أخي الكريم بالنسبة لسؤالك الأول : لماذا الضرب القياسي cos و الضرب الاتجاهي sin ؟ الضرب القياسي معناه مسقط متجه على آخر و كما تعلم المسقط يؤخذ بـ cos أما الضرب الاتجاهي فمعناه أيجاد مساحة متوازي الأضلاع المنشأ على المتجهين و يحسب ب sin
و هناك تطبيقات فيزيائية لكل واحد منهما فمثلا الشغل ناتج عن ضرب قياسي للقوة في الازاحة ( قياسي لأن القوة المعتبرة هنا هي مسقط متجه القوة على متجه الازاحة )
أما قوة لورتز مثلا هي تطبيق على الضرب الاتجاهي
أما بالنسبة لسؤالك الثاني : عن سبب وضع dA أو dV : هذا نسميه عنصر تفاضلي متناهي في الصغر بحيث أعتبر التغير خلاله معدوم ، مثلا أنت عندما تريد أن تقيس طول طريق متعرج بمسطرة مستقيمة فإنك تقسم هذا الطريق إلى عدة أجزاء صغيرة ( لدرجة أنه يمكن اعتبار كل جزء قطعة مستقيمة ) ثم تقيس كل جزء على حدة ثم تجمع الأجزاء المقاسة
هذا بالضبط فكرة التكامل فالتكامل معناه إيجاد المجموع لكن لكميات متصلة و ليست متقطعة ( كما في الطريق المتعرج ) أما لو كانت الكميات متقطعة فإننا نستعمل المجموع ( سيجما ) هذا يعني أن dA تعني قطعة من مساحة صغيرة جدا لدرجة يمكن اعتبارها مسطحة
أما بالنسبة لسؤالك الثالث : بالنسبة للتكاملات المغلقة : هناك قاعدة مهمة يجب أن نعرفها وهي أن التكاملات الأحادية ( خطية أي بعد واحد ) المغلقة يعني على منحنى مغلق . و أنت تعرف عندما تأتي بحبل و تصل طرفيه ببعض ينشأ عن ذلك سطح له مساحة ( ثنائي الأبعاد : أي تكامل ثنائي )
أي أن التكامل الأحادي المغلق يؤدي إلى تكامل ثنائي ( هناك نظرية الحقيقة لا أذكرها و هي تحويل التكامل الأحادي المغلق إلى تكامل ثنائي )
أما التكامل الثنائي المغلق ( مساحة ) يتحول إلى تكامل ثلاثي ، فأنت عندما تأتي بقطعة قماش و تصل أطرافها ببعض( تغلقها ) فإنه ينتج عن ذلك حجم ( كرة مثلا ) أي شكل ثلاثي الأبعاد ( هناك أيضا نظرية تشير إلى كيفية تحويل التكامل الثنائي المغلق إلى تكامل ثلاثي )
أما بالنسبة للتكامل الأخير الذي وضعت صورته لاحظ أن متحول التكامل هو A المساحة و بالتالي يمكن إخراج E خارج التكامل ثم إجراء التكامل المغلق على المساحة ( هذا يعني حساب المساحة الكلية لـ كرة ) و هي تساوي 4 باي آر تربيع طبعا و بوجود E
أرجو أن تكون الإجابة واضحة و أي استفسار لا تتردد في السؤال
أتمنى لك التوفيق