v^2 + 1/2 s . x^2 بأخذ تفاضل المعادلة السابقة
► dE/dt = 1/2m ( 2v . dv/dt ) + 1/2 s ( 2x . dx/dt )
ملحوظة : " للتخفيف "
اعتبر أن : dx/dt = Ė = v حيث ( v ) ← السرعة
dv/dt = Ë = a حيث ( a ) ← العجلة
► dE/dt = m . Ė . Ë + s . x . Ė
وبما أن الطاقة ثابتة لا تتغير ( علل ) ← وذلك لأن طاقة الحركة تتناسب عكسيا مع طاقة الوضع وبالتالي تظل الطاقة الكلية للجسم ثابتة لا تتغير .
صفر► dE/dt =
► m . Ė . Ë + s . x . Ė = 0
► Ė [ mË + sx ] = 0
وفي هذه الحالة يكون هناك احتمالان
الأول :
أن تكون صفر Ė = وهو احتمال مرفوض
الثاني :
أن تكون صفر = ► (m Ë + s x )
وفي هذه الحالة تكون :
► Ë = -s . x /m
وبما أن –s/m = w^2
► Ë = -w^2 . x
► a = -w^2 . x
وبما أن (w^2) ثابت
► Ë γ -x
وبما أن العجلة بإشارة سالبة فهي إذن تقصيرية
"إذن المعادلة السابقة تعبر عن الطاقة لجسم يتحرك حركة توافقية بسيطة "
ملحوظة :
في حالة الطاقات القصوى (Ek max ) ( Ep max ) تكون :
Etotal = Ek max = Ep max
ولإثبات ما سبق :
مسافة (x ) ← مسافة ( r ) فيمكن تبديلهم
► Ep max = 1/2 s . r^2
وبما أن s = m . w^2
► Ep max = 1/2 m . w^2 . r^2 ← [1]
► Ek = 1/2 m . v^2
وبما أن v = w . r حيث ( w ) ← السرعة الزاوية
► Ek = 1/2 m . w^2 . r^2 ← [2]
من ( 1 ,2 ) نجد أن
Ek max = Ep max
ومن القانونE total = Ek + Ep
تكون ← Etotal = Ek max = Ep max ( انتهت المحاضرة الأولى ) :smile_71: