ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #2 26-12-2009, 16:44

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

أشكركما أخواي الكريمان جزيل الشكر على التوضيح
يسعدني كثيرا أخي الكريم الصادق تواجدك معنا
و إني لأرجو لك التوفيق أخي الكريم FAR...CRY
الحقيقة أن ما قدمته كان رائعا و يدل على همة عالية
و إني أرجو لك مستقبلا زاهرا بإذن الله

أخواي الكريمان بالنسبة للسؤال الخاص بسرعة الضوء
أريد أن استوضح نقطة من الواضح أن استيعابي لها خاطئ

أليست معادلة الموجة تكون على الشكل
$y(t,x)=A\sin(\omega t-k x)$

من الواضح أنه عند ثبوت الزمن فإن الموجة تكون منشرة على طول محور x

يبدو أني من هنا استنتجت خطأ أن الفيزياء الكلاسيكية تفترض سرعة غير منتهية للضوء؟

و كذلك حين نقول أن عدم التحديد في مكان الفوتون عند معرفة كمية تحركه بدقة لا منتهي يجعلني أفترض أن السرعة لا منتهية لأنها المعنى الوحيد لتواجد جسيم ما في كل مكان في ذات الوقت.

فأين مكمن الخطأ لدي
أثابكم الله كل خير

اسعدك الله فى الدنيا والآخرة

نعم اختى الكريمة هذا صحيح تماماً و هذه هى معادلة الموجة . ومن اجل الدقة دعنا نكتبها بالصورة التالية
$y(t,x)=A\rm e^{i(kx-\omega t)}$

الان الشئ المهم هو العلاقة بين k و $\omega$

اولاً
اذا كانت هذه الموجه تصف جسيم كمى محدود السرعة فيجيب ان تمثل حلاً لمعادلة شرودنجر
وبالتعويض فى معادلة شرودنجر نحصل على علاقة بين k و $\omega$

$\\ i\hbar\frac{\partial }{\partial t}y(t,x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}y(t,x)\\ \\ \Rightarrow \boxed{\hbar \omega=\frac{\hbar^2k^2}{2m}}$

ومن معادلة بلانك $E=\hbar \omega$ ومعادلة دى بروغلى $p=\hbar k$ نرى ان الجسيم يحقق العلاقة التالية:
$E=\frac{p^2}{2m}$
اى انه يتحرك بسرعة محدودة اقل كثير جداً من سرعة الضوء. ( لحساب السرعة نستخدم معادلات هملتون القانونية )
$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}\Rightarrow v=\frac{\partial E}{\partial p}=\frac{p}{m}$

الان عند حساب كثافة الاحتمال لتواجد الجسيم
$|y(t,x)|^2=A^2=\rm constant$
نجد ان كثافة الاحتمال ثابته ولاتعتمد على x اى انها متوزعة بانتظام فى كل محور x وهكذا من المحتمل ان نجد الجسيم فى اى نقطة فى محور x
وهكذا فان الخطأ فى تحديد الموقع يساوى مالانهاية $\Delta x=\infty$ وهذا ينسجم تماما مع ان كمية الحركة معلومة بدقة $p=\hbar k$ اى ان $\Delta p=0$
اذن لا دخل لسرعة الجسيم $v=\frac{p}{m}=\frac{\hbar k}{m}$ بثبات كثافة الاحتمال (ثابت التكامل A) ولكن كما قلنا سابقاً ان ميكانيكا الكم مبنية على نسبية جاليليو لذا فانها تفترض ان المعلومة تنتقل بسرعة لانهائية وهنا مكمن الاشكالية بين ميكانيكا الكم و النسبية الخاصة.

الان نعلم انه ليس من المعقول ان تكون الدالة الموجية للجسيم منتشرة فى كل الفضاء لذا يمكننا استخدام الـSuperposition Principle و ذلك نسبة لان y تمثلاً حلاً لمعادلة شرودنجر لذا فان اى تركيب خطى يمثل حلاً ايضاً للمعادلة التفاضلية (معادلة شرودنجر). اذن ببساطة فان مجموع كل التراكيب الخطية يعطى بـ
$y(t,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(k)\rm e^{i(kx-\omega(k) t)}dk$
حيث f هنا تلعب دور ثابت التكامل (لاحظى انها لاتعتمد على x و t ) وهكذا فان الSuperposition تعطينا دالة موجية للجسيم الكمى بحيث لا تكون كثافة الاحتمال موزعة بانتظام و تحقق علاقة هايزنبيرج للايقين
$\Delta x\Delta p=\frac{\hbar}{2}$

ثانياً
اذا كانت الموجة y تمثل جسيم يتحرك بسرعة الضوء (جسيم ليست له كتلة سكون) فيجب ان تحقق معادلة كلين-غوردون و ليس معادلة شرودنجر . لذا فان
$\\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \right )y(t,x)=0\\ \\ \Rightarrow \frac{\omega^2}{c^2}-k^2=0 \\ \\ \therefore \frac{\omega}{k}=c$
وهذه هى سرعة الموجة الضوئية التى طول موجتها $\lambda=\frac{2\pi}{k}$ وترددها الخطى $\nu=\frac{\omega}{2\pi}$ اى انها العلاقة الشهيرة $ؤc=\lambda \; \nu$
اى ان سرعة الضوء محدودة على الرغم من ان كثافة الاحتمال ثابتة

قضية انتقال المعلومة بسرعة لانهائية فى ميكانيكا الكم وكيفية معالجة هذه الاشكالية فى ميكانيكا المجال الكمى
مؤثر التطور للمنظومة الكمية عند الانتقال من لحظة زمنية $t_0=0$ ومن نقطة $x_0$ الى لحظة تالية t وعند نقطة x يُعطى بـ
$U(t)=\langle x|\rm e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|x_0\rangle$
حيث ان H هو مؤثر الطاقة (الهملتونيان)

ميكانيكا الكم
فى ميكانيكا الكم نجد ان الطاقة تُعطى بـ
$E=\frac{p^2}{2m}$
لذا فان
$U(t)=\langle x|\rm e^{-\frac{i\hat{p}^2}{2\hbar m}t}|x_0\rangle$
وباستخدام علاقة التتام (مجموع الاسقاطات فى فضاء هيلبرت يساوى واحد) اى ان
$1=\int_{-\infty}^{\infty}dp |p\rangle\langle p|$
نجد ان
$U(t)=\int_{-\infty}^{\infty}dp\langle x|\rm e^{-\frac{i\hat{p}^2}{2\hbar m}t}|p\rangle\langle p|x_0\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}dp\rm e^{-\frac{ip^2}{2\hbar m}t}\langle x|p\rangle\langle p|x_0\rangle$
حيث ان $\langle x|p\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\rm e^{ikx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\rm e^{\frac{i}{\hbar}px}$ هى الموجة المستوية. وباتعويض نحصل على
$U(t)=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dp\;\rm e^{-\frac{ip^2}{2\hbar m}t}\rm e^{\frac{i}{\hbar} p(x-x_0)}$
وباجراء التكامل (نكمل المربع ونستخدم تكامل دالة جاما) نجد ان
$U(t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar}}\; \rm e^{im(x-x_0)^2/2t}$
وهذه العلاقة لا تساوى صفر لكل قيم x و t اذن فان هناك احتمال لتتنقل المنظومة بين اى نقطتين فى الفضاء وخلال اى زمن صغير نريد لذا فهى تخرق قانون السببية لانها تسمح بتحقق x>ct

ميكانيكا المجال الكمى
الطاقة فى الحالة النسبوية تُعطى بـ $E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ وبالتعويض فى مؤثر الانتقال وتكرار استخدام علاقة التتام ومعادلة الموجة المستوية سوف نحصل على
$U(t)=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dp\;\rm e^{-\frac{i}{\hbar}\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\;t}\rm e^{\frac{i}{\hbar} p(x-x_0)}$
ويمكن اجراء هذا التكامل عن طريق دوال بسل و لكن يمكننا ان نتجنب ذلك و لنأخذ فكرة عن سلوك التكامل فى حالة انتقال بسرعة اكبر من سرعة الضوء x>ct
$U(t)\sim \rm e^{-\frac{mc}{\hbar}\sqrt{x^2-c^2t^2}}$
اذن مازال هناك احتمال لانتقال المنظومة بسرعة اكبر من سرعة الضوء و لكن فى ميكانيكا المجال الكمى يصاحب اى جسيم جسيم مضاد و طاقة الجسيم المضاد هى $E=-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$
لذا فان الجسيم المضاد يساهم فى حساب حساب مؤثر الانتقال بمقدار يساوى سالب مساهمة الجسيم (العلاقة السابقة) لذا فان احتمال انتقال المعلومة بسرعة اكبر من سرعة الضوء يساوى صفراً مما ينسجم مع قانون السببية

والله اعلم