ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة - اثبات رائع لقانون مجموع الأعداد الطبيعية.

مهند الزهراني · #1 01-08-2009, 07:59

نعلم جميعا قانون مجموع الأعداد الطبيعية :
$\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left(n+1 \right)}{2}$

وتعلمنا جميعا برهنته باستخدام طرق عديدة أشهرها باستخدام الاستقراء الرياضي وسأفترض وجود خلفية لدى القارئ حول البرهنة بالاستقراء.

نعلم أن مجموع ن من الأعداد الطبيعية يمكن كتابته باستخدام رمز التجميع سيجما بهذه الطريقة:
$\sum_{k=1}^{n}=1+2+3+...+\left(n-2 \right)+\left(n-1 \right)+n$
وهي المعادلة رقم 1
فقط نعكس الطرف الأيمن من المساواة فيصبح:
$\sum_{k=1}^{n}=n+\left(n-1 \right)+\left(n-2 \right)+...+3+2+1$
وهي المعادلة 2
بجمع المعادلتين1+2 ينتج:
$2\sum_{k=1}^{n}=\left(n+1 \right)+\left(n+1 \right)+...+\left(n+1 \right)+\left(n+1 \right)=n\left(n+1 \right)$

وبقسمة الطرفين على 2 ينتج:
$\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left(n+1 \right)}{2}$

وهي القانون المثبت بالاستقراء.

ولكن لعيون أعضاء المنتدى أقدم طريقة الاستقراء في موضوع آخر هذا اليوم وعاجلا باذن الله...:a_plain111: