[د. محمد قيصرون ميرزا]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، وبعد

الشكر الجزيل للأخ الفاضل الأستاذ المحاضر، جزاه الله خيراً، على هذا السؤال الذي طرحه علينا وأثار به هذه العاصفة المثمرة من النقاش والتفكير والآراء المتنوعة.

وأرجو أن تسمحوا لي أن أعود لنقطة كنت قد تكلمت عنها سابقاً بخصوص نسبية الصفر واللانهاية في الحياة، وأن أضع بعض الملاحظات التي أرجو أن تجدوا فيها بعض الفائدة، بخصوص الربط الرائع بين الفيزياء كعلم تجريبي والرياضيات كعلم تجريدي! (مع حبي واحترامي لأخوتي الرياضيين والرياضيات).

فكما تفضل الأخوة والأخوات، فإن الإجابة تعتمد على درجة الدقة التي نبحث عنها. فهناك فرق في الإجابة عندما نحاول حل المسالة من وجهة نظر رياضية بحتة، بمعنى أننا لانعطي للنملة أي أبعاد فيزيائية حقيقية، بل نفترض أنها معدومة الطول. وهذا غير منطقي فيزيائياً. بينما يمكن أن نجد إجابة شافية وكافية من ناحية فيزيائية.

فلو افترضنا أن طول النملة 5 ملمترات عندئذ نسأل: متى نقول إنها وصلت للحائط؟ يمكن أن نعتمد أنه عندما تصير أقدامها على بعد 2 ملمتر! في هذه الحالة يكون رأسها قد لامس الحائط.
ولذلك ترتبط عدد الحدود التي نحتاج إليها في السلسلة الأصلية بهذه الدرجة من الدقة.

ولذلك إذا أردنا أن تكون الدقة بحدود 2 ملمتر، أي أن يكون الفرق بين المسافة الفعلية (1 متر) والمسافة التي ستقطعها النملة (99.8 سنتمر) هو 2 ملمتر فقط، عندئذ نكتفي بالحدود التالية من السلسلة:

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512=0.998046875

ويكون الخطأ النسبي في هذه الحالة مساوياً إلى:

[/1(1-0.998046875)=0.001953125*

أي أن الخطأ النسبي أقل من 0.2 بالمائة ! وهذه دقة مقبولة تماماً بالنسبة لمعظم أجهزة القياس (كالمسطرة أو القدمة ذات الورنية vernier caliper أو حتى المايكروميتر).

وبالطبع فلا يجوز أن نكتب الإجابة، كما فعلت أنا أعلاه، بهذا العدد الكبير من الأرقام المعنوية التي تتجاوز دقة جهاز القياس المستخدم، أصلاً !

ومن اللطيف أن نلاحظ أننا وصلنا للانهاية بأخذ 9 حدود فقط من السلسة، أي أن اللانهاية في الفيزياء تساوي العدد 9 في هذه الحالة !!!!!!!!!!!!!!!

مع كل الاحترام والتقدير