أولا جزاك الله خيرًا أن جعلت عنوان الموضوع "مغالطة" رياضية
فهذا يعني أنك تعرف ما تقوله عكس الكثيرين!
ما سأقوله معتمد على ما هو مذكور في الكثير من كتب الحسبان Calculus (الكتب الكبيرة بالطبع)، وهو اللا نهائي، واللا متناهي الصغر Infinite and Infinitesimal والمقارنة بين كميتين لا نهائيتين، أو كميتين لا متناهيتي الصغر.
ولم أحاول البحث في المتتابعات والمتسلسلات.
وشكرًا لأنك جعلت السؤال في مقارنة بين مجموعين وليس بين فئتين، فأنا لم أدرس الفئات بشكل جيد بعد. فلو قلت أن فئة الأعداد الزوجية هي فئة جزئية من فئة الأعداد الطبيعية، ثم طلبت حل التناقض لصرت في مأزق!.. لم أدخل في دراسة الفئات اللا نهائية بعد.
بسم الله
أولا يجب أن نعرف ما هي اللا نهاية حتى لا يلتبس الأمر. اللا نهاية ليست "عدد" بأي حال من الأحوال كما تفضلت أختنا تغريد.
اللا نهاية هي "اتجاه" وليس "مكان" كما يقولون عن السعادة.. يمكننا أن نتحدث المعنى الفلسفي لهذا، ولكنني متأكد أن الإخوة الأفاضل هنا لا يحتاجون إلى ذلك.
ويمكننا كذلك أن نضرب أمثلة على ذلك. لكنني أكره الأمثلة في الواقع!
فأما التعبير الرياضي عن الما لا نهاية بقدر علمي، فهي "متغير" يزيد بلا حدود. كذلك اللا متناهي الصغر، هو "متغير" ينقص بلا حدود.
من الآن فصاعدًا سأعتبر أي كمية (متغير) لا نهائية هي مقلوب لكمية لا متناهية الصغر، فقط لأنني اعتدت ذلك لا أكثر.
1- للتعامل مع كميات لا متناهية الصغر Infinitesimal، فإننا نضعها أولا في صورة دالة ما، وندرسها "قبل" أن نجعل المتغير فيها يؤول للما لا نهاية
فلنعتبر أن
=1+2+...+n)
وأن
=2+4+...+2n)
إذًا
ولنكتب
=\frac{1}{S_1(n)}=\frac{1}{1+2+...+n})
وكذلك
=\frac{1}{S_2(n)}=\frac{1}{2+4+...+2n})
إذًا
إذًا
}{x_2(n)}=2)
2- لمقارنة كميتين لا متناهيتي الصغر، فإننا ندرس النسبة بينهما. فإذا آل الكسر إلى الصفر، فإننا نقول أن الـ infinitesimal الذي في البسط هو من رتبة أعلى من ذلك الذي في المقام (أي أنه يؤول للصفر "أسرع" من ذلك الذي في المقام، وبالتالي فإن مقلوبه يؤول لما لا نهاية أسرع من مقلوب ذلك الذي في المقام)
أما لو آل الكسر إلى عدد غير الصفر، فإننا نقول أن المتغيرين لهما نفس الرتبة، ولا يمكننا الجزم بأن أحدهم أصغر أو أكبر من الآخر. وفي الحالة التي يؤول فيها الكسر إلى الواحد الصحيح، فإننا نقول أن المتغيرين متكافئين.
والآن، فلنجعل n تؤول لما لا نهاية، ولنرى إلى ماذا سيؤول الكسر السابق
}{x_2(n)}=\lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\frac{\frac{1}{S_1(n)}}{\frac{1}{S_2(n)}}=\lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\frac{\frac{1}{S_1(n)}}{\frac{1}{2S_1(n)}}=2\lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\frac{S_1(n)}{S_1(n)}=2)
وهكذا أستطيع أن أقول:
في حالة أخذنا لأي عدد "نهائي" من الحدود في المتسلسلتين السابقتين، فإن S2 دائمًا أكبر من S1
أما في حال أخذنا عدد لا نهائي من الحدود، فإننا لا نجزم بأن أحدهما أكبر من الآخر...
هذا ما عندي والله أعلم.